2024屆江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)揚(yáng)州中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆江蘇省揚(yáng)州市廣陵區(qū)揚(yáng)州中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為()A． B． C． D．2．世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(各組的前2名小組出線)，這16個(gè)隊(duì)按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再?zèng)Q出4強(qiáng)，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場數(shù)為()A．64 B．72 C．60 D．563．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖所示，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則（）A． B．1 C．2 D．05．已知（ax）5的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為﹣80，則（ax﹣y）5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為（）A．32 B．64 C．81 D．2436．已知實(shí)數(shù)滿足條件，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖的三視圖表示的四棱錐的體積為，則該四棱錐的最長的棱的長度為（）A． B． C．6 D．8．已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|PF|=2，過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則|FQ|=（）A．1 B．2 C． D．9．在等差數(shù)列中，，則（）A．45 B．75 C．180 D．36010．設(shè)函數(shù)f(x)＝axA．193 B．163 C．1311．若，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．812．將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有（）A．24種 B．28種 C．32種 D．36種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，正方形的邊長為，已知，將直角沿邊折起，折起后點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則翻折后的幾何體中與所成角的正切值為_____．14．已知復(fù)數(shù)z＝2＋6i，若復(fù)數(shù)mz＋m2(1＋i)為非零實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值為_____．15．已知隨機(jī)變量，則的值為__________．16．已知函數(shù)，的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知某圓的極坐標(biāo)方程為.（1）將極坐標(biāo)方程化為直坐標(biāo)方程，并選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程；（2）若點(diǎn)在該圓上，求的最大值和最小值.18．（12分）如圖，矩形和等邊三角形中，，平面平面．（1）在上找一點(diǎn)，使，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求平面與平面所成銳二面角余弦值．19．（12分）每年暑期都會(huì)有大量中學(xué)生參加名校游學(xué)，夏令營等活動(dòng)，某中學(xué)學(xué)生社團(tuán)將其今年的社會(huì)實(shí)踐主題定為“中學(xué)生暑期游學(xué)支出分析”，并在該市各個(gè)中學(xué)隨機(jī)抽取了共名中學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)共名中學(xué)生參與了各類游學(xué)、夏令營等活動(dòng)，從中統(tǒng)計(jì)得到中學(xué)生暑期游學(xué)支出（單位：百元）頻率分布方圖如圖.（I）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）在，，三組中利用分層抽樣抽取人，并從抽取的人中隨機(jī)選出人，對其消費(fèi)情況進(jìn)行進(jìn)一步分析.（i）求每組恰好各被選出人的概率；（ii）設(shè)為選出的人中這一組的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）（1）已知矩陣，矩陣的逆矩陣，求矩陣.（2）已知矩陣的一個(gè)特征值為，求.21．（12分）設(shè)函數(shù)，其中實(shí)數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若在上無極值點(diǎn)，求的值；(2)若存在，使得是在上的最大或最小值，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，若定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)．（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用n次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【題目詳解】n次二項(xiàng)式系數(shù)對應(yīng)楊輝三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系數(shù)分別為1，2，1，對應(yīng)楊輝三角形的第3行，令x＝1，就可以求出該行的系數(shù)之和，第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為Sn2n﹣1，若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，……，可以看成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則Tn，可得當(dāng)n＝15，在加上第16行的前15項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為135，由于最右側(cè)為2，3，4，5，……，為首項(xiàng)是2公差為1的等差數(shù)列，則第16行的第16項(xiàng)為17，則楊輝三角形的前18項(xiàng)的和為S18＝218﹣1，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為S18﹣35﹣17＝218﹣53，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，結(jié)合楊輝三角形的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列等差數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．2、A【解題分析】分析：先確定小組賽的場數(shù)，再確定淘汰賽的場數(shù)，最后求和.詳解：因?yàn)?個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，所以小組賽的場數(shù)為因?yàn)?6個(gè)隊(duì)按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場數(shù)為因此比賽進(jìn)行的總場數(shù)為48+16=64，選A.點(diǎn)睛：本題考查分類計(jì)數(shù)原理，考查基本求解能力.3、A【解題分析】分析：先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再利用奇偶性與單調(diào)性解不等式.詳解：因?yàn)?，所?為偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即，或，選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).4、B【解題分析】分析：由切線方程確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由切線方程可知，當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，函數(shù)在處切線的斜率為，即，據(jù)此可知：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查切線的幾何意義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、D【解題分析】

由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出的值，可得即

，本題即求的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．【題目詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為令，求得，可得展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得，則所以其展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和，即為的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，令，可得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為.故選D項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題6、D【解題分析】

如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【題目詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，則，表示直線軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)直線過，即，時(shí)有最小值為；當(dāng)直線過，即時(shí)有最大值為，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.7、C【解題分析】

根據(jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)體，即可求得最長的棱長?！绢}目詳解】根據(jù)三視圖，畫出空間結(jié)構(gòu)如下圖所示：由圖可知，底面，所以棱長最長根據(jù)三棱錐體積為可得，解得所以此時(shí)所以選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間幾何體三視圖，三棱錐體積的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。8、B【解題分析】

不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)P（x1，y1），根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得x1=，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求出．【題目詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，設(shè)P（x1，y1），∵|PF|=2，∴x1+=2，∴x1=∴y1=，∴Q（-，），∵F（，0），∴|FQ|==2，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．一般和拋物線有關(guān)的小題，很多時(shí)可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時(shí)練習(xí)時(shí)應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用,尤其和焦半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)線距的轉(zhuǎn)化.9、C【解題分析】

由，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】由，得到，則．故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解與等差數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)：若，則.10、D【解題分析】

由題，求導(dǎo)，將x=-1代入可得答案.【題目詳解】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3ax解得a=10故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

利用均值不等式求解即可．【題目詳解】∵（當(dāng)且僅當(dāng)n＝3時(shí)等號成立）故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原則．12、B【解題分析】試題分析：第一類：有一個(gè)人分到一本小說和一本詩集，這種情況下的分法有：先將一本小說和一本詩集分到一個(gè)人手上，有種分法，將剩余的本小說，本詩集分給剰余個(gè)同學(xué)，有種分法，那共有種；第二類：有一個(gè)人分到兩本詩集，這種情況下的分法有：先兩本詩集分到一個(gè)人手上，有種情況，將剩余的本小說分給剩余個(gè)人，只有一種分法，那共有：種，第三類：有一個(gè)人分到兩本小說，這種情況的分法有：先將兩本小說分到一個(gè)人手上，有種情況，再將剩余的兩本詩集和一本小說分給剩余的個(gè)人，有種分法，那共有：種，綜上所述：總共有：種分法，故選B.考點(diǎn)：1、分布計(jì)數(shù)乘法原理；2、分類計(jì)數(shù)加法原理.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于難題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

連接，根據(jù)平行關(guān)系可知即為與所成角；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理可證得，從而可求得，利用同角三角函數(shù)可求得結(jié)果.【題目詳解】連接，如下圖所示：四邊形為正方形，與所成角即為與所成角，即點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)平面又平面平面，平面平面即與所成角的正切值為本題正確結(jié)果；【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成角的求解問題，涉及到立體幾何中的翻折變換問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)系將異面直線成角轉(zhuǎn)變?yōu)橄嘟恢本€所成角，從而根據(jù)垂直關(guān)系在直角三角形中來進(jìn)行求解.14、-6【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由虛部為0且實(shí)部不為0列式求解．【題目詳解】由題意，，解得．故答案為-6.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求解.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的性質(zhì).16、【解題分析】

求導(dǎo)后，若，則，可驗(yàn)證出不合題意；當(dāng)時(shí)，求解出的單調(diào)性，分別在，，三種情況下通過最大值取得的點(diǎn)構(gòu)造關(guān)于最值的方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，解得：，不合題意，舍去當(dāng)時(shí)，令，解得：，可知在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增①當(dāng)，即時(shí)，解得：，不合題意，舍去②當(dāng)，即時(shí)，，解得：③當(dāng)，即時(shí)解得：，不合題意，舍去綜上所述：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是對于含有參數(shù)的函數(shù)，通過對極值點(diǎn)位置的討論確定最值取得的點(diǎn)，從而可利用最值構(gòu)造出方程，求解出參數(shù)的取值范圍.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）最大值為，最小值為.【解題分析】

（1）利用兩角差的余弦值將圓的極坐標(biāo)方程展開，并由，代入可得出圓的普通方程，并將圓的方程表示為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出圓的參數(shù)方程；（2）設(shè)，，代入，利用三角恒等變換思想將代數(shù)式化簡，可得出的最大值和最小值.【題目詳解】（1），即，即，所以，圓的普通方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，因此，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）設(shè)，，則，的最大值為，最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，以及圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，解題時(shí)要熟悉圓的參數(shù)方程與極坐標(biāo)形式，并熟悉圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，結(jié)合三角恒等變換思想進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）證明過程見解析；（2）平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【解題分析】試題分析：(1)分別取的中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)，即可證明面，進(jìn)而得到；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面與平面法向量成的角去求解.試題解析：（1）為線段的中點(diǎn)，理由如下：分別取的中點(diǎn)，連接，在等邊三角形中，，又為矩形的中位線，，而，所以面，所以；（2）由（1）知兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，三角形為等邊三角形，．于是，設(shè)面的法向量，所以，得，則面的一個(gè)法向量，又是線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，于是，且，又設(shè)面的法向量，由，得，取，則，平面的一個(gè)法向量，所以，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．19、（Ⅰ）（Ⅱ）（?。áⅲ┮娊馕觥窘忸}分析】

（1）利用頻率分布直方圖中，各個(gè)小矩形面積和等于1，求出；（2）由頻率分布直方圖得三組中人數(shù)的比例為，所以抽取的10人，在每組中各占4人、3人、3人；隨機(jī)變量的所有可能取值為.【題目詳解】解（Ⅰ）由題意，得，解得.（Ⅱ）按照分層抽樣，，，三組抽取人數(shù)分別為，，.（?。┟拷M恰好各被選出人的概率為.（ⅱ）的所有可能取值為0，1，2，3.，，，，則的分布列為【題目點(diǎn)撥】統(tǒng)計(jì)與概率試題，往往是先考統(tǒng)計(jì)，后考概率，要求從圖表中提取有用信息，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，為解決概率問題鋪墊.20、（1）;（2）.【解題分析】

（1）依題意，利用矩陣變換求得，再利用矩陣乘法的性質(zhì)可求得答案．（2）根據(jù)特征多項(xiàng)式的一個(gè)零點(diǎn)為3，