高等數(shù)學(xué)(微積分學(xué))教學(xué)課件

高等數(shù)學(xué)(微積分學(xué))教學(xué)課件匯報(bào)人：AA2024-01-24緒論極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分積分學(xué)微分方程無(wú)窮級(jí)數(shù)目錄01緒論古代微積分思想的萌芽01古希臘時(shí)期，阿基米德利用窮竭法計(jì)算面積和體積，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽提出割圓術(shù)，這些都是微積分思想的早期萌芽。17世紀(jì)微積分的創(chuàng)立0217世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分學(xué)，其中牛頓注重物理應(yīng)用，萊布尼茨則更注重?cái)?shù)學(xué)形式。18-19世紀(jì)微積分的發(fā)展03這一時(shí)期，數(shù)學(xué)家們對(duì)微積分的理論基礎(chǔ)進(jìn)行了深入研究，如柯西、魏爾斯特拉斯等人對(duì)極限理論的貢獻(xiàn)，使得微積分學(xué)更加嚴(yán)密。微積分學(xué)的歷史與發(fā)展研究對(duì)象微積分學(xué)主要研究函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，包括函數(shù)的極限、連續(xù)性、可微性、可積性等。任務(wù)微積分學(xué)的任務(wù)主要包括以下幾個(gè)方面：建立函數(shù)的概念，研究函數(shù)的性質(zhì)；建立極限理論，研究函數(shù)的極限及其性質(zhì)；建立微分學(xué)，研究函數(shù)的微分及其性質(zhì)；建立積分學(xué)，研究函數(shù)的積分及其性質(zhì)。微積分學(xué)的研究對(duì)象與任務(wù)基本思想微積分學(xué)的基本思想包括“以直代曲”、“以不變代變”等，即通過(guò)局部線(xiàn)性近似來(lái)研究非線(xiàn)性問(wèn)題，通過(guò)常量近似來(lái)研究變量問(wèn)題。方法微積分學(xué)的方法主要包括極限方法、微分方法和積分方法。其中極限方法是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，微分方法用于研究函數(shù)的局部性質(zhì)，積分方法則用于研究函數(shù)的全局性質(zhì)。這些方法在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。微積分學(xué)的基本思想與方法02極限與連續(xù)123描述函數(shù)在某一點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)處的變化趨勢(shì)。極限的定義唯一性、局部有界性、保號(hào)性、四則運(yùn)算法則。極限的性質(zhì)單調(diào)有界數(shù)列必有極限，夾逼定理。極限存在的條件極限的概念與性質(zhì)極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的定義絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大量。無(wú)窮大量的定義無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量，反之亦然。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系有限個(gè)無(wú)窮小量的和、差、積仍是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量的性質(zhì)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量03連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。01連續(xù)函數(shù)的定義函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。02間斷點(diǎn)的類(lèi)型第一類(lèi)間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)）和第二類(lèi)間斷點(diǎn)（無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)）。函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理、零點(diǎn)存在定理。一致連續(xù)性的概念描述函數(shù)在某一區(qū)間上整體連續(xù)的性質(zhì)。一致連續(xù)性的判定Cantor定理、Heine定理等。連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用舉例。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)03導(dǎo)數(shù)與微分通過(guò)極限思想，定義函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率。導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)描述函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率和變化率。可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。包括局部性質(zhì)（如單調(diào)性、極值）和全局性質(zhì)（如凸性、拐點(diǎn)）。導(dǎo)數(shù)的概念與性質(zhì)包括常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式加法、減法、乘法、除法的求導(dǎo)法則。四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)法則鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則通過(guò)對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)來(lái)求解隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則微分的定義函數(shù)在某一點(diǎn)處的微小變化量。微分的幾何意義描述函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的微小切線(xiàn)段。微分的基本公式和運(yùn)算法則包括基本初等函數(shù)的微分公式和四則運(yùn)算的微分法則。微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用如利用微分求函數(shù)的近似值、估計(jì)誤差等。微分及其應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)，具有描述函數(shù)更精細(xì)變化的能力。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則逐次求導(dǎo)法則和萊布尼茲公式等。隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求法通過(guò)對(duì)方程兩邊同時(shí)求二階導(dǎo)數(shù)來(lái)求解隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性態(tài)研究中的應(yīng)用如判斷函數(shù)的凸性、拐點(diǎn)等。04積分學(xué)不定積分的定義原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，不定積分的符號(hào)表示?；痉e分公式與法則常見(jiàn)函數(shù)的積分公式，積分法則的應(yīng)用。不定積分的性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質(zhì)。不定積分的概念與性質(zhì)通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化積分，包括三角代換、根式代換等。換元積分法適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)乘積的形式，通過(guò)分部計(jì)算簡(jiǎn)化積分。分部積分法結(jié)合換元法與分部積分法求解復(fù)合函數(shù)的積分。復(fù)合函數(shù)的積分換元積分法與分部積分法定積分的定義定積分的幾何意義，定積分的符號(hào)表示。定積分的性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、保序性、絕對(duì)可積性。微積分基本定理建立不定積分與定積分之間的聯(lián)系，揭示微分與積分的互逆關(guān)系。定積分的概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算利用原函數(shù)求定積分，利用定積分的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。定積分的應(yīng)用求面積、體積、弧長(zhǎng)等幾何量，求物理量如功、壓力等。廣義積分無(wú)窮區(qū)間上的定積分，無(wú)界函數(shù)的定積分，其計(jì)算與應(yīng)用。定積分的計(jì)算與應(yīng)用05微分方程微分方程的定義含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程初始條件確定解在某個(gè)點(diǎn)的取值條件微分方程的解滿(mǎn)足微分方程的函數(shù)微分方程的階未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)微分方程的基本概念可分離變量法將方程改寫(xiě)為可分離變量的形式，然后積分求解齊次方程法通過(guò)變量替換將方程化為可分離變量的形式一階線(xiàn)性微分方程法通過(guò)常數(shù)變易法或公式法求解伯努利方程法通過(guò)變量替換將方程化為一階線(xiàn)性微分方程求解一階微分方程及其解法高階非線(xiàn)性微分方程法通過(guò)變量替換、降階等方法求解歐拉方程法通過(guò)變量替換將方程化為常系數(shù)線(xiàn)性微分方程求解高階線(xiàn)性微分方程法通過(guò)特征根法或常數(shù)變易法求解高階微分方程及其解法微分方程的應(yīng)用舉例幾何應(yīng)用求曲線(xiàn)的切線(xiàn)、法線(xiàn)、弧長(zhǎng)等物理應(yīng)用求速度、加速度、力等物理量工程應(yīng)用求振動(dòng)、波動(dòng)、熱傳導(dǎo)等工程問(wèn)題的解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用求經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、復(fù)利計(jì)算等經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的解06無(wú)窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和前n項(xiàng)和$S_n=sum_{i=1}^{n}u_i$。線(xiàn)性性質(zhì)、結(jié)合律、交換律等。級(jí)數(shù)的性質(zhì)無(wú)窮序列各項(xiàng)的和，記作$sum_{n=1}^{infty}u_n$。級(jí)數(shù)的定義若$lim_{ntoinfty}S_n=S$存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，否則發(fā)散。級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)ABCD正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義所有項(xiàng)均為非負(fù)的級(jí)數(shù)。比值審斂法（達(dá)朗貝爾定理）通過(guò)計(jì)算$lim_{ntoinfty}frac{u_{n+1}}{u_n}$的值，判斷級(jí)數(shù)斂散性。比較審斂法通過(guò)比較兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，判斷其斂散性。根值審斂法（柯西定理）通過(guò)計(jì)算$lim_{ntoinfty}sqrt[n]{u_n}$的值，判斷級(jí)數(shù)斂散性。包含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義若$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$收斂，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若原級(jí)數(shù)收斂但$sum_{n=1}^{infty}|u_n|$發(fā)散，則稱(chēng)原級(jí)數(shù)條件收斂。絕對(duì)收斂與條件收斂相鄰兩項(xiàng)符號(hào)相反的級(jí)數(shù)，可用萊布尼茲定理判斷其斂散性。交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法形如$sum_{