2023年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學真題試卷(解析版)

2023年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學真題試卷及答案考生注意：1．考試時間120分鐘2．全卷共三道大題，總分120分一、選擇題（每小題3分，共30分）1.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分別根據(jù)積的乘方，完全平方公式，平方差公式和冪的乘方法則進行判斷即可．解：A.，原式計算錯誤；B.，原式計算錯誤；C.，計算正確；D.，原式計算錯誤．故選：C．【點撥】本題考查了積的乘方，完全平方公式，平方差公式和冪的乘方，熟練掌握運算法則，牢記乘法公式是解題的關鍵．2.下列新能源汽車標志圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．解：A.既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選A．【點撥】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關鍵．3.一個幾何體由若干大小相同的小正方體組成，它的俯視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】在“俯視打地基”的前提下，結合左視圖知俯視圖上一行三個小正方體的上方（第2層）至少還有1個正方體，據(jù)此可得答案.解：由俯視圖與左視圖知，該幾何體所需小正方體個數(shù)最少分布情況如下圖所示：所以組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少為5，故選：B．【點撥】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是掌握口訣“俯視打地基，主視瘋狂蓋，左視拆違章”．4.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（）A. B.5 C.和5 D.1和3【答案】C【解析】先根據(jù)平均數(shù)的定義列出關于的方程，求出的值，從而還原這組數(shù)據(jù)，再利用眾數(shù)的概念求解即可．解：∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1，∴，解得，則，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是和5，故選：C．【點撥】此題主要考查了眾數(shù)和平均數(shù)，解題關鍵是掌握眾數(shù)和平均數(shù)的概念．5.如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】設小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．解：設小路寬為，則種植花草部分的面積等于長為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．故選A．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．6.已知關于x的分式方程的解是非負數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【解析】解分式方程求出，然后根據(jù)解是非負數(shù)以及解不是增根得出關于m的不等式組，求解即可．解：分式方程去分母得：，解得：，∵分式方程的解是非負數(shù)，∴，且，∴且，故選：C．【點撥】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關于m的不等式組是解題的關鍵．7.某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（）A.5種 B.6種 C.7種 D.8種【答案】B【解析】設采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，根據(jù)采購三種圖書需500元列出方程，再依據(jù)x的數(shù)量分兩種情況討論求解即可．解：設采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，其中且均為整數(shù)，根據(jù)題意得，，整理得，，①當時，，∴∵且均為整數(shù)，∴當時，，∴；當時，，∴；當時，，∴；②當時，，∴∵且均為整數(shù)，∴當時，，∴；當時，，∴；當時，，∴；綜上，此次共有6種采購方案，故選：B．【點撥】本題主要考查了二元一次方程的應用，正確理解題意、進行分類討論是解答本題的關鍵．8.如圖，是等腰三角形，過原點，底邊軸，雙曲線過兩點，過點作軸交雙曲線于點，若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性可得，然后過點A作于E，求出，點D的橫坐標為，再根據(jù)列式求出，進而可得點D的縱坐標，將點D坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求出的值．解：由題意，設，∵過原點，∴，過點A作于E，∵是等腰三角形，∴，∴，點D的橫坐標為，∵底邊軸，軸，∴，∴，∴點D的縱坐標為，∴，∴，解得：，故選：C．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，設出點B坐標，正確表示出點D的坐標是解題的關鍵．9.如圖，在平面直角坐標中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點，點落在軸的點位置，點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先證明，求出，連結，設與交于點F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構建方程求出即可解決問題．解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設與交于點F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點的坐標是，故選：D．【點撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應用等知識，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長是解題的關鍵．10.如圖，在正方形中，點分別是上的動點，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點，對角線交于點，連接，下列結論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當點運動到的中點，；⑤．（）A.①②③④⑤ B.①②③⑤ C.①②③ D.①②⑤【答案】B【解析】利用正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，逐一判斷，即可解答．解：四邊形是正方形，，，，，，，，，故①正確，將沿翻折，得到，，∵，，故②正確，當時，，，，即在同一直線上，，，通過翻折的性質(zhì)可得，，∴，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故③正確，當點運動到的中點，如圖，設正方形的邊長為，則，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，故④錯誤，，，，，，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，，故⑤正確；綜上分析可知，正確的是①②③⑤．故選：B．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關鍵．二、填空題（每小題3分，共30分）11.據(jù)交通運輸部信息顯示：2023年“五一”假期第一天，全國營運性客運量約5699萬人次，將5699萬用科學記數(shù)法表示為__________．【答案】【解析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同當原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，n是負數(shù)．5699萬，故答案為：．【點撥】此題考查科學記數(shù)法的表示方法科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12.函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是____________．【答案】【解析】解：由題意得，，解得．13.如圖，在矩形中對角線，交于點，請?zhí)砑右粋€條件______________，使矩形是正方形（填一個即可）【答案】或【解析】根據(jù)正方形的判定定理可知：鄰邊相等的矩形是正方形，對角線互相垂直的矩形是正方形.∵鄰邊相等的矩形是正方形，∴可添加條件或者∵對角線互相垂直的矩形是正方形∴還可以添加條件【點撥】本題考查正方形的判定，找出正方形與矩形的性質(zhì)差異，即為可添加的條件.14.一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些小球除標號外完全相同，隨機摸出兩個小球，恰好是一紅一白的概率是__________．【答案】##0.6【解析】首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果與隨機摸出一紅一白的情況，再利用概率公式即可求得答案．解：列表得：紅1紅2紅3白1白2紅1（紅1，紅2）（紅1，紅3）（紅1，白1）（紅1，白2）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅3）（紅2，白1）（紅2，白2）紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3，白1）（紅3，白2）白1（白1，紅1）（白1，紅2）（白1，紅3）（白1，白2）白2（白2，紅1）（白2，紅2）（白2，紅3）（白2，白1）由列表可知：共有20種等可能的結果，其中隨機摸出兩個小球，恰好是一紅一白的情況有12種，∴恰好是一紅一白的概率是，故答案為：．【點撥】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15.關于的不等式組有3個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】##【解析】解不等式組，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解得出關于m的不等式組，進而可求得的取值范圍．解：解不等式組得：，∵關于的不等式組有3個整數(shù)解，∴這3個整數(shù)解為，，，∴，解得：，故答案為：．【點撥】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，正確得出關于m的不等式組是解題的關鍵．16.如圖，是的直徑，切于點A，交于點，連接，若，則__________．【答案】34【解析】首先根據(jù)等邊對等角得到，然后利用外角的性質(zhì)得到，利用切線的性質(zhì)得到，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．解：∵，，∴，∴，∵切于點A，∴，∴．故答案為：34．【點撥】此題考查了切線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．17.已知圓錐的母線長，側(cè)面積，則這個圓錐的高是__________．【答案】12【解析】利用圓錐的側(cè)面積公式可得到底面半徑，再利用勾股定理即可得到高．解：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式變形可得，根據(jù)圓錐母線公式，可得，故答案為：12．【點撥】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和母線公式，熟知上述公式是解題的關鍵．18.在中，，點是斜邊的中點，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，點，點旋轉(zhuǎn)后的對應點分別是點，點，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值是__________．【答案】##【解析】過點A作交的延長線于點G，求出，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點F在以A為圓心的長為半徑的圓上運動，則可得如圖中G、A.F三點共線時點F到直線的距離最大，求出距離的最大值，然后計算即可．解：如圖，在中，，，點是斜邊的中點，∴，，，∴，過點A作交的延長線于點G，∴，又∵在旋轉(zhuǎn)的過程中，點F在以A為圓心的長為半徑的圓上運動，，∴點F到直線的距離的最大值為，（如圖，G、A.F三點共線時）∴面積最大值，故答案為：．【點撥】本題考查了含直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點F到直線距離的最大值是解答本題的關鍵．19.矩形中，，將矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，若是直角三角形，則點到直線的距離是__________．【答案】6或或【解析】由折疊的性質(zhì)可得點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，延長交的另一側(cè)于點E，則此時是直角三角形，易得點到直線的距離；當過點D的直線與圓相切于點E時，是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．解：由題意矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，可知點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，如圖，延長交的另一側(cè)于點E，則此時是直角三角形，點到直線的距離為的長度，即，當過點D的直線與圓相切與點E時，是直角三角形，分兩種情況，①如圖，過點E作交于點H，交于點G，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，②如圖，過點E作交于點N，交于點M，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，綜上，6或或，故答案為：6或或．【點撥】本題考查了矩形折疊問題切線的應用，以及勾股定理，找到點E的運動軌跡是解題的關鍵．20.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A在直線上，頂點B在x軸上，垂直軸，且，頂點在直線上，；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第一個；過點作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點作垂直x軸，交于點，連接，得到第二個；如此下去，……，則的面積是__________．【答案】【解析】解直角三角形得出，，求出，證明，，得出，，總結得出，從而得出．解：∵，∴，∵軸，∴點A的橫坐標為，∵，∴點A的縱坐標為，∴，∴，∵，∴設，則，∴，∴，∴，，∵，∴，∴平分，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵軸，軸，∴，，∵軸，軸，軸，∴，∴，，∵，∴，，∴，∵，∴，同理，∴，，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形面積的計算，平行線的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)規(guī)律探究，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是得出一般規(guī)律．三、解答題（滿分60分）21.先化簡，再求值：，其中．【答案】，原式【解析】先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，然后求出，最后代值計算即可．解：，∵，∴原式．【點撥】本題主要考查了分式的化簡求值，求特殊角三角函數(shù)值，正確計算是解題的關鍵．22.如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，．（1）將向上平移4個單位，再向右平移1個單位，得到，請畫出．（2）請畫出關于軸對稱的．（3）將著原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，求線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結果保留）．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出對應點的位置進而畫出圖形；（2）利用軸對稱的性質(zhì)得出對應點的位置進而畫出圖形；（3）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)即可得出答案．（1）解：如圖所示，即為所求；（2）如圖所示，即為所求；（3）將著原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，設所在圓交于點D，交于點E，，，，，，，，，，，，故線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為．【點撥】本題考查平移、軸對稱變換作圖和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積，熟練掌握網(wǎng)格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．23.如圖，拋物線與軸交于兩點，交軸于點．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，點的坐標為或【解析】（1）采用待定系數(shù)法，將點和點坐標直接代入拋物線，即可求得拋物線的解析式．（2）過線段的中點，且與平行的直線上的點與點，點連線組成的三角形的面積都等于，則此直線與拋物線的交點即為所求；求出此直線的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，即可求得答案．（1）解：因為拋物線經(jīng)過點和點兩點，所以，解得，所以拋物線解析式為：．（2）解：如圖，設線段的中點為，可知點的坐標為，過點作與平行的直線，假設與拋物線交于點，（在的左邊），（在圖中未能顯示）．設直線的函數(shù)解析式為．因為直線經(jīng)過點和，所以，解得，所以，直線的函數(shù)解析式為：．又，可設直線的函數(shù)解析式為，因為直線經(jīng)過點，所以．解得．所以，直線的函數(shù)解析式為．根據(jù)題意可知，．又，所以，直線上任意一點與點，點連線組成的的面積都滿足．所以，直線與拋物線的交點，即為所求，可得，化簡，得，解得，所以，點的坐標為，點的坐標為．故答案為：存在，點的坐標為或．【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一元二次方程、一元一次方程等，靈活結合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象特點是解題的關鍵．24.某中學開展主題為“垃圾分類，綠色生活”的宜傳活動、為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，該校團委在校園內(nèi)隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)在，將他們的得分按A：優(yōu)秀，B：良好，C：合格，D：不合格四個等級進行統(tǒng)計，并繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）這次學校抽查的學生人數(shù)是__________人；（2）將條形圖補充完整；（3）扇形統(tǒng)計圖中C組對應的扇形圓心角度數(shù)是__________；（4）如果該校共有2200人，請估計該校不合格的人數(shù)．【答案】（1）40（2）見解析（3）（4）220人【解析】（1）用A：優(yōu)秀的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出參與調(diào)查的學生人數(shù)；（2）先求出C：合格的人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖即可；（3）用360度乘以C組對應人數(shù)占比即可得到答案；（4）用2200乘以樣本中D組對應的人數(shù)占比即可得到答案．（1）解：人，∴這次學校抽查的學生人數(shù)是人，故答案為：40；（2）解：由（1）得C：合格的人數(shù)為人，補全統(tǒng)計圖如下所示：（3）解：，∴扇形統(tǒng)計圖中C組對應的扇形圓心角度數(shù)是，故答案為：；（4）解：人，∴估計該校不合格的人數(shù)為220人．【點撥】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關聯(lián)，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關鍵．25.已知甲，乙兩地相距，一輛出租車從甲地出發(fā)往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發(fā)，貨車途經(jīng)服務區(qū)時，停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，貨車繼續(xù)出發(fā)后與出租車相遇．出租車到達乙地后立即按原路返回，結果比貨車早15分鐘到達甲地．如圖是兩車距各自出發(fā)地的距離與貨車行駛時間之間的函數(shù)圖象，結合圖象回答下列問題：（1）圖中的值是__________；（2）求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關系式；（3）直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)多長時間與出租車相距．【答案】（1）120（2）（3）或【解析】（1）利用待定系數(shù)法求得的解析式，將代入解析式，解方程即可解答；（2）根據(jù)題意可得的值，即為貨車裝貨時距離乙地的長度，結合貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，可求出裝貨時間，即點的坐標，再根據(jù)貨車繼續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，求出裝完貨后貨車的速度，即直線的解析式中的值，最后將點B坐標代入直線的解析式，利用待定系數(shù)法即可解答；（3）根據(jù)（2）中直線的解析式求得點的坐標，結合題意，可得點的坐標，從而可得到出租車返回時的速度，然后進行分類討論：①出租車和貨車第二次相遇前，相距時；②出租車和貨車第二次相遇后，距離時，分別進行解答即可．（1）解：結合圖象，可得，設直線的解析式為，將代入解析式，可得，解得，直線的解析式為，把代入，得，故答案為：120；（2）解：根據(jù)貨車停下來裝完貨物后，發(fā)現(xiàn)此時與出租車相距，可得此時出租車距離乙地為，出租車距離甲地為，把代入，可得，解得，貨車裝完貨時，，可得，根據(jù)貨車繼續(xù)出發(fā)后與出租車相遇，可得（出租車的速度貨車的速度），根據(jù)直線的解析式為，可得出租車的速度為，相遇時，貨車的速度為，故可設直線的解析式為，將代入，可得，解得，直線的解析式為，故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發(fā)地的距離與行駛時間之間的函數(shù)關系式為；（3）解：把代入，可得，解得，，，根據(jù)出租車到達乙地后立即按原路返回，結果比貨車早15分鐘到達甲地，可得,，出租車返回時的速度為，設在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)t小時，與出租車相距，此時貨車距離乙地為，出租車距離乙地為，①出租車和貨車第二次相遇前，相距時；可得，解得，②出租車和貨車第二次相遇后，相距時；可得，解得，故在出租車返回的行駛過程中，貨車出發(fā)或與出租車相距．【點撥】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的實際應用，能準確地理解題意，根據(jù)題中信息求得所需數(shù)據(jù)是解題的關鍵．26.如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．【答案】圖②中，圖③中，證明見解析【解析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；圖③：仿照圖②證明是等邊三角形，則．解：圖②中，圖③中，圖②證明如下：如圖②所示，連接，∵點F，G分別是的中點，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；圖③證明如下：如圖③所示，連接，∵點F，G分別是的中點，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．27.2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學組織畢業(yè)班的同學到當?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，（2）一共有六種購買方案（3）【解析】（1）設A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，然后根據(jù)用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數(shù)量相同列出方程求解即可；（2）設購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，然后根據(jù)，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫列出不等式組求解即可；（3）設購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，求出，根據(jù)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，可得W的取值與a的值無關，由此即可求出．（1）解：設A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，由題意得，，解得，檢驗，當時，，∴是原方程的解，∴，∴A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元；（2）解：設購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，由題意得，，解得，∵a是正整數(shù)，∴a的取值可以為275，276，277，278，279，280，∴一共有六種購買方案；（3）解：設購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，由題意得，，∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，∴W的取值與a的值無關，∴，∴．【點撥】本題主要考查了一元一次不等式組的實際應用，分式方程的實際應用，整式的加減的實際應用，正確理解題意列出方程和不等式組是解題的關鍵．28.如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在x軸上，，的長是一元二次方