陜西省西安市碑林區(qū)2022年中考數(shù)學(xué)四模試題（含答案與解析）

陜西省西安市碑林區(qū)2022年中考四模試卷

數(shù)學(xué)

（本試題卷共4頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間100分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將考試號(hào)條形碼粘貼

在答題卡上指定位置。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無效。

3.非選擇題（主觀題）用0.5毫米的黑色簽字筆直接答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答

在試題卷上無效。作圖一律用2B鉛筆或0.5毫米的黑色簽字筆。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題（共10小題）

1.-2的相反數(shù)是（）

A.—B.2C.--D.-2

22

2.如圖，下面的幾何體由一個(gè)正方體和兩個(gè)圓柱體組成，則它的左視圖是（）

3.如圖，直線m〃n,直線AB分別與直線m,n交于A,B兩點(diǎn)，/BAD的平分線交直線n于點(diǎn)C,若N1

=56。，則N2的度數(shù)是（）

4.若一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A(3,m-1),B(4,2m-1)兩點(diǎn)，則m的值為()

A.-0.5B.0.5C.2D.-2

5.下列運(yùn)算正確的是()

A.a2-3a2=2a2B.(-2a2)3--6a6

C(a+1)2—a2+1D.3a2,2a3=6a5

6.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,NB=30。，CE平分NACB交AB于點(diǎn)E.EFJ_BC于點(diǎn)F,若EF

=4,則線段AE的長(zhǎng)為()

8百

A.2GC.2上+2D.35/3

亍

7.在平面直角坐標(biāo)系中，直線4與6關(guān)于直線y=l對(duì)稱，若直線4的表達(dá)式為y=-2x+3,則直線4與X

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(—,0)B.(-,0)C.(0,0)D.(1,0)

22

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,E為AB上一點(diǎn)，將4ADE沿DE翻折，若A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A，

恰好落在BC上，則AE的長(zhǎng)為()

D

A6B.5C.4D.3

9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AB=CB,ZBAC=30°,BD=石，則AD+CD的值為()

A.3B.2V3C.6+1D.不能確定

10.若拋物線M：y=x2-(3m-1)*-3與拋物線乂，：y=x2+10x+2n+5關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，貝I]m,

n值為()

A.m=l,n=10B.m=2,n=5C.m=l,n=8D.m=2,n=7

二、填空題(共4小題)

11.比較大?。?02A/5

12.如圖，若正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為1,連接對(duì)角線AC,AD.則4ACD的周長(zhǎng)為一

13.如圖，D是菱形ABCO的對(duì)稱中心，點(diǎn)C在x軸上.OA=4,ZOAB=120°.若一個(gè)反比例函數(shù)的圖

象經(jīng)過點(diǎn)D,交OA于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,0),B(0,2),C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BC為一邊作等腰

RtABCD,使得/BCD=90。，CB=CD,連接AD,則AD+BD的最小值為.

三、解答題（共11小題，解答題應(yīng)寫出過程）

15.計(jì)算：V8+I1+（乃-1）°—卜一301

16.解方程：.

龍+2x—2

17.如圖，已知四邊形ABCD中，AD〃BC,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作：。0,使得。O經(jīng)過B,C兩點(diǎn)且與

直線AD相切（保留作圖痕跡，不寫作法）.

18.如圖，在AABC中，D為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，CE〃AB交DF延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若DF=FE,

求證：AD=CE.

19.某校為了解九年級(jí)同學(xué)的體育考試準(zhǔn)備情況，隨機(jī)抽查該年級(jí)若干名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，然后把測(cè)試結(jié)果分

為4個(gè)等級(jí)：A、B、C、D,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答下面的問題:

（1）本次抽樣調(diào)查了學(xué)生;

（2）抽查了名等級(jí)為C的學(xué)生？并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若該校九年級(jí)學(xué)生共有1500人，請(qǐng)估計(jì)獲得B等級(jí)有多少人？

20.小華想用學(xué)過的測(cè)量知識(shí)來測(cè)量家門前小河BC的寬度：如圖所示，他們?cè)诤影哆叺目盏厣线x擇一點(diǎn)C,

并在點(diǎn)C處安裝了測(cè)傾器S,選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)B,頂部作為點(diǎn)A,現(xiàn)測(cè)得古

樹的項(xiàng)端4的仰角為37°,再在BC的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)尸，使C尸=5米，小華站在尸處，測(cè)得小華的身

高EF=L8米，小華在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)FG=3米，此時(shí)，大樹AB在太陽(yáng)光下的影子為8尸.已知測(cè)傾器的

高度CO=L5米，點(diǎn)G、F、C、B在同一水平直線上，且CD、AB均垂直于8G,求小河的寬度BC.（參

考數(shù)據(jù)：si〃37°-0.6,cos31°~0.8,s”37°40.75）

21.某市為節(jié)約水資源，制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn)，用戶每月繳納的水費(fèi)y（元）與每月

用水量x（nP）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）當(dāng)x<13時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若某用戶二、三兩月共用水40m3（二月份用水量不超過27m3）,兩月共納水費(fèi)155元，則該用戶二、

三兩月的用水量各是多少nf?

22.五一期間，某商場(chǎng)為了吸引顧客.開展有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被分成4

個(gè)面積相等的扇形，四個(gè)扇形區(qū)域里分別標(biāo)有“20元”、“30元”、“40元”、“50元”的字樣（如圖）.規(guī)

定：同一日內(nèi)，顧客在本商場(chǎng)每消費(fèi)滿200元，就可以轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，商場(chǎng)根據(jù)轉(zhuǎn)盤指針指向區(qū)域所標(biāo)金

額返還相應(yīng)數(shù)額的代金券.某顧客當(dāng)天消費(fèi)500元，轉(zhuǎn)了兩次轉(zhuǎn)盤.

（1）該顧客最少可得元代金券，最多可得元代金券；

（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖方法，求該顧客所獲代金券金額不低于80元的概率.

年呷

23.如圖，AB為。O的直徑，在AB的延長(zhǎng)線上，C為。O上點(diǎn)，ADJLCE交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若AC

平分NDAB.

（1）求證：DE為00的切線；

（2）當(dāng)BE=2,CE=4時(shí)，求AC的長(zhǎng).

D

C

A\OjBE

24.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x?+k的頂點(diǎn)A在直線/：y=x-3上，將拋物線沿直線

/向右上方平移，使其頂點(diǎn)P始終保持在直線/上，設(shè)平移后的拋物線與原拋物線交于B點(diǎn).

（1）請(qǐng)直接寫出k的值；

（2）若拋物線y=x?+k與直線/：y=x-3另一個(gè)交點(diǎn)為C.當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí).求平移后拋物線的

解析式；

25.如果一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都落在一個(gè)矩形的邊上（含頂點(diǎn)）.則稱這個(gè)三角形為矩形的內(nèi)接三角形.

問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,等邊4AEF內(nèi)接于正方形ABCD,若AE=2,則正方形ABCD的面積為；

探索問題（2）如圖2,若等邊4AEF內(nèi)接于正方形ABCD,試證明4ABE和4ADF的面積之和等于4CEF

的面積；

拓展應(yīng)用（3）如圖3,若等邊4AEF內(nèi)接于矩形ABCD（AB<AD）.請(qǐng)問（2）中的結(jié)論是否成立？如果

不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題（共10小題）

1.-2的相反數(shù)是（）

A.—B.2C._—D.-2

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得一個(gè)數(shù)的相反數(shù).

【詳解】-2的相反數(shù)是2,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的意義，會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解答的關(guān)鍵.

2.如圖，下面的幾何體由一個(gè)正方體和兩個(gè)圓柱體組成，則它的左視圖是（）

A.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【詳解】從左邊看，底層是一個(gè)正方形，正方形里面是一個(gè)內(nèi)切圓，上層是一個(gè)正方形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖.

3.如圖，直線m〃n,直線AB分別與直線m,n交于A,B兩點(diǎn)，/BAD的平分線交直線n于點(diǎn)C,若N1

=56。，則/2的度數(shù)是（）

m

D

n

BC

A.108°B,112°C,118°D,124°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以求得/1+N3的度數(shù)，從而可以得到/2的度數(shù)，本題得以解決.

【詳解】解：

；.Nl+/3=/2,

VZ1=56°,

.,.ZBAD=124°,

：AC平分/DAB,

；.N3=62。，

N1+Z3=56°+62°=118°,

.*.Z2=118°,

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵.

4.若一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（3,m-1）,B（4,2m-1）兩點(diǎn)，則m的值為（）

A.-0.5B,0.5C.2D,-2

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y="（ZW0）,利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出關(guān)于k,，”的二元一次方

程組，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=依（k關(guān)0）,

???該正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過4（3,祖-1）,8（4,2機(jī)-1）兩點(diǎn)，

m-1=3k

2m-1=4%

m=-0.5

解得:

Z=—0.5

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式是解決此題的

關(guān)鍵.

5.下列運(yùn)算正確的是()

A.a2-3a『2a2B.(-2a2)'=-6a6

C.(a+1)2=a2+lD.3a2?2a3=6a5

【答案】D

【解析】

【分析】

利用合并同類項(xiàng)法則、積的乘方的性質(zhì)、完全平方公式、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式乘法法則分別進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：A、a2-3a2=-2a2,故原題計(jì)算錯(cuò)誤；

B、(-2a2)3=-8a6,故原題計(jì)算錯(cuò)誤；

C、(a+1)2—ar+2a+1,故原題計(jì)算錯(cuò)誤；

D、3a2?2a3=6a\故原題計(jì)算正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查合并同類項(xiàng)、積的乘方法則、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則是關(guān)

鍵.

6.如圖，在Rt/XABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CE平分NACB交AB于點(diǎn)E.EFJ_BC于點(diǎn)F,若EF

=4,則線段AE的長(zhǎng)為()

A.273B.%白C.2y/3+2D.36

3

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)角平分線的定義和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???CE平分NACB,

.\ZACE=ZBCE,

VZACB=90°,EFXBC,

.,.ZACB=ZEFB=90°,

???NECF=NCEF,

???CF=EF=4,

VZB=30°,

???BE=2EF=8,BF=&EF=45

???BC=CF+BF=4+4石,

VZACB=90°,ZB=30°,

4+46

,「BC8百+24

??AB=-------

cos53

AAE=AB-BE=^5

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，直線4與4關(guān)于直線y=l對(duì)稱，若直線4的表達(dá)式為y=-2x+3,則直線6與x

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(—,0)B.(-,0)C.(0,0)D.(1,0)

22

【答案】A

【解析】

【分析】

求得直線4上的兩點(diǎn)，進(jìn)一步得到關(guān)于直線y=l的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線4,把y=0代入

即可求得直線4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：在直線4y=-2x+3中，令x=0,則y=3,

直線4與y軸的交點(diǎn)為(0,3),

直線4與經(jīng)過點(diǎn)(1,1),(0,3),

?.?點(diǎn)（0,3）關(guān)于直線y=l的對(duì)稱點(diǎn)為（0,-1）,

直線6經(jīng)過點(diǎn)（1，1）和點(diǎn)（0，-1）,

設(shè)直線4的解析式為y=kx+b,

k+bk=2

,,=1,解得〈

b=-\b=-l)

直線4的解析式為y=2x-1,

直線。與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（L,0）,

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次

函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征，求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,E為AB上一點(diǎn)，將4ADE沿DE翻折，若A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A'

恰好落在BC上，則AE的長(zhǎng)為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

由矩形的性質(zhì)得NB=NC=90。，AD=BC=10,CD=AB=S,由折疊的性質(zhì)得4￡>=AO=10,AE=A'E,

由勾股定理求得AC=6,得出48=4,由勾股定理得45+8層=加/，求出BE=3,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形A8CQ是矩形，

AZB=ZC=90°,AD=BC=IO,CD=AB=8,

由折疊的性質(zhì)得：A'D=AD=\Q,AE=A'E,

在Rt^A'CD中，由勾股定理得：A'C=ylA'D2-CD2=A/102-82=6，

：.A'B=BC-A'C=10-6=4,

在放AABE中，由勾股定理得：A,B2+BE2=A,￡2,

即42+B￡2=（8-BE）2,

解得：BE=3,

，AE=8-3=5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于AB=CB,ZBAC=30°,BD=6,則AD+CD的值為（）

B.26C.G+lD.不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

如圖，過點(diǎn)B作BE_LAD于E,BF_1_DC交DC的延長(zhǎng)線于F.利用全等三角形的性質(zhì)證明DE=DF,AE

=CF,推出DA+DC=2DF,求出DF即可解決問題.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BELAD于E,BFLDC交DC的延長(zhǎng)線于F.

VAB=BC,

JAB=BC，

???NBDE=NBDF,

VZDEB=ZDFB=90°,DB=DB,

AABDE^ABDF(AAS),

???BE=BF,DE=DF,

\'ZAEB=ZF=90°,BA=BC,BE=BF,

RtABEA^RtABFC(HL),

???AE=CF,

???AD+DC=DE+AE+DF-CF=2DF,

VZBDF=ZBAC=30°,BD=6，

ABF=—BD=—,

22

JDF=y]BD2-BF2=1(6)2—(苧了=3，

：.DA+DC=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加

常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

10.若拋物線M：y=x2-（3m-1）x-3與拋物線M，：y=x?+10x+2n+5關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則m,

n值為（）

A.m=l,n=10B.m=2,n=5C.m=l,n=8D.m=2,n=7

【答案】C

【解析】

【分析】

由拋物線M：y=x2-（3m-1）x-3可知拋物線M的對(duì)稱軸為直線x=-^,交y軸于點(diǎn)（0,-3）,

拋物線MZy=x2+10x+2n+5的對(duì)稱軸為直線x=-5,根據(jù)題意得到5（—^-5）=-2,點(diǎn)（0,

-3）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱的點(diǎn)（-4,-3）,在拋物線Mz：y=x2+10x+2n+5上，進(jìn)而求得m=l,n=8.

【詳解】解：由拋物線M：y=x2-（3m-1）x-3可知拋物線M的對(duì)稱軸為直線乂=方二，交y軸于點(diǎn)

（0,-3）,

拋物線M-：y=x?+10x+2n+5的對(duì)稱軸為直線x=-2=-5,

?拋物線M：y=x2-(3m-1)x-3與拋物線MZy=x?+10x+2n+5關(guān)于直線x=-2對(duì)稱,

13m-l、

/.一(------5)="2,

22

解得m=l,

???點(diǎn)（0,-3）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱的點(diǎn)（-4,-3）,在拋物線MZy=x2+10x+2n+5±,

???把點(diǎn)(-4,-3)代入得-3=16-40+2n+5,

解得n=8,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，表示出拋物線的對(duì)稱軸以及軸對(duì)稱

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共4小題）

H.比較大?。?0275

【答案】<

【解析】

【分析】

將兩數(shù)平方后比較大小，可得答案.

【詳解】（3行『=18,（26『=20,18<20

30<275

故填：<.

【點(diǎn)睛】本題考查比較無理數(shù)的大小，無理數(shù)的比較常用平方法.

12.如圖，若正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為1,連接對(duì)角線AC,AD.則4ACD的周長(zhǎng)為.

【答案】3+6

【解析】

【分析】

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得NACB=NBAC=30。，進(jìn)而可得

ZACD=90°,NCAD=30。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【詳解】解：?..正六邊形ABCDEF中，AB=BC=CD=1,ZB=ZBCD=120°,

AZACB=ZBAC=30°,

.?./ACD=90°,

VZCDA-ZEDA=60°,

AZCAD=30°,

，AD=2CD=2,AC=722^f>

.?.△ACD的周長(zhǎng)=AD+AC+CD=3+G,

故答案為：3+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)以及

勾股定理等知識(shí)，屬于常見題型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，D是菱形ABCO的對(duì)稱中心，點(diǎn)C在x軸上.0A=4,ZOAB=1200.若一個(gè)反比例函數(shù)的圖

象經(jīng)過點(diǎn)D,交OA于點(diǎn)E,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

【答案】(百，3)

【解析】

【分析】

作AH_Lx軸于H,EGLx軸于G,如圖，易得0A=4,ZAOC=60°,然后利用解直角三角形的知識(shí)可求

得AH、0H的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得D的坐標(biāo)，于是可得反比例函數(shù)解析式，從而可得

△OEG的面積，易證△EOGsaAOH,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出OG、EG的長(zhǎng)，從而可得E的

坐標(biāo).

【詳解】解：作AHJ_x軸于H,EGJ_x軸于G,如圖，

?.,菱形ABCO中，OA=4,ZOAB=120°,

.-.OC=4,ZAOC=60°,

，AH=OA?sin60°=4x@=26,OH=OA*cos60°=4x—=2,

22

.?.點(diǎn)A(2,25,C(4,0),

：D是菱形ABCO的對(duì)稱中心，

；.D(3,百)，

設(shè)反比例函數(shù)解析式為丫=

X

k

*?*y=—經(jīng)過點(diǎn)D(3,5/3)，?'?k=3x=3

x

?,.SAOEG=-

2

VAH/7EG,/.AEOG^AAOH,

q

%OEG

=（翁

,*,SAAOH=Qx2x2>/3—2,

3g2

OGI,解得：0G=6,EG=3,

2^3

；.E(百，3),

故答案為：(百，3).

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，但難度不大，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,0),B(0,2),C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BC為一邊作等腰

RtABCD,使得NBCD=90。，CB=CD,連接AD,則AD+BD的最小值為.

【答案】V29

【解析】

分析】

過點(diǎn)D作DE，x軸于E,截取BO=CF=2,連接DF,作點(diǎn)A關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接AB交直線

DF于點(diǎn)D，，由“AAS”可證△BCO絲ZSEDE,可得OC=DE,CE=BO=2,可求DE=EF,可得點(diǎn)D在過點(diǎn)

(2,0),且與x軸所成的銳角為45。的直線上運(yùn)動(dòng)，則可得AB的長(zhǎng)是AD+BD的最小值，由兩點(diǎn)距離公

式可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE，x軸于E,截取BO=CF=2,連接DF,作點(diǎn)A關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)

A',連接AB交直線DF于點(diǎn)D\

VZBCD=90°,

.\ZBCO+ZDCE=90o,

又ZBCO+ZOBC=90°,

.,.ZDCE=ZOBC,

在△BCO和4CDE中，

40BC=/DCE

<ZBOC=ZCED=90,

BC=CD

.".△BCO^AEDE(AAS),

；.OC=DE,CE=BO=2,

VOF=BO=2,

.,.OF=CE,

.\EF=OC=DE,

又EF,

ZDFE=45°,

.?.點(diǎn)D在過點(diǎn)(2,0),且與x軸所成的銳角為45。的直線上運(yùn)動(dòng),

:點(diǎn)A關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)A',

/.A'B長(zhǎng)是AD+BD的最小值，

?.?點(diǎn)A(-1,0),

-2,-3),

又?.?點(diǎn)B(0,2),

???A'B=J(2_())2+(-3-2)2=a,

故答案為：V29.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全

等三角形和確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵.

三、解答題(共U小題，解答題應(yīng)寫出過程)

15.計(jì)算：我+(?-1)°-|4-30卜

【答案】7-V2

【解析】

【分析】

利用二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)、零次基的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算，然后再算加減即可.

【詳解】解：原式=2近+2+1-(372-4)

=2血+2+1-3及+4

=7-72.

【點(diǎn)睛】本題考查了化簡(jiǎn)二次根式、負(fù)整數(shù)指數(shù)基、零指數(shù)基、絕對(duì)值，掌握這些知識(shí)的運(yùn)算法則是解答

的關(guān)鍵.

尤+1]_3

16.解方程:

龍+2x—2

【答案】x=-I

【解析】

【分析】

根據(jù)解分式方程的解法步驟求解即可.

x+1]_3

【詳解】解:

x+2x-2

去分母得，(x+1)(x-2)-(x+2)(x-2)—3(x+2)

去括號(hào)得，x2-x-2-X2+4=3X+6

移項(xiàng)得，x2-x-x2-3x=6+2-4

合并同類項(xiàng)得，-4x=4

系數(shù)化為1得，x=-1

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-1是原方程的解，

所以原方程的解為X=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.

17.如圖，已知四邊形ABCD中，AD〃BC,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作：OO,使得。。經(jīng)過B,C兩點(diǎn)且與

直線AD相切（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

先作BC垂直平分線交AD于E,連接BE,再作BE的垂直平分線交BC的垂直平分線于點(diǎn)O,然后以O(shè)

點(diǎn)為圓心，0E為半徑作圓即可.

【詳解】解：如圖，。。為所作.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖和圓的切線的判定，正確理解題意、熟練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方

法、找出圓心的位置是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在AABC中，D為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，CE〃AB交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若DF=FE,

求證：AD=CE.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

由CE〃AB可得NA=/FCE,ZADF=ZE,然后即可根據(jù)AAS證明△ADFgZ\CEF,進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】證明：：CE〃AB,

；./A=/FCE,/ADF=NE,

又；DF=FE,

/.△ADF^ACEF(AAS),

/.AD=CE.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握全等三角形的判

定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.某校為了解九年級(jí)同學(xué)的體育考試準(zhǔn)備情況，隨機(jī)抽查該年級(jí)若干名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，然后把測(cè)試結(jié)果分

為4個(gè)等級(jí)：A、B、C、D,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答下面的問題：

(1)本次抽樣調(diào)查了學(xué)生；

(2)抽查了名等級(jí)為C的學(xué)生？并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)若該校九年級(jí)學(xué)生共有1500人，請(qǐng)估計(jì)獲得B等級(jí)有多少人？

【答案】(1)500名

(2)120；畫圖見解析

(3)120人

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)A等級(jí)的人數(shù)和所占的百分比，可以求得本次調(diào)查的人數(shù)；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和扇形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以得到C等級(jí)的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完

整.

(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出獲得B等級(jí)有多少人.

【詳解】解：(1)本次抽樣調(diào)查了260?52%=500名學(xué)生，

故答案為：500名；

(2)等級(jí)為C的學(xué)生有:500X24%=120(名),

補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如右圖所示，

故答案為：120；

(3)1500X——=120(人),

500

即獲得B等級(jí)有120人.

【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

20.小華想用學(xué)過的測(cè)量知識(shí)來測(cè)量家門前小河的寬度：如圖所示，他們?cè)诤影哆叺目盏厣线x擇一點(diǎn)C,

并在點(diǎn)C處安裝了測(cè)傾器C。，選擇了河對(duì)岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)頂部作為點(diǎn)A,現(xiàn)測(cè)得古

樹的項(xiàng)端A的仰角為37°,再在BC的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)R使CF=5米，小華站在廣處，測(cè)得小華的身

高EF=1.8米，小華在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)尸G=3米，此時(shí)，大樹4B在太陽(yáng)光下的影子為BR已知測(cè)傾器的

高度C￡>=1.5米，點(diǎn)G、F、C、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于8G,求小河的寬度BC.（參

考數(shù)據(jù)：sin?11°弋0.6,cos31a弋0.8,tan37°40.75）

【答案】10米

【解析】

【分析】

過點(diǎn)。作力所在直線于點(diǎn)H,可得四邊形。CB"是矩形，BC=DH,BH=CD=1.5,設(shè)8c=￡W=x,

在RSAD”中，用x表示出A”，再根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等，列出等式即可求出小河的寬度BC.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作所在直線于點(diǎn)”，

可得四邊形OC8,是矩形，

:.BC=DH,BH=CD=15,

設(shè)BC=DH=x,

根據(jù)題意可知：

在用中，ZADH=31°,

：.AH=DH'tariil°-0.75x,

：.AB=AH+BH=0.15x+\.5,

BF=FC+CB=5+x,

根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等，

.EFAB

??----------，

FGBF

1.80.75x+1.5

??二，

35+無

解得x=10,

所以8c=10(米),

答：小河的寬度BC為10米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題、平行投影，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，利用

同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等建立方程.

21.某市為節(jié)約水資源，制定了新的居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).按照新標(biāo)準(zhǔn)，用戶每月繳納的水費(fèi)y(元)與每月

用水量x(n?)之間的關(guān)系如圖所示.

(1)當(dāng)xV13時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若某用戶二、三兩月共用水40m3(二月份用水量不超過27m3),兩月共納水費(fèi)155元，則該用戶二、

三兩月的用水量各是多少nP?

y阮)

o]61320x(m3)

7,,

【答案】(1)y=yX；(2)二月的用水量是12m3,三月的用水量是28m&

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出當(dāng)x<13時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出

當(dāng)近13時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)二月份用水量為mH,則三月份用水量為(40-n)m3,當(dāng)n<13時(shí)，

根據(jù)兩月共繳納水費(fèi)155元，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出n值；當(dāng)13Wn<27時(shí)，結(jié)合

y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式可得出兩月共繳納水費(fèi)154元，與已知矛盾，由此可得出不存在該情況.

【詳解】解：(1)設(shè)當(dāng)xV13時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為丫=1?(k匈)，

將A(6,21)代入y=kx,得：6k=21,

7

解得：k=—,

2

,,,7

當(dāng)x<13時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y='X.

791

(2)當(dāng)x=13時(shí)，y=-xl3=一，

22

91

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(13,—).

2

設(shè)當(dāng)延13時(shí)，，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+b(a/0),

9113cz+^=—

將A(13,—),B(2O,77)代入y=ax+b,得：2,

20a+b=77

9

Cl———

解得：\2,

.=—13

,9

當(dāng)這13時(shí)，y關(guān)于xJ的函數(shù)表達(dá)式為y=-13.

設(shè)二月份用水量為nn?,則三月份用水量為(40-n)m3.

79

當(dāng)n<13時(shí)，-n+-(40-n)-13=155,

22

解得：n—12,

40-n=28；

99

當(dāng)13Wn<27時(shí)，一n-13+—(40-n)-13=154^55,不合題意，舍去.

22

答：該用戶二月的用水量是12m3,三月的用水量是28m3.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是讀懂題意，從函數(shù)圖象中獲取信

息，利用數(shù)形結(jié)合思想、待定系數(shù)法和分類討論的數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題型，難度適中.

22.五一期間，某商場(chǎng)為了吸引顧客.開展有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤被分成4

個(gè)面積相等的扇形，四個(gè)扇形區(qū)域里分別標(biāo)有“20元”、“30元”、“40元”、“50元”的字樣（如圖）.規(guī)

定：同一日內(nèi)，顧客在本商場(chǎng)每消費(fèi)滿200元，就可以轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，商場(chǎng)根據(jù)轉(zhuǎn)盤指針指向區(qū)域所標(biāo)金

額返還相應(yīng)數(shù)額的代金券.某顧客當(dāng)天消費(fèi)500元，轉(zhuǎn)了兩次轉(zhuǎn)盤.

（1）該顧客最少可得元代金券，最多可得元代金券；

（2）請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法，求該顧客所獲代金券金額不低于80元的概率.

【答案】（1）40,100

⑵1

【解析】

【分析】

（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖即可求得該顧客最少可得40元代金券，最多可得100元代

金券；

（2）由（1）中的樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果與該顧客所獲代金券金額不低于80元的情況，然后利

用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：（1）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

開始

2064050203040502030405020304050

則該顧客最少可得40元代金券，最多可得100元代金券；

故答案為：40,100；

(2)I?共有16種等可能的結(jié)果，該顧客所獲代金券金額不低于80元的有6種情況,

???該顧客所獲代金券金額不低于80元的概率為：￡=1.

16o

【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，熟練應(yīng)用列表法或樹狀圖法求解是解題關(guān)鍵.

23.如圖，AB為。。的直徑，在AB的延長(zhǎng)線上，C為。O上點(diǎn)，ADLCE交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若AC

平分/DAB.

(1)求證：DE為。。的切線；

(2)當(dāng)BE=2,CE=4時(shí)，求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)

5

【解析】

【分析】

(1)連接OC,求證OC〃AD,然后根據(jù)切線的判定即可求出答案.

(2)設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)勾股定理求出r=3,然后利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：(1)連接OC,

???AC平分NOAD,

AZDAC=ZOAC,

VOC=OA,

.\ZOAC=ZOCA,

AZOCA=ZDAC,

???OC〃AD,

AZADC=ZOCE,

VAD±CE,

.\ZADC=90°,

.\ZOCE=90°,

.\OC±ED,

?..OC是。o的半徑，

；.DE是。O的切線.

(2)設(shè)。O的半徑為r,

在RtAOCE中

(r+2)2=r2+42,

r—3,

：OC〃AD,

.".△EOC^AEAD,

,OCOE

..---=----,

ADAE

,35

??一，

AD8

，由勾股定理可知：DE=M，

12

.*.CD=DE-CE=—,

5

在Rt^ADC中，

由勾股定理可知：AC=U^

5

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，需要學(xué)生靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

24.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+k的頂點(diǎn)A在直線/：y=x-3上，將拋物線沿直線

/向右上方平移，使其頂點(diǎn)P始終保持在直線/上，設(shè)平移后的拋物線與原拋物線交于B點(diǎn).

(1)請(qǐng)直接寫出k的值；

(2)若拋物線y=x2+k與直線/：y=x-3的另一個(gè)交點(diǎn)為C.當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí).求平移后拋物線的

解析式；

(3)連接AB,BP,當(dāng)4ABP為直角三角形時(shí)，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴k=-3

(2)y=x2-2x-1

(3)(3,0)或(石，75-3)

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)直線/：y=x-3,可得直線與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而代入拋物線的解析式y(tǒng)=x2+k,可得

k的值；

(2)將兩函數(shù)的解析式列方程后可得交點(diǎn)C的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)C重合，所以平移后的拋物線的頂點(diǎn)P

與C重合，由此可得平移后的拋物線的解析式；

(3)分兩種情況：①當(dāng)NAPB=90。，如圖2,利用勾股定理和兩點(diǎn)的距離公式，列方程可得結(jié)論；②當(dāng)NABP

=90。，利用勾股定理和兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算量太大，所以作輔助線，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，利用等角的正

切列比例式可得結(jié)論.

【詳解】解：⑴直線/：y=x-3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,

???頂點(diǎn)(0,-3),

???拋物線的解析式為:y=x2-3,即k=-3；

(2)由題意得：x2-3=x-3,

解得：X]=0,X2=l,

：.C(1,-2),

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖1,頂點(diǎn)P(l,-2),

:?平移后拋物線的解析式為：y=(x-1)2-2=x2-2x-1；

(3)?.?拋物線頂點(diǎn)P始終保持在直線/上，

.?.設(shè)P（m,m-3）,則平移后的拋物線的解析式為：y=（x-m）2+m-3,

y=/一3

,?]/、2，

y=\<x-m）+m-3

m+1

x=

2

解得：＜

m2+2m-ll

y=

4

"2+1nr+2m-11

???B（------）,

24

??,拋物線x2-3沿直線/向右上方平移，

???當(dāng)4ABP為直角三角形時(shí)，NPAB不可能為直角,

所以分兩種情況：

①當(dāng)NAPB=90。時(shí)，如圖2,AP2+BP2=AB2,

,22/〃2+1\2?「m~+2〃2—11.（根+1）~/獷+2加-11

..①一+加+（m一——）-+[-----------------（加-3）]2='4+（---------------+3），

.\m（m-1）（m-3）=0,

/.mi=0（舍），m2=l（舍），m3=3,

：.P（3,0）；

②當(dāng)NABP=90。時(shí)，如圖3,過B作EF_Ly軸于F,過P作PE_LEF于E,

???ZABF+NEBP=ZEBP+ZEPB=90°,

AZABF=ZEPB,

AFBE

tanZABF=tanZEPB,即an-=----,

BFPE

77?*2+2m-11「m+1

...4________=2,

m+lm24-2m-11/

——（加一3）

24

解得：mi=-逐（舍），m2=75，

：.P（底V5-3）,

綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,0）或（石，75-3）.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，三角函數(shù)，兩點(diǎn)距離公

式，勾股定理，平移等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

25.如果一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都落在一個(gè)矩形的邊上（含頂點(diǎn)）.則稱這個(gè)三角形為矩形的內(nèi)接三角形.

問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,等邊4AEF內(nèi)接于正方形ABCD,若AE=2,則正方形ABCD的面積為；

探索問題（2）如圖2,若等邊4AEF內(nèi)接于正方形ABCD,試證明4ABE和4ADF的面積之和等于4CEF

的面積；

拓展應(yīng)用（3）如圖3,若等邊4AEF內(nèi)接于矩形ABCD（ABVAD）.請(qǐng)問（2）中的結(jié)論是否成立？如果

不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)說明理由.