湖南省邵東三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省邵東三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．區(qū)間[0，5]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則滿足x[0，1]的概率為A． B． C． D．2．過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，且A、C位于x軸同側(cè)，若|AC|＝2|AF|，則|BF|等于（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列求導(dǎo)計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．4．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+15．若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則可以是（）A．， B．，C．， D．，6．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸方程為，據(jù)此預(yù)測(cè)：當(dāng)時(shí)，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．77．若集合，，則有（）A． B． C． D．8．地球半徑為R,北緯45°圈上A,B兩點(diǎn)分別在東徑130°和西徑140°,并且北緯45°圈小圓的圓心為O′,則在四面體O-ABO′中，直角三角形有（）A．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位的虛部是A． B．1 C． D．i10．已知拋物線和直線，過點(diǎn)且與直線垂直的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則()A．1 B．2 C．4 D．611．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)是（）A．1 B．-1 C． D．012．已知，則為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是等腰直角三角形，斜邊，是平面外的一點(diǎn)，且滿足，，則三棱錐外接球的表面積為________．14．若指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則__________.15．若，則的最小值為________.16．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，__________，成等比數(shù)列.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求的值；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．19．（12分）（本小題滿分12分）已知，函數(shù)．（I）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？證明你的結(jié)論；（II）設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（III）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．20．（12分）黨的十九大報(bào)告提出，轉(zhuǎn)變政府職能，深化簡(jiǎn)政放權(quán)，創(chuàng)新監(jiān)管方式，增強(qiáng)政府公信力和執(zhí)行力，建設(shè)人民滿意的服務(wù)型政府，某市為提高政府部門的服務(wù)水平，調(diào)查群眾對(duì)兩個(gè)部門服務(wù)的滿意程度.現(xiàn)從群眾對(duì)兩個(gè)部門的評(píng)價(jià)（單位：分）中各隨機(jī)抽取20個(gè)樣本，根據(jù)評(píng)價(jià)分作出如下莖葉圖：從低到高設(shè)置“不滿意”，“滿意”和“很滿意”三個(gè)等級(jí)，在內(nèi)為“不滿意”，在為“滿意”，在內(nèi)為“很滿意”.（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)部門的服務(wù)更令群眾滿意？并說明理由；（2）從對(duì)部門評(píng)價(jià)為“很滿意”或“滿意”的樣本中隨機(jī)抽取3個(gè)樣本，記這3個(gè)樣本中評(píng)價(jià)為“很滿意”的樣本數(shù)量為，求的分布列和期望.（3）以上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)，現(xiàn)在隨機(jī)邀請(qǐng)5名群眾對(duì)兩個(gè)部門的服務(wù)水平打分，則至多有1人對(duì)兩個(gè)部門的評(píng)價(jià)等級(jí)相同的概率是多少？（計(jì)算結(jié)果精確到0.01）21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，又底面，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）平頂山市公安局交警支隊(duì)依據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第條規(guī)定：所有主干道路凡機(jī)動(dòng)車途經(jīng)十字口或斑馬線，無論轉(zhuǎn)彎或者直行，遇有行人過馬路，必須禮讓行人，違反者將被處以元罰款，記分的行政處罰．如表是本市一主干路段監(jiān)控設(shè)備所抓拍的個(gè)月內(nèi)，機(jī)動(dòng)車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份違章駕駛員人數(shù)（Ⅰ）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程；（Ⅱ）預(yù)測(cè)該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù)．參考公式：，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用幾何概型求解即可.【題目詳解】由幾何概型的概率公式得滿足x[0，1]的概率為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2、C【解題分析】

由題意可知：|AC|＝2|AF|，則∠ACD，利用三角形相似關(guān)系可知丨AF丨＝丨AD丨，直線AB的切斜角，設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨，即可求得|BF|．【題目詳解】拋物線y2＝4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x＝﹣1，準(zhǔn)線l與x軸交于H點(diǎn)，過A和B做AD⊥l，BE⊥l，由拋物線的定義可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，則∠ACD，由丨HF丨＝p＝2，∴，則丨AF丨＝丨AD丨，設(shè)直線AB的方程y（x﹣1），，整理得：3x2﹣10x+3＝0，則x1+x2，由拋物線的性質(zhì)可知：丨AB丨＝x1+x2+p，∴丨AF丨+丨BF丨，解得：丨BF丨＝4，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．3、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)法則得到相應(yīng)的結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)應(yīng)為，C選項(xiàng)應(yīng)為，D選項(xiàng)應(yīng)為.故選B．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，牢記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x），利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，則答案可求．【題目詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，是中檔題．5、D【解題分析】

分別取代入不等式，得到答案.【題目詳解】不等式對(duì)任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案為D【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立問題，用特殊值法代入數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵.6、B【解題分析】

先計(jì)算數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，代入回歸方程得到，再代入計(jì)算對(duì)應(yīng)值.【題目詳解】數(shù)據(jù)中心點(diǎn)為代入回歸方程當(dāng)時(shí)，y的值為故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計(jì)算數(shù)據(jù)中心點(diǎn)代入方程是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、B【解題分析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關(guān)系.詳解：，，故.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)集合的包含關(guān)系的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

畫圖標(biāo)注其位置，即可得出答案。【題目詳解】如圖所示：，即有3個(gè)直角三角形。【題目點(diǎn)撥】本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)求解。9、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，從而可得答案．【題目詳解】，復(fù)數(shù)的虛部是1．故選B．【題目點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的摸這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.10、B【解題分析】

由于直線與直線垂直，且直線的斜率為1，所以直線的斜率為，而直線過點(diǎn)，所以可求出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后將其坐標(biāo)代入中可求出的值.【題目詳解】解：由題意可得直線的方程為，設(shè)，由，得，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得故選：B【題目點(diǎn)撥】此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計(jì)算即可得到答案.【題目詳解】解得a=-1,故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算，解決策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式;(2)求f(f(f(a)))的值時(shí)，一般要遵循由里向外逐層計(jì)算的原則.12、A【解題分析】

根據(jù)自變量范圍代入對(duì)應(yīng)解析式，解得結(jié)果.【題目詳解】故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)求值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

在平面的投影為的外心，即中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則，解得答案.【題目詳解】，故在平面的投影為的外心，即中點(diǎn)，故球心在直線上，，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.14、【解題分析】

設(shè)指數(shù)函數(shù)為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，再求的值.【題目詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)為，所以.所以.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的解析式的求法和指數(shù)函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.15、8【解題分析】

根據(jù)題意對(duì)進(jìn)行換元，然后利用基本不等式的推廣公式求解出目標(biāo)的最小值。【題目詳解】解：令，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式推廣公式的使用，運(yùn)用基本不等式推廣公式時(shí)，一定要注意題意是否滿足“一正、二定、三相等”的條件。16、【解題分析】由于等差數(shù)列的特征是差，等比數(shù)列的特征是比，因此運(yùn)用類比推理的思維方法可得：，，成等比數(shù)列，應(yīng)填答案。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)或，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【解題分析】分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）對(duì)分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象以及零點(diǎn)存在定理可得，或，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).詳解：（1）當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，易知所以函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，得，，且，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由，知，所以，則，因?yàn)椋运运援?dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)榱?，得，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）①當(dāng)時(shí)，，而，，由單調(diào)性知，所以內(nèi)存在零點(diǎn)，即函數(shù)在定義內(nèi)有個(gè)兩點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，而，，同理內(nèi)存在零點(diǎn)，即函數(shù)值定義域內(nèi)存在個(gè)零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)綜上：或，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.18、（1）（2）猜想．見解析【解題分析】

（1）先求得的值，然后根據(jù)已知條件求得，由此求得的值.（2）由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.【題目詳解】（1）由，即，①所以，由①得，②，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）由（1）猜想．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，由（1）可知猜想成立；②假設(shè)時(shí)猜想成立，即，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，整理得，所以當(dāng)時(shí)猜想成立．綜上所述，對(duì)任意成立．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列某些項(xiàng)的值，考查數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.19、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解題分析】試題分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最大值.（II）由（I）知，要使得在[-1,1]上單調(diào)函數(shù)，則：，即可求解a的取值范圍；（III)由，分類參數(shù)得，構(gòu)造新函數(shù)（x≥1)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)h(x)的單調(diào)性和最值，即得到a的取值范圍.試題解析：（I）∵，，∴，由得，則，∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，且在上單調(diào)遞增，∴，∴有最大值，當(dāng)時(shí)取最大值．（II）由（I）知：，或，或；（III）當(dāng)x≥1時(shí)f(x)≤g(x)，即（-x2+2ax)ex，，令，則，∴h(x)在上單調(diào)遞增，∴x≥1時(shí)h(x)≥h(1)=1，，又a≥0所以a的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，不等式的恒成立問題求得，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題；(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20、（1）A部門，理由見解析；（2）的分布列見解析；期望為1；（3）..【解題分析】

（1）通過莖葉圖中兩部門“葉”的分布即可看出；（2）隨機(jī)抽取3人，，分別求出相應(yīng)的概率，即可求出的分布列和期望；（3）求出評(píng)價(jià)一次兩個(gè)部門的評(píng)價(jià)等級(jí)不同和相同的概率，隨機(jī)邀請(qǐng)5名群眾，是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)滿足二項(xiàng)分布根據(jù)計(jì)算公式即可求出.【題目詳解】解：（1）通過莖葉圖可以看出：A部門的“葉”分布在“莖”的8上，B部門的“葉”分布在“莖”的7上.所以A部門的服務(wù)更令群眾滿意.（2）由莖葉圖可知：部門評(píng)價(jià)為“很滿意”或“滿意”的樣本數(shù)量有個(gè),“很滿意”的樣本數(shù)量有個(gè)，則從中隨機(jī)抽取3人，，所以的分布列為：.（3）根據(jù)題意可得：A部門“不滿意”，“滿意”和“很滿意”的概率分別為：，，，B部門“不滿意”，“滿意”和“很滿意”的概率分別為：，，.若評(píng)價(jià)一次兩個(gè)部門的評(píng)價(jià)等級(jí)不同的概率為：，則評(píng)價(jià)一次兩個(gè)部門的評(píng)價(jià)等級(jí)相同的概率為