2024屆上海延安中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆上海延安中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，滿足一組數(shù)據(jù)如表所示，與的回歸直線方程為，則的值為（）A． B． C． D．2．等于（）A．B．C．1D．3．若是兩個(gè)非零向量，且，則與的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．若滿足，則的最大值為()A．8 B．7 C．2 D．15．從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái)，在取出的3臺(tái)中至少有甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同取法共有（）A．140種 B．80種 C．70種 D．35種6．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．7．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．73158．若為虛數(shù)單位，則的值為（）A． B． C． D．9．條件，條件，若是的必要不充分條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．1 C．2 D．411．已知{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3=6，S3=12，則公差d等于（）A．1 B． C．2 D．312．若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知△ABC中，AB=4，AC=2，|λAB+(2-2λ)AC|（λ∈R）的最小值為23，若P為邊AB14．已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱為，則該正六棱柱的體積為_(kāi)________15．已知三棱錐的底面是等腰三角形，，底面，，則這個(gè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為_(kāi)______.16．從位女生，位男生中選了人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，每個(gè)學(xué)科各人，且至多有位女生參賽，則不同的參賽方案共有__________種.(用數(shù)字填寫答案)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）若．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），，求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．19．（12分）幾個(gè)月前，成都街頭開(kāi)始興起“mobike”、“ofo”等共享單車，這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題．然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問(wèn)題，比如亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接小钡龋疄榇?，某機(jī)構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車隨機(jī)調(diào)查了50人，他們年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：年齡受訪人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車人數(shù)4512973（Ⅰ）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下，認(rèn)為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系；年齡低于35歲年齡不低于35歲合計(jì)支持不支持合計(jì)（Ⅱ）若對(duì)年齡在，的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記選中的4人中支持發(fā)展共享單車的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中．20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；21．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知的極坐標(biāo)方程為，,分別為在直角坐標(biāo)系中與軸，軸的交點(diǎn)．曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且），為,的中點(diǎn)．（1）將，化為普通方程；（2）求直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）被曲線所截得弦長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

將數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)計(jì)算出來(lái)，代入回歸方程，計(jì)算得到答案.【題目詳解】中心點(diǎn)為：代入回歸方程故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸方程過(guò)中心點(diǎn)的知識(shí)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、A【解題分析】試題分析：因?yàn)?，故選A．考點(diǎn)：定積分的運(yùn)算．3、A【解題分析】

畫出圖像：根據(jù)計(jì)算夾角為，再通過(guò)夾角公式計(jì)算與的夾角.【題目詳解】形成一個(gè)等邊三角形，如圖形成一個(gè)菱形.與的夾角為故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的加減和夾角，通過(guò)圖形可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.4、B【解題分析】試題分析：作出題設(shè)約束條件可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，把直線向上平移，增加，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為最大值．故選B．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題．5、C【解題分析】

按照選2臺(tái)甲型1臺(tái)乙型，或是1臺(tái)甲型2臺(tái)乙型，分別計(jì)算組合數(shù).【題目詳解】由題意可知可以選2臺(tái)甲型1臺(tái)乙型，有種方法，或是1臺(tái)甲型2臺(tái)乙型，有種方法，綜上可知，共有30+40=70種方法.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查組合的應(yīng)用，分步，分類計(jì)算原理，重點(diǎn)考查分類討論的思想，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解題分析】

考慮到中不等號(hào)方向，先研究C，D中是否有一個(gè)正確。構(gòu)造函數(shù)是增函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，有,所以作差，，對(duì)可分類，和【題目詳解】令，顯然單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有,所以另一方面因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（由遞增可得），∴，C正確。故選：C。【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷不等式是否成立，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)于不等式是否成立，有時(shí)可用排除法，即用特例，說(shuō)明不等式不成立，從而排除此選項(xiàng)，一直到只剩下一個(gè)正確選項(xiàng)為止。象本題中有兩個(gè)選項(xiàng)結(jié)論幾乎相反（或就是相反結(jié)論時(shí)），可考慮先判斷這兩個(gè)不等式中是否有一個(gè)為真。如果這兩個(gè)都為假，再考慮兩個(gè)選項(xiàng)。7、D【解題分析】原式等于，故選D.8、C【解題分析】試題分析：,選C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算9、B【解題分析】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的必要不充分條件，可以推導(dǎo)出，但是不能推導(dǎo)出，若，則等價(jià)于無(wú)法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于滿足條件的為空集，無(wú)法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于，由題意可知，，，，的取值范圍是，故選B.10、D【解題分析】

已知x，y滿足約束條件，畫出可行域，目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x，求出z與y軸截距的最大值，從而進(jìn)行求解；【題目詳解】∵x，y滿足約束條件，畫出可行域，如圖：由目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)﹣2x的幾何意義可知，z在點(diǎn)A出取得最大值，A（﹣3，﹣2），∴zmax＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4，故選：D．【題目點(diǎn)撥】在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，常用步驟為：①由約束條件畫出可行域?②理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找出最優(yōu)解的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值；也可將可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證，求出最值．11、C【解題分析】試題分析：設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由a3=6，S3=11，聯(lián)立可求公差d．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a3=6，S3=11，得：解得：a1=1，d=1．故選C．考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．12、A【解題分析】分析：設(shè)公共點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設(shè)公共點(diǎn)，，，曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，，解得.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-【解題分析】

令f(λ)＝|λAB+(2-2λ)AC|2=λ2AB2+(2-2λ)2AC2+2λ(2-2λ)AB?AC＝16λ2＋4(2-2λ)2＋2λ(2-2λ)?8cosA＝16[(2-2cosA)λ2+(2cosA-2)λ+1]，當(dāng)考點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積；2、平面向量的模．14、【解題分析】

先計(jì)算出底面正六邊形的面積，然后根據(jù)棱柱的體積公式，即可求解出正六棱柱的體積.【題目詳解】因?yàn)榈酌媸莻€(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，所以底面積為，所以正六棱柱的體積為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正棱柱的體積計(jì)算，難度較易.棱柱的體積計(jì)算公式：(是棱柱的底面積，是棱柱的高).15、【解題分析】分析：利用等體積法，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得求出r，再根據(jù)球的體積公式即可求出．詳解：∵AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，∴∴S△ABC=×AC×BC=×1×1=，S△PAC=×AC×PA=S△PAB=×AB×PA=，S△PCB==，∴VP﹣ABC=×PA?S△ABC=，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得r=．故答案為．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查幾何體的內(nèi)切球問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象能力分析推理能力.(2)求幾何體的內(nèi)切球的半徑一般是利用割補(bǔ)法和等體積法.16、【解題分析】分析：分只有一個(gè)女生和沒(méi)有女生兩種情況討論求不同的參賽方案總數(shù).詳解：當(dāng)只有一個(gè)女生時(shí)，先選一個(gè)女生有種選法，再?gòu)?個(gè)男生里面選2個(gè)男生有種方法，再把選出的3個(gè)人進(jìn)行排列有種方法，所以有種方法.當(dāng)沒(méi)有女生時(shí)，直接從4個(gè)男生里選3個(gè)排列有種方法.所以共有種方法，故答案為：96.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查排列組合的綜合，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力分類討論思想方法.(2)排列組合常用方法：一般問(wèn)題直接法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問(wèn)題縮倍法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類法、小數(shù)問(wèn)題列舉法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）求導(dǎo)得，再分成、、、四種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，得單調(diào)性，則，由（1）可得，則，令，求導(dǎo)，令，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可以求出答案．【題目詳解】解：（1），①當(dāng)時(shí)，令則，令，則，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，則或，令，則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，令則或，令則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，∴在上遞增，，∴，由（1）知在上遞減，在上遞增，∴，∴，令，則，令，，當(dāng)時(shí)，，故在上遞減，∴，∴，∴在上遞增，∵，∴．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查推理能力與計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想與分類討論思想，多次求導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．18、【解題分析】

先由求出復(fù)數(shù)，再由求出復(fù)數(shù)，計(jì)算出其復(fù)數(shù)，可得出以復(fù)數(shù)為根的實(shí)系數(shù)方程為，化簡(jiǎn)后可得出結(jié)果.【題目詳解】由，得，，.，，因此，以復(fù)數(shù)為一個(gè)根的實(shí)系數(shù)方程為，即，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算，考查實(shí)系數(shù)方程與虛根之間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解題分析】試題分析：（1）由題意可知a=30,b=10,c=5,d=5,代入：。（2）年齡在的5個(gè)受訪人中，有1人支持發(fā)展共享單車；年齡在的6個(gè)受訪人中，有5人支持發(fā)展共享單車．隨機(jī)變量的所有可能取值為2，3，1．所以，，.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：年齡低于35歲年齡不低于35歲合計(jì)支持301010不支持5510合計(jì)351550根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到的觀測(cè)值為．∴不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下，認(rèn)為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系．（Ⅱ）由題意，年齡在的5個(gè)受訪人中，有1人支持發(fā)展共享單車；年齡在的6個(gè)受訪人中，有5人支持發(fā)展共享單車．∴隨機(jī)變量的所有可能取值為2，3，1．∵，，，∴隨機(jī)變量的分布列為231∴隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．20、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)最大值為0，最小值為.【解題分析】

通過(guò)求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)在的最值.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)?對(duì)求導(dǎo)得，因函數(shù)定義域有，故，由.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上的最大值為.又，，且，∴在上的最小值為，∴在上的最大值為0，最小值為.【題目點(diǎn)撥】此題是函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的常見(jiàn)題，通常利用導(dǎo)數(shù)來(lái)處理．21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到單調(diào)性；（2）對(duì)a分情況討論，在不同的范圍下，得到函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而去掉絕對(duì)值，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.【題目詳解】（1）∵，（）①若，則，故在為增函數(shù)②若時(shí)，則，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)（2）①若，則由（1）知在為增函數(shù)，又，所以對(duì)恒成立，則設(shè)，（），則等價(jià)于，，，故在遞減，在遞增，而，顯然當(dāng)，，故不存在正實(shí)數(shù)，使