淺談數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

PAGEPAGE7淺談數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透摘要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的提煉與升華，它能夠完美的展現(xiàn)數(shù)學(xué)所要表達(dá)的內(nèi)涵，同樣也是教師教授數(shù)學(xué)內(nèi)容的核數(shù)學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的滲透無(wú)論是對(duì)數(shù)學(xué)本身、老師還是學(xué)生都十分達(dá)到通過(guò)教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，學(xué)生能夠獨(dú)立對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析并正確求解的良好效果.AbstractMathematicalthinkingmethodistherefinementandsublimationofmathematics.Itcanperfectlyshowtheconnotationofmathematics.Itisalsooneofthecoresofmathematicscontenttaughtbyteachers.Itistheonlywayforstudentstomastermathematicalknowledge.Bothteachersandstudentsareveryimportant.Theinfiltrationofmathematicalthinkingmethodshasindeliblesignificanceforteacherstoteachmathematicalcontent,todealwithteachingmaterialsfromahigherpointofview,tograspmathematicalknowledge,todevelopmathematicalcoreliteracy,toexperiencethebeautyofmathematicsandtotreatthingsfromadialecticalpointofviewInthecreationofsituationsandthecontrolofkeyanddifficultpoints,weshouldinfiltratethemathematicalthinkingmethodsintheteachingofconcepts,rules,formulasandtheorems,andinthelaterreviewandpractice.Throughtheinfiltrationofmathematicalthinkingmethodsbyteachers,studentscananalyzemathematicalproblemsindependentlyandsolvethemcorrectly.Keywords:mathematicsthoughtsandmethodsmiddleschooleducationpermeate第一章緒論課題的研究背景及意義數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的提煉與升華，也是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，它能夠很好的展示數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，十分強(qiáng)大的作用，并且還能夠促進(jìn)學(xué)生未來(lái)發(fā)展的需要.數(shù)學(xué)模型思想數(shù)學(xué)模型思想簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是對(duì)現(xiàn)實(shí)的問題建立一種數(shù)學(xué)模型，然后對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研究和解答，使問題得以解.[1]數(shù)學(xué)模型思想最能體現(xiàn)人們的創(chuàng)造力和想象力,它是運(yùn)用數(shù)學(xué)式子及數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題作為模型建立的過(guò)程不僅能夠激發(fā)學(xué)生自主專研數(shù)學(xué)的興趣,還能在尋求問題解決的過(guò)程中擁有更高的積極性,學(xué)生在參與整個(gè)建模的過(guò)程中,其數(shù)學(xué)思維和能力都會(huì)得到提升,這對(duì)學(xué)生將來(lái)的成長(zhǎng)具有非常重要的意義.1.2.2函數(shù)與方程思想運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量變化的關(guān)系，然后建立函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示數(shù)量運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律.[2]的本質(zhì)特征,重在問題變量的動(dòng)態(tài)研究,然后建立函數(shù)方程剖析和思考整體問題中的數(shù)量關(guān)系,從而使問題得到解答.[3]二者相輔相成,和諧統(tǒng)一.方程的建立立足于問題中數(shù)量運(yùn)動(dòng)變化的特點(diǎn),通過(guò)題目中的已知條件結(jié)合數(shù)學(xué)規(guī)律轉(zhuǎn)化為方程或不等式,從而找到問題的答案,數(shù)學(xué)中很多知識(shí)都存在函數(shù)與方程思想，如求函數(shù)解析式、數(shù)列的相關(guān)問題、直線與圓、橢圓、雙曲線、導(dǎo)數(shù)、微分方程等等.分類討論思想思想,它是對(duì)于數(shù)學(xué)問題在不同參數(shù)影響的情況下有不同的思考方式,從多方面對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論促進(jìn)問題解決的一種方式,在數(shù)學(xué)中對(duì)于一個(gè)問題往往不能用單一的角度去思考,這樣不利于正確結(jié)論的獲取,往往會(huì)對(duì)于一些參數(shù)不同結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏差和遺漏的現(xiàn)象,分類討論就是為了解決多種因素影響的情況下進(jìn)行分開討論然后解決數(shù)學(xué)問題的思維方式,通過(guò)分類討論使數(shù)學(xué)條理明確,它是數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分化瓦解在整合的一種轉(zhuǎn)化模式,分類討論思想邏輯非常緊密,所以在解決問題中要遵循一定的規(guī)則,避免出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤.在運(yùn)用分解討論思想在數(shù)學(xué)中是非常重要的思想,不僅對(duì)目前數(shù)學(xué)問題的解決有重要的意義,還可以培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,[4]會(huì)讓學(xué)生終身受益.數(shù)形結(jié)合思想中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象分為數(shù)量關(guān)系與空間形式，而數(shù)與形可以相互表征出來(lái)，它們的相互結(jié)合就稱之為數(shù)形結(jié)而坐標(biāo)系建立之后數(shù)量關(guān)系與空間形式的聯(lián)系就更加密切了，數(shù)與形看似獨(dú)立又互相滲透,二者的緊密聯(lián)系使得數(shù)學(xué)在直觀教學(xué)上有了極大地改善，數(shù)形結(jié)合在教師教授新課時(shí)把抽象問題顯得更加的直觀，成為幫助學(xué)生重要手段.數(shù)形結(jié)合把抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的效果.[6]教師在教學(xué)中要有目的、有計(jì)劃地將“數(shù)”與力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.化歸思想化已知問題或是容易解決的問題，進(jìn)而達(dá)到解決問題的一種方法.[7]教師在授課的時(shí)候要有意識(shí)的傳授學(xué)生轉(zhuǎn)化的思維，遇到復(fù)雜問題不能死磕，而是通過(guò)觀察問題,展開思考、聯(lián)想以及回憶以往學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí),通過(guò)一些轉(zhuǎn)化的手段,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已知的或更簡(jiǎn)單的新問題，比如待定系數(shù)法、變量替換、因式分解等，在整式的四則運(yùn)算、代數(shù)式的恒等變化、分式的加減乘除等，通常都運(yùn)用到化歸思想方法.第二章在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的重要性有利于深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容為數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)內(nèi)容的提煉與表達(dá)，它是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在邏輯的外在反映，只有充分領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的思想方法，才能從整體上深刻的理解數(shù)學(xué)內(nèi)容達(dá)到正確的運(yùn)用數(shù)學(xué)，這對(duì)老師發(fā)展教學(xué)能力，學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力都十分有必要.[8]比如數(shù)形結(jié)合思想能把基本初等函數(shù)的性質(zhì)更加直觀的展示在坐標(biāo)軸上，化歸思想方法能把不定積分中的復(fù)合函數(shù)看成一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)函數(shù)進(jìn)行積分，分類討論思想能把“對(duì)數(shù)函數(shù)”中涉及到的變量對(duì)整個(gè)函數(shù)的影響分開討論等等.有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)習(xí)過(guò)程就是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)過(guò)程，比如滲透模型思想，可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維；滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué).數(shù)學(xué)知識(shí)廣大深遠(yuǎn)，然而數(shù)學(xué)思想方法卻僅有幾十內(nèi)容，把問題探究過(guò)程中所用到的方法作為教學(xué)的重點(diǎn)，充分展示問題解決的思考、演化過(guò)程，抽象問題的直觀展示過(guò)程等，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用正確的解題思路，提高學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，從而培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的過(guò)程.有利于對(duì)學(xué)生進(jìn)行美育滲透和辯證唯物主義的啟蒙教育序性、對(duì)稱性和統(tǒng)一性.在教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透能夠讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美.如數(shù)與形結(jié)合能夠讓學(xué)生體會(huì)到“虛變實(shí)”的轉(zhuǎn)化美，數(shù)形結(jié)合思想方法把抽象的數(shù)學(xué)直觀地展示在看得見摸得著的紙上.化歸思想和模型思想美和統(tǒng)一美.教師要善于抓住滲透數(shù)學(xué)思想方法的路徑，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美.數(shù)學(xué)思想方法還能割”“無(wú)限細(xì)分”等轉(zhuǎn)化思路，最終化為無(wú)數(shù)長(zhǎng)方形面積相加，學(xué)生不僅掌握了知識(shí)，而且體驗(yàn)了“變與不變”“曲與直”“近似求知”“量變與質(zhì)變”等辯證唯物主義啟蒙教育.有利于教師以較高的觀點(diǎn)分析和處理中學(xué)教材以中學(xué)數(shù)學(xué)教材的“虛與實(shí)”的劃分有兩條線：一是數(shù)學(xué)知識(shí)，它是學(xué)生打開書本就能看見的顯性知識(shí)；二是以及選擇合適的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué)，懂得如何滲透在每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，才能夠從整體上、本質(zhì)上去挖掘教材，擁有更多的經(jīng)驗(yàn)處理教材，科學(xué)地、靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)方案，提高課堂教學(xué)效率.[8]第三章在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法在確定目標(biāo)、備課中有意識(shí)地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在講授一堂課之前要求教師有目的、有意識(shí)地明確教學(xué)目標(biāo)、注重教學(xué)過(guò)程的實(shí)施，針對(duì)所要教授的內(nèi)容選擇最能體現(xiàn)所授內(nèi)容選擇合適的教學(xué)方法進(jìn)行滲透，并設(shè)想本節(jié)課要達(dá)到的預(yù)計(jì)效果以及為后續(xù)的內(nèi)容做好充足的準(zhǔn)知識(shí)的概念、定理、性質(zhì)以及知識(shí)間的前后聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，把數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)教立目標(biāo)、備課是一定要合理體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的選擇，加強(qiáng)學(xué)生的理解.在問題的情境創(chuàng)設(shè)中滲透數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)源自于生活，是從生活中抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式加以分析，最終解決現(xiàn)實(shí)問題的學(xué)科，情境中的創(chuàng)設(shè)知識(shí)的引入和發(fā)生變化過(guò)程中貫徹?cái)?shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的一體化.[10]例如在講解橢圓一節(jié)，教師在黑板上用一條打結(jié)的線固定在兩點(diǎn)，用粉筆畫出它們的軌跡，以此情境導(dǎo)入橢圓的教學(xué)，進(jìn)而引入焦點(diǎn)以及橢圓的定義，然后用坐標(biāo)畫出橢圓的圖像進(jìn)一步探究橢圓的性質(zhì)，在后續(xù)解題中也會(huì)運(yùn)這類問題都在情境的創(chuàng)設(shè)中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法有一個(gè)良好的滲透.教師要注意在情境的創(chuàng)設(shè)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)情境問題中的所研究的對(duì)象進(jìn)行觀察和分類，分類時(shí)要注意對(duì)象不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、歸納總結(jié)，教師要幫助學(xué)生掌握好分類的原則.[11]3.3在數(shù)學(xué)概念、法則、公式和定理的形成過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理是掌握基礎(chǔ)知識(shí)和培養(yǎng)基本技能教學(xué)的核心；是學(xué)生發(fā)展能力的基礎(chǔ)；是培養(yǎng)學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、分析比較、運(yùn)用知識(shí)、抽象概括等思維活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的概念、定理、性質(zhì)、法則、公式形成解決思路過(guò)程中的滲透數(shù)學(xué)思想方法.比如，在探究立體幾何的問題時(shí)，教師不能操之過(guò)急，要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中感悟異面直線的夾角、直線與二次不等式”的教學(xué)中，教師要充分挖掘“一元二次函數(shù)”的圖像，幫助學(xué)生理解“一元二次函數(shù)”性質(zhì)，以及與“一元二次方程”的關(guān)系體現(xiàn)到的數(shù)學(xué)思想方法.3.4在掌握重點(diǎn)、突破難點(diǎn)中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法而，數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，又是學(xué)生難以理解、難以把握的薄弱環(huán)節(jié)，這時(shí)教師對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的選擇就顯得尤為重的講授過(guò)程中，教師要選擇最為直觀或簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)例題進(jìn)行展示，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的思維，這就要求次根式，難點(diǎn)為二次根式的計(jì)算，通?？刹捎谩胺质降幕?jiǎn)，求值”運(yùn)用類比思想、整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，采用形象化和具體化的手段，尋找解決問題的途徑，實(shí)現(xiàn)從未知到已知的轉(zhuǎn)化.[11]3.7在數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧與復(fù)習(xí)、歸納與反思過(guò)程中提煉數(shù)學(xué)思想方法用數(shù)學(xué)思想方法帶領(lǐng)學(xué)生回顧所學(xué)內(nèi)容，并在歸納反思中培養(yǎng)學(xué)生概括與總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)方法的能力，教師也要合教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)，及時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法加以理解.3.8小結(jié)數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)內(nèi)容聯(lián)系可以說(shuō)是非常緊密的，二者在數(shù)學(xué)中共同發(fā)展相互促進(jìn)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的獲得有目的的對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)，讓學(xué)生在逐步領(lǐng)悟?qū)W，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握才會(huì)更加完善，形成自己的一般解題思路，發(fā)展更高層次的思維能力.第四章針對(duì)不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容選擇不同的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行滲透中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容主要分為函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)四條主線，每條主線都有其各自的特點(diǎn)，針對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的不同數(shù)學(xué)思想方法的選擇也有所不同.例如在函數(shù)中最常見的有數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思，并且教會(huì)學(xué)生學(xué)以致用，培養(yǎng)較高的數(shù)學(xué)邏輯能力、直觀想象能力以及發(fā)散思維的能力.4.1函數(shù)中數(shù)學(xué)思想方法的選擇中學(xué)階段學(xué)習(xí)的函數(shù)主要是幾種常見的基本初等函數(shù)，函數(shù)中最直觀的思想方法是函數(shù)與方程思想，探究函數(shù)觀察函數(shù)圖像的走勢(shì)，得出它的性質(zhì)、概念及一般性結(jié)論.在概念證明、練習(xí)、解題中需要分類討論思想、化歸思想方法等等.比如，一次函數(shù)：2018年開始，長(zhǎng)春市實(shí)行了階梯降水制度，其中每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系如下表：表4-1分檔第一階梯0-220（含）3.45第二階梯220-300（含）4.83第三階梯300以上5.83記每戶年用水量為 時(shí)應(yīng)繳納的水費(fèi)為 元.寫出 的解析式.假設(shè)居住在長(zhǎng)春的李明一家2020年共用水260 家2020年應(yīng)繳納水費(fèi)多少元?解（1）不難看出， 是一個(gè)分段函數(shù)，而且當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)，有當(dāng) 因此所以(260)=4.83×260-303.6=952.2因此李明一家2020年應(yīng)繳納水費(fèi)952.2元.例子采用了函數(shù)與方程思想對(duì)情境進(jìn)行了數(shù)學(xué)模型的建立，用分類討論的思想確定每一段的函數(shù)，這些思想在教學(xué)中都有十分重要的意義.4.2幾何與代數(shù)中數(shù)學(xué)思想方法的選擇得到代數(shù)的結(jié)果.在幾何與代數(shù)中最常用到的是數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等.例21：4，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A.20°B.60°C.20°或120°D.120°1：4，當(dāng)?shù)捉堑亩葦?shù)：頂角的度數(shù)=1：4=4：1,[13]從以上兩種情況進(jìn)行分析，可得出兩種不同的解，所以答案未C.此題最明顯的思想是分類討論思想，同時(shí)也可根據(jù)數(shù)形結(jié)合觀察圖像確定角度所在位置，這樣解題才不容易遺漏.化不僅學(xué)生能夠容易掌握，為將來(lái)面對(duì)高考也有很大的幫助.4.3統(tǒng)計(jì)與概率中數(shù)學(xué)思想方法的選擇統(tǒng)計(jì)與概率中最常用的數(shù)學(xué)思想方法是化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想，除此之外也會(huì)有一些其他數(shù)學(xué)內(nèi)也是很高的.例如:在探究概率的基本性質(zhì)時(shí)，采用轉(zhuǎn)化思想需要學(xué)生把概率與函數(shù)中集合的交、并等關(guān)系和運(yùn)算進(jìn)行串聯(lián)通過(guò)類比，介紹概率中的并事件、交事件、互斥事件、對(duì)立事件，這是概率入門時(shí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，其次還需要通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合利用表格、頻率分布直方圖、總體密度曲線、莖葉圖等內(nèi)容對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提取樣本數(shù)據(jù)、空間圖形然后判斷事件發(fā)生的通過(guò)圖像(散點(diǎn)圖、二維條形圖、三維柱形圖等等)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題，此外選修教材還根據(jù)散點(diǎn)圖介紹了指數(shù)型回歸方程、正態(tài)分布等內(nèi)容，許多概率分布問題可轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布來(lái)解決，通過(guò)分析密度函數(shù)等圖形，了解隨機(jī)變量取值的規(guī)律與特點(diǎn)，可以計(jì)算正態(tài)分布下的隨機(jī)變量值.對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)，相比較其他模塊的內(nèi)容統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)間的聯(lián)系就顯得沒有那么的緊密，但是每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有它獨(dú)特的思想，這就要求教師要有自己的一套理論體系把知識(shí)講透，不僅要做到深入淺出、清晰易懂，還要在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生舉一反三.4.4小結(jié)數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法不是單一的匹配，而是一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容穿插多種數(shù)學(xué)思想方法，一種數(shù)學(xué)思想方法適應(yīng)進(jìn)行教學(xué).第五章結(jié)論本文針對(duì)數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透進(jìn)行討論.數(shù)學(xué)思想方法的滲透對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有很多大的教學(xué)意義，它是數(shù)學(xué)構(gòu)建理論的框架，一條完整數(shù)學(xué)理論的正確性需要大量的驗(yàn)證，而在驗(yàn)證過(guò)程中所采用的方法既是數(shù)有便于學(xué)生對(duì)整體知識(shí)的理解和運(yùn)用.因此，我從如下具體工作進(jìn)行展開：（1）首先介紹了中學(xué)數(shù)學(xué)中幾種常見的數(shù)學(xué)思想方法的分類及它的含義.數(shù)學(xué)內(nèi)容的價(jià)值.再次闡明了在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要如何滲透數(shù)學(xué)思想做了總體的概括.最后說(shuō)明了針對(duì)不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容要選擇不同的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行滲透.為教師在后續(xù)教學(xué)以較強(qiáng)總結(jié)，便于