河北省鹿泉一中等名校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

河北省鹿泉一中等名校2024屆數(shù)學(xué)高二下期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(－2，2)化成極坐標(biāo)得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)2．求函數(shù)的值域（）A．[0，+∞） B．[，+∞） C．[，+∞） D．[，+∞）3．已知函數(shù)的定義域是，則的展開式中的系數(shù)是（）A． B．192 C． D．2304．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如圖，則常數(shù)c為（）X01PA． B． C．或 D．5．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有7個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．6．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點(diǎn)（4，f（4））處的切線的傾斜角為（）A．90°B．0°C．銳角D．鈍角7．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，則常數(shù)（）A．-2 B．0 C．2 D．48．已知為的一個(gè)對(duì)稱中心，則的對(duì)稱軸可能為（）A． B． C． D．9．已定義在上的函數(shù)無極值點(diǎn)，且對(duì)任意都有，若函數(shù)在上與具有相同的單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是（）A． B．C． D．11．集合，則（）A． B． C． D．12．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有位，則閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有________個(gè).（用數(shù)字作答）14．已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).若直線與圓有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15．已知一扇形的面積是8cm2，周長(zhǎng)是12cm，則該扇形的圓心角α（0<α<π）的弧度數(shù)是_______16．如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)．（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?，與，兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率．18．（12分）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為.（l）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線段的中垂線的斜率為且直線與交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線．19．（12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ⅱ）已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品（質(zhì)量指標(biāo)值）的定價(jià)為16元；若為次品（質(zhì)量指標(biāo)值），除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出100件這種產(chǎn)品，記表示這件產(chǎn)品的利潤(rùn)，求.附：，若，則.21．（12分）為了解國(guó)產(chǎn)奶粉的知名度和消費(fèi)者的信任度，某調(diào)查小組特別調(diào)查記錄了某大型連鎖超市年與年這兩年銷售量前名的五個(gè)奶粉的銷量（單位：罐），繪制出如下的管狀圖：（1）根據(jù)給出的這兩年銷量的管狀圖，對(duì)該超市這兩年品牌奶粉銷量的前五強(qiáng)進(jìn)行排名（由高到低，不用說明理由）；（2）已知該超市年奶粉的銷量為（單位：罐），以，，這年銷量得出銷量關(guān)于年份的線性回歸方程為（，，年對(duì)應(yīng)的年份分別取），求此線性回歸方程并據(jù)此預(yù)測(cè)年該超市奶粉的銷量.相關(guān)公式：.22．（10分）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：附：的觀測(cè)值（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下是否可認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由條件求得、、的值，可得的值，從而可得極坐標(biāo).【題目詳解】∵點(diǎn)的直角坐標(biāo)∴，，∴可取∴直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，屬于基礎(chǔ)題．注意運(yùn)用、、(由所在象限確定).2、D【解題分析】

設(shè)t，t≥0，則x＝t2+1，y＝2t2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函數(shù)y＝2x的值域．【題目詳解】解：設(shè)t，t≥0，則x＝t2+1，∴y＝2t2﹣t+2＝2（t）2，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的值域的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意換元法的合理運(yùn)用．3、A【解題分析】

函數(shù)的定義域是可知，-1和2是方程的兩根，代入可求得值，再根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可【題目詳解】因?yàn)榈亩x域，所以-1和2是方程的兩根，將-1代入方程可得，則二項(xiàng)式定理為根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，，的系數(shù)答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考察了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的求法及二項(xiàng)式系數(shù)的求法，難度不大，但綜合性強(qiáng)4、A【解題分析】

根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列寫出兩點(diǎn)分步的隨機(jī)變量的概率要滿足的條件，一是兩個(gè)概率都不小于0，二是兩個(gè)概率之和是1，解出符合題意的c的值．【題目詳解】由隨機(jī)變量的分布列知，，，，∴，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分布列的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】分析：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解a的范圍．詳解：函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，f（x）=1有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴f（x）=﹣a必須有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f（x）圖象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故選：C．點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程根的個(gè)數(shù)問題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)、圖象交點(diǎn)及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．6、C【解題分析】,函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)（4，f（4））處的切線的傾斜角為銳角。7、C【解題分析】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值是，則值可求．詳解：令，解得：或，

令，解得：

∴在遞增，在遞減，，

故答案為：2點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

由題意首先確定的值，然后求解函數(shù)的對(duì)稱軸即可.【題目詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得：，令可得，則函數(shù)的解析式為，函數(shù)的對(duì)稱軸滿足：，解得：，令可知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，且很明顯選項(xiàng)ACD不是函數(shù)的對(duì)稱軸.本題選擇B選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，三角函數(shù)對(duì)稱軸方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9、A【解題分析】分析：易得函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，令，則，（為常數(shù)），求出的單調(diào)性，從而求出在的單調(diào)性，得到在恒成立，求出的范圍即可．詳解：∵定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無零點(diǎn)，∴函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，

令，則，在]恒成立，故在遞增，

結(jié)合題意在上遞增，

故在恒成立，

故在恒成立，故，

故選A．點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題10、D【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：由，得故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】,，故選B.12、B【解題分析】

根據(jù)題意畫出韋恩圖即可得到答案．【題目詳解】根據(jù)題意閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有位，得到的韋恩圖如圖，所以閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為人故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用韋恩圖解決實(shí)際問題，屬于簡(jiǎn)單題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

題目要求得到能被5整除的數(shù)字，注意0和5的排列，分三種情況進(jìn)行討論，四位數(shù)中包含5和0的情況，四位數(shù)中包含5，不含0的情況，四位數(shù)中包含0，不含5的情況，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【題目詳解】解：①四位數(shù)中包含5和0的情況：．②四位數(shù)中包含5，不含0的情況：．③四位數(shù)中包含0，不含5的情況：．四位數(shù)總數(shù)為．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題是一個(gè)典型的排列問題，數(shù)字問題是排列中的一大類問題，條件變換多樣，把排列問題包含在數(shù)字問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏，屬于中檔題.14、【解題分析】試題分析：∵直線的普通方程為，圓C的普通方程為，∴圓C的圓心到直線的距離，解得.考點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、點(diǎn)到直線的距離.15、1【解題分析】

設(shè)半徑為，則，，可解出對(duì)答案．【題目詳解】設(shè)半徑為，則，,由有代入有：，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查扇形的面積，弧度制公式等，屬于容易題．16、【解題分析】

作BE⊥AD于E，連接CE，則AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由題設(shè)，B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，所以BE=CE.取BC中點(diǎn)F，連接EF，則EF⊥BC，EF=2，，四面體ABCD的體積，顯然，當(dāng)E在AD中點(diǎn)，即B是短軸端點(diǎn)時(shí)，BE有最大值為b=，所以.[評(píng)注]本題把橢圓拓展到空間，對(duì)缺少聯(lián)想思維的考生打擊甚大！當(dāng)然，作為填空押軸題，區(qū)分度還是要的，不過，就搶分而言，膽大、靈活的考生也容易找到突破點(diǎn)：AB=BD(同時(shí)AC=CD)，從而致命一擊，逃出生天！三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解題分析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出的值；（2）先求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成績(jī)不低于分的人數(shù)；（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生為分，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為人，由此利用列舉法能求出這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)為：1000×0.85=850（人）．（3）數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）的學(xué)生為40×0.05=2（人），數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4（人），設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）的學(xué)生為A，B，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱90，100]的學(xué)生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的情況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值大于10的槪率為．考點(diǎn)：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．18、(1)(2)見解析【解題分析】分析：(1)根據(jù)橢經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，結(jié)合性質(zhì)，，列出關(guān)于、的方程組，求出、，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理可得，所以點(diǎn)在直線上，又點(diǎn)也在直線上，進(jìn)而得結(jié)果.詳解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為，所以，解得.又橢圓經(jīng)過點(diǎn)，所以.所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.證明：（2）因?yàn)榫€段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為-2.所以可設(shè)直線的方程為.據(jù)得.設(shè)點(diǎn)，，.所以，.所以，.因?yàn)?，所?所以點(diǎn)在直線上.又點(diǎn)，也在直線上，所以三點(diǎn)共線.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）由題設(shè)得知，再證明平面，可得出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；（2）先利用等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，然后利用作為直線與平面所成的角的正弦值，即可得出直線與平面所成的角的大?。唬?）先根據(jù)條件分析出所求距離為點(diǎn)到平面距離的，可得出點(diǎn)到平面的距離為，再利用第二問的結(jié)論即可得出答案.【題目詳解】（1）以為直徑的球面交于點(diǎn)，則，平面，平面，，四邊形為矩形，.,平面，平面，.，平面；（2）由（1）知，平面，平面，，又，則為的中點(diǎn)，且，.的面積為.的面積為，為的中點(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，.設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.因此，直線與平面所成角的大小為；（3）平面，平面，，，，，且，則，得，，故點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的.又是的中點(diǎn)，則、到平面的距離相等，由（2）可知所求距離為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面垂直的證明、直線與平面所成角的計(jì)算以及點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查了等體積法的應(yīng)用，考查推理論證能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）200,150；（2）（i）；（ⅱ）280.【解題分析】

（1）直接利用樣本平均數(shù)和樣本方差公式計(jì)算得到答案.（2）（i）先判斷，則（ⅱ）Ⅹ表示100件產(chǎn)品的正品數(shù)，題意得，計(jì)算，再計(jì)算【題目詳解】（1）由題意得.∴，即樣本平均數(shù)為200，樣本方差為150.（2）（i）由（1）可知，，∴（ⅱ）設(shè)Ⅹ表示100件產(chǎn)品的正品數(shù)，題意得，