2024屆福建省三明一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆福建省三明一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且2．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)，則（）A．4 B．6 C．8 D．104．已知函數(shù)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．5．已知集合2，，3，，則A． B． C． D．2，3，6．已知實(shí)數(shù)滿足條件，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)p、q是兩個(gè)命題，若是真命題，那么（）A．p是真命題且q是假命題 B．p是真命題且q是真命題C．p是假命題且q是真命題 D．p是假命題且q是假命題8．已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．9．雙曲線與雙曲線有相同的（）A．頂點(diǎn) B．焦點(diǎn) C．漸近線 D．離心率10．對(duì)于函數(shù)，曲線在與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線方程為，由于曲線在切線的上方，故有不等式．類比上述推理：對(duì)于函數(shù)，有不等式（）A． B．C． D．11．對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“*”：設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.12．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意的都有，，若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個(gè)不相同的紅包，每人最多搶一個(gè)紅包，且紅包全被搶光，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有________種14．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為_(kāi)___.15．已知雙曲線，的焦點(diǎn)分別在軸，軸上，漸近線方程為，離心率分別為，．則的最小值為_(kāi)__________．16．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為_(kāi)___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)．（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說(shuō)明理由（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（12分）若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有函數(shù)的圖象與直線相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”，設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)為“恒切函數(shù)”，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②當(dāng)取最大值時(shí)，若函數(shù)也為“恒切函數(shù)”，求證：.19．（12分）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)“”.（1）若為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)集合與集合的交集為，若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵中，.（1）求證：四棱錐為陽(yáng)馬；并判斷四面體是否為鱉臑，若是，請(qǐng)寫出各個(gè)面的直角（要求寫出結(jié)論）.（2）若，當(dāng)陽(yáng)馬體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.22．（10分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸正半軸重合,直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，），曲線的極坐標(biāo)方程為:.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),直線過(guò)定點(diǎn),若，求直線的斜率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合解析式對(duì)其單調(diào)性以及函數(shù)值符號(hào)下結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號(hào)的判斷，解決函數(shù)問(wèn)題關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．2、C【解題分析】

分別求解出集合和，根據(jù)交集的結(jié)果可確定的范圍.【題目詳解】，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)交集的結(jié)果求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【題目詳解】z＝8+6i，則8﹣6i，則||10，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)條件求出是解決本題的關(guān)鍵．4、D【解題分析】

函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，根據(jù)存在零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合得到不等式，解得即可．【題目詳解】函數(shù)存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程有解，即有解，令，則，方程等價(jià)于與有交點(diǎn)，函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)（0,0），當(dāng)時(shí)，與圖象恒有交點(diǎn)，排除A，B，C選項(xiàng)；又當(dāng)時(shí)，恰好滿足時(shí)，，此時(shí)與圖象恒有交點(diǎn)，符合題意；故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，此類問(wèn)題通常將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，求參數(shù)的范圍，屬于較難題.5、B【解題分析】

直接根據(jù)交集的定義求解即可．【題目詳解】因?yàn)榧?，，3，，所以，根據(jù)交集的定義可得，故選B．【題目點(diǎn)撥】研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.6、D【解題分析】

如圖所示，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【題目詳解】如圖所示，畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，則，表示直線軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)直線過(guò)，即，時(shí)有最小值為；當(dāng)直線過(guò)，即時(shí)有最大值為，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

先判斷出是假命題，從而判斷出p,q的真假即可.【題目詳解】若是真命題，則是假命題，則p,q均為假命題，故選D.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)合命題的真值表的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，首先需要利用是真命題，得到是假命題，根據(jù)“或”形式的復(fù)合命題真值表求得結(jié)果.8、D【解題分析】結(jié)合函數(shù)圖像可得：，，結(jié)合周期公式有：，且當(dāng)時(shí)，，令可得：，據(jù)此可得函數(shù)的解析式為：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.9、C【解題分析】

根據(jù)選項(xiàng)分別寫出兩個(gè)雙曲線的幾何性質(zhì)，比較后得到答案.【題目詳解】的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線方程是，離心率是；的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線方程是，離心率，比較后可知只有漸近線方程一樣.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題型.10、A【解題分析】

求導(dǎo)，求出函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出在交點(diǎn)處的切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程求出切線，在與函數(shù)圖像的位置比較，即可得出答案．【題目詳解】由題意得，且的圖像與軸的交點(diǎn)為，則在處的切線斜率為，在處的切線方程為，因?yàn)榍芯€在圖像的上方，所以故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查由導(dǎo)函數(shù)求切線方程以及函數(shù)圖像的位置，屬于一般題．11、A【解題分析】試題分析：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點(diǎn)：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點(diǎn)12、A【解題分析】

構(gòu)造新函數(shù)，由可得為單調(diào)減函數(shù)，由可得為奇函數(shù)，從而解得的取值范圍.【題目詳解】解：令因?yàn)?，所以為R上的單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，即，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，故，即為，化簡(jiǎn)得，即，即，由單調(diào)性有，解得，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由題意構(gòu)造出新函數(shù)，研究其性質(zhì)，從而解題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、72【解題分析】第一步甲乙搶到紅包，有種，第二步其余三人搶剩下的兩個(gè)紅包，有種，所以甲乙兩人都搶到紅包的情況有種．14、【解題分析】分析：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)槭钦拿骟w，不妨設(shè)令其棱長(zhǎng)為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過(guò)程不可少，是本題易失點(diǎn)分，切記.15、【解題分析】

根據(jù)雙曲線的漸近線方程和離心率的關(guān)系可得，，再利用基本不等式求解即可.【題目詳解】解：由漸近線方程為可知，，,，，.第一次取等號(hào)的條件為，即，第二次取等號(hào)的條件為，即.的最小值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的方程和基本性質(zhì)，離心率的求法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解題分析】

因?yàn)辄c(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是過(guò)點(diǎn)P的切線與直線平行的時(shí)候，則，即點(diǎn)（1，1）那么可知兩平行線間的距離即點(diǎn)（1，1）到直線的距離為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)答案見(jiàn)解析；(2)【解題分析】試題分析：（1）本題實(shí)質(zhì)就是解方程，如果這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，就說(shuō)明是“局部奇函數(shù)”，如果這個(gè)方程無(wú)實(shí)數(shù)解，就說(shuō)明不是“局部奇函數(shù)”，易知有實(shí)數(shù)解，因此答案是肯定的；（2）已經(jīng)明確是“局部奇函數(shù)”，也就是說(shuō)方程一定有實(shí)數(shù)解，問(wèn)題也就變成方程在上有解，求參數(shù)的取值范圍，又方程可變形為，因此求的取值范圍，就相當(dāng)于求函數(shù)的值域，用換元法（設(shè)），再借助于函數(shù)的單調(diào)性就可求出.試題解析：(1)為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于的方程有解．即（3分）有解為“局部奇函數(shù)”．（5分）(2)當(dāng)時(shí),可轉(zhuǎn)化為（8分）因?yàn)榈亩x域?yàn)?所以方程在上有解,令,則因?yàn)樵谏线f減,在上遞增,（11分）（12分）即（14分）考點(diǎn)：新定義概念，方程有解求參數(shù)取值范圍問(wèn)題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）【解題分析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）①設(shè)切點(diǎn)為，求出，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出故實(shí)數(shù)的取值范圍為；②當(dāng)取最大值時(shí)，，，，，，因?yàn)楹瘮?shù)也為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，，由得，，設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.詳解：（1）.當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，得，由得，由得，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上遞增.（2）①若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，則函數(shù)的圖象與直線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則且，即，.因?yàn)楹瘮?shù)為“恒切函數(shù)”，所以存在，使得，，即，得，，設(shè).則，，得，得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而故實(shí)數(shù)的取值范圍為.②當(dāng)取最大值時(shí)，，，，，，因?yàn)楹瘮?shù)也為“恒切函數(shù)”，故存在，使得，，由得，，設(shè)，則，得，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，1.在單調(diào)遞增區(qū)間上，，故，由，得；2.在單調(diào)遞增區(qū)間上，，，又的圖象在上不間斷，故在區(qū)間上存在唯一的，使得，故.此時(shí)由，得，函數(shù)在上遞增，，，故.綜上所述，.點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于較難題，近來(lái)高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.19、（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解題分析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，，的概率，再寫出概率分布表，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式計(jì)算：解：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.（Ⅰ）由題意得：，解得，所以乙投球的命中率為．（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）知，甲投球的命中率為，則有，，，，可能的取值為0，1,2,3，故，，，，的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望．點(diǎn)睛：隨機(jī)變量的概率及分布是高中數(shù)學(xué)中的選修內(nèi)容，也是高考考查的重要考點(diǎn)。解答本題的第一問(wèn)時(shí)，充分依據(jù)題設(shè)條件借助方程思想，運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程，然后通過(guò)解方程求出其概率是；解答第二問(wèn)時(shí)，先分別求出，，的概率，再寫出概率分布表，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求出使得問(wèn)題獲解。20、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由已知可得，函數(shù)為上的奇函數(shù)、且為增函數(shù)，由命題為真，則，所以，從而解得；（2）由集合，若為真，則，因?yàn)椤盀榧伲瑸檎妗钡葍r(jià)于“、一真一假”，因此若真假，則；若假真，則.從而可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)為上的增函數(shù)，∵，，∴，∴，若為真，則，解得（2），若為真，則，∵為假，為真，∴、一真一假，若真假，則；若假真，則綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用；2.命題的真假判斷及其邏輯運(yùn)算.21、（1）證明見(jiàn)解析；是，，，，；（2）