山東省德州市夏津縣雙語中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

山東省德州市夏津縣雙語中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定積分（）A．0 B． C． D．2．若函數(shù)的導函數(shù)的圖像關于軸對稱，則的解析式可能為A． B． C． D．3．已知，則下列結論正確的是A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)4．已知隨機變量，，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.685．已知函數(shù)的定義域為，若對于，分別為某三角形的三邊長，則稱為“三角形函數(shù)”.給出下列四個函數(shù)：①②③④.其中為“三角形函數(shù)”的個數(shù)是（）A． B． C． D．6．“讀整本的書”是葉圣陶語文教育思想的重要組成部分，整本書閱讀能夠擴大閱讀空間。某小學四年級以上在開學初開展“整本書閱讀活動”，其中四年班老師號召本班學生閱讀《唐詩三百首》并背誦古詩，活動開展一個月后，老師抽四名同學(四名同學編號為)了解能夠背誦古詩多少情況，四名同學分別對老師做了以下回復:說:“比背的少”;說:“比背的多”;說:“我比背的多";說:“比背的多”.經(jīng)過老師測驗發(fā)現(xiàn)，四名同學能夠背誦古詩數(shù)各不相同，四名同學只有一個說的正確，而且是背誦的最少的一個.四名同學的編號按能夠背誦數(shù)量由多到少組成的四位數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知曲線和曲線圍成一個葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．8．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種9．a(chǎn)，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉軸選擇，有下列結論：①當直線與a成60°角時，與b成30°角；②當直線與a成60°角時，與b成60°角；③直線與a所成角的最小值為45°；④直線與a所成角的最大值為60°；其中正確的是_______.（填寫所以正確結論的編號）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．甲乙丙三人代表班級參加校運會的跑步，跳遠，鉛球比賽，每人參加一項，每項都要有人參加，他們的身高各不同．現(xiàn)了解到以下情況：（1）甲不是最高的；（2）最高的沒報鉛球；（3）最矮的參加了跳遠；（4）乙不是最矮的，也沒參加跑步；可以判斷丙參加的比賽項目是（）A．跑步比賽 B．跳遠比賽 C．鉛球比賽 D．無法判斷11．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．30 C．40 D．5012．已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，都有成立，設，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數(shù)z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m的值為_______．14．周長為的矩形，繞一條邊旋轉成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_______.15．已知a=log0.35,?b=2316．若交大附中共有名教職工，那么其中至少有兩人生日在同一天的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對于集合,,,,定義.集合中的元素個數(shù)記為.規(guī)定：若集合滿足,則稱集合具有性質.(1)已知集合,,寫出,的值；(2)已知集合,其中,證明：有性質；(3)已知集合,有性質,且求的最小值.18．（12分）在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)．在以原點為極點，為參數(shù)）．在以原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；（Ⅱ）設，直線與曲線C交于M，N兩點，求的值．19．（12分）2020年開始，國家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應對新高考，某學校從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學生進行調查.（1）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“歷史”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對抽取到的100名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如下表是根據(jù)調查結果得到的列聯(lián)表.請求出和，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；選擇“物理”選擇“歷史”總計男生10女生25總計（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中隨機抽取4人，設這4人中選擇“歷史”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.參考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函數(shù)，其中均為實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）設，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．21．（12分）甲將要參加某決賽，賽前，，，四位同學對冠軍得主進行競猜，每人選擇一名選手，已知，選擇甲的概率均為，，選擇甲的概率均為，且四人同時選擇甲的概率為，四人均末選擇甲的概率為．（1）求，的值；（2）設四位同學中選擇甲的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．22．（10分）已知函數(shù)(1)若不等式的解集為，求實數(shù)的值；(2)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用微積分基本定理求出即可．【題目詳解】.選C.【題目點撥】本題關鍵是求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)．2、C【解題分析】

依次對選項求導，再判斷導數(shù)的奇偶性即可得到答案?！绢}目詳解】對于A，由可得，則為奇函數(shù)，關于原點對稱；故A不滿足題意；對于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關于軸對稱，故B不滿足題意；對于C，由可得，則為偶函數(shù)，關于軸對稱，故C滿足題意，正確；對于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關于軸對稱，故D不滿足題意；故答案選C【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎題。3、A【解題分析】因為，所以，又，故，即答案C，D都不正確；又因為，所以應選答案A．4、D【解題分析】

先由對稱性求出，再利用即得解.【題目詳解】由于隨機變量，關于對稱，故故選：D【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，考查了學生概念理解，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.5、B【解題分析】

根據(jù)構成三角形條件，可知函數(shù)需滿足，由四個函數(shù)解析式，分別求得其值域，即可判斷是否滿足不等式成立.【題目詳解】根據(jù)題意，對于，分別為某三角形的三邊長，由三角形性質可知需滿足：對于①，，如當時不能構成三角形，所以①不是“三角形函數(shù)”；對于②，，則，滿足，所以②是“三角形函數(shù)”；對于③，，則，當時不能構成三角形，所以③不是“三角形函數(shù)”；對于④，，由指數(shù)函數(shù)性質可得，滿足，所以④是“三角形函數(shù)”；綜上可知，為“三角形函數(shù)”的有②④，故選：B.【題目點撥】本題考查了函數(shù)新定義的綜合應用，函數(shù)值域的求法，三角形構成的條件應用，屬于中檔題.6、A【解題分析】

分別假設四位同學是說正確的人，排除矛盾情況，推理得到答案【題目詳解】假設1正確，其他都錯誤，則1最少，比背的少，比背的少，3比4少，3比2少順序為：4231假設2正確，其他錯誤，則2最少，根據(jù)1知：2比4多，矛盾，排除假設3正確，其他錯誤，則3最少，根據(jù)2知：1比3少，矛盾，排除假設4正確，其他錯誤，則4最少，根據(jù)3知：3比4少，矛盾，排除故答案選A【題目點撥】本題考查了邏輯推理，依次假設正確的人，根據(jù)矛盾排除選項是解題的關鍵.7、D【解題分析】

先作出兩個函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查定積分的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、D【解題分析】每個同學都有2種選擇，根據(jù)乘法原理，不同的報名方法共有種，應選D.9、C【解題分析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．【題目詳解】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉軸，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標原點，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設點在運動過程中的坐標中的坐標，，，其中為與的夾角，，，在運動過程中的向量，，，，，設與所成夾角為，，則，，，，③正確，④錯誤．設與所成夾角為，，，當與夾角為時，即，，，，，，，此時與的夾角為，②正確，①錯誤．故選：．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．10、A【解題分析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠，即可得出結論.詳解：由（1），（3），（4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠，所以丙最高，參加了跑步比賽.故選：A.點睛：本題考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力.11、A【解題分析】等差數(shù)列中，，，．故選A．12、B【解題分析】

通過可判斷函數(shù)在上為增函數(shù)，再利用增函數(shù)的性質即可得到，，的大小關系.【題目詳解】由于當時，都有成立，故在上為增函數(shù)，,,而，所以，故答案為B.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的性質，利用函數(shù)性質判斷函數(shù)值大小，意在考查學生的轉化能力，分析能力和計算能力，難度中等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1.【解題分析】分析：由復數(shù)的實部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故答案為-1.點睛：本題考查了復數(shù)的基本概念，考查了復數(shù)是純虛數(shù)的條件.14、【解題分析】

設矩形的一邊長為,則另一邊長為,,再利用圓柱的體積公式求得體積的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.【題目詳解】設矩形的一邊長為,則另一邊長為,,則圓柱的體積==,當且僅當,即時等號成立.故答案為:.【題目點撥】本題考查了圓柱的體積公式和基本不等式,屬中檔題.15、a<c<b【解題分析】

將a,b,c分別判斷與0,1的大小關系得到答案.【題目詳解】a=b=0<c=故答案為a<c<b【題目點撥】本題考查了數(shù)值的大小比較，0，1分界是一個常用的方法.16、1【解題分析】分析：根據(jù)每年有天，可判斷名教職工，中至少有兩人生日在同一天為必然事件,從而可得結果.詳解：假設每一天只有一個人生日，則還有人，所以至少兩個人同日生為必然事件，所以至少有兩人生日在同一天的概率為，故答案為.點睛：本題考查必然事件的定義以及必然事件的概率，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明過程見解析；(3).【解題分析】

(1)利用定義,通過計算可以求出,的值；(2)可以知道集合中的元素組成首項為,公比為的等比數(shù)列,只要證明這個等比數(shù)列中的任意兩項(包括本身與本身)的和不在這個數(shù)列中即可.(3)根據(jù),有性質了,可以知道集合中元素的性質,這樣可以求出的最小值.【題目詳解】(1)根據(jù)定義可得：,.所以(2)數(shù)列的通項公式為：.若存在成立，則,因此有,即有.等式的左邊是2的倍數(shù),右邊是3的倍數(shù),故等式不成立,因此等比數(shù)列中的任意兩項(包括本身與本身)的和不在這個數(shù)列中所以中的元素的個數(shù)為：,即,所以有性質；(3)集合具有性質,所以集合中的任意兩個元素的和都不在該集合中,也就是集合中的任意兩個元素的和都不相等,對于任意的有,也就是任意兩個元素的差的絕對值不相等.設,所以集合具有性質,集合,有性質,且(當且僅當時,取等號).所以的最小值為.【題目點撥】本題考查了新定義題,考查了等比數(shù)列的性質,考查了反證法的應用.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）7.【解題分析】

（Ⅰ）直接把曲線C的參數(shù)方程平方相加，可以消除參數(shù)，得到普通方程，結合極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的直角坐標方程；（Ⅱ）先寫出直線的標準式參數(shù)方程，代入曲線方程，化為關于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關系及的幾何意義，即可求出?！绢}目詳解】(I)曲線C的普通方程:，直線l的直角坐標方程：；（II）設直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入，得，故；設對應的對數(shù)分別為，則，故.【題目點撥】本題主要考查曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化。易錯點是在應用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義時，參數(shù)方程必須是標準式，否則容易導致錯誤。19、（1），，有的把握認為選擇科目與性別有關.詳見解析（2）見解析【解題分析】

（1）完善列聯(lián)表，計算，再與臨界值表進行比較得到答案.（2）這4名女生中選擇歷史的人數(shù)可為0，1，2，3，4.分別計算對應概率，得到分布列，再計算數(shù)學期望.【題目詳解】（1）由題意，男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，所以列聯(lián)表為：選擇“物理”選擇“歷史”總計男生451055女生252045總計7030100，.假設：選擇科目與性別無關，所以的觀測值，查表可得：，所以有的把握認為選擇科目與性別有關.（2）從45名女生中分層抽樣抽9名女生，所以這9名女生中有5人選擇物理，4人選擇歷史，9名女生中再選擇4名女生，則這4名女生中選擇歷史的人數(shù)可為0，1，2，3，4.設事件發(fā)生概率為，則，，，，.所以的分布列為：01234所以的數(shù)學期望.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗，分布列，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.20、（1）當時，取得極大值，無極小值；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題對得，研究其單調性，可得當時，取得極大值，無極小值；（2）由題當時，，由單調性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構造函數(shù)，由單調性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設，則等價于，即，故又構造函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，設則，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，試題解析：（1）由題得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0極大值∴當時，取得極大值，無極小值；（2）當時，，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，設，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設，則等價于，即，設，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上恒成立，∴，設，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的