2024屆四川省簡(jiǎn)陽(yáng)市數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆四川省簡(jiǎn)陽(yáng)市數(shù)學(xué)高二下期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場(chǎng)部在對(duì)4家商場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研時(shí)，獲得該產(chǎn)品售價(jià)單位：元和銷(xiāo)售量單位：件之間的四組數(shù)據(jù)如表：售價(jià)x46銷(xiāo)售量y1211109為決策產(chǎn)品的市場(chǎng)指導(dǎo)價(jià)，用最小二乘法求得銷(xiāo)售量y與售價(jià)x之間的線性回歸方程，那么方程中的a值為A．17 B． C．18 D．2．已知命題，則命題的否定為()A． B．C． D．3．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿(mǎn)足的的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則下列結(jié)論中不正確的是A． B．是圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C． D．是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸5．將偶函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的曲線的對(duì)稱(chēng)中心為（）A． B．C． D．6．已知全集U=R，集合A=xxx+2<0，A．-2,1 B．-1,0C．(-2,-1]∪[0,1] D．(0,1)7．已知三角形的面積是，，，則b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或18．為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點(diǎn)的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S的值為3，則判斷框中填入的條件可以是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，如果函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．11．某商場(chǎng)進(jìn)行購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則是：在一個(gè)封閉的紙箱中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的六個(gè)小球，每次摸獎(jiǎng)需要同時(shí)取出兩個(gè)球，每位顧客最多有兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號(hào)碼連號(hào)，則中獎(jiǎng)，摸獎(jiǎng)結(jié)束；若第一次未中獎(jiǎng)，則將這兩個(gè)小球放回后進(jìn)行第二次摸球，若與第一次取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相同，則為中獎(jiǎng)，按照這樣的規(guī)則摸獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為（）A． B． C． D．12．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將半徑為1和2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么這個(gè)大鉛球的表面積是__________.14．已知（1）正方形的對(duì)角線相等；（2）平行四邊形的對(duì)角線相等；（3）正方形是平行四邊形．由（1）、（2）、（3）組合成“三段論”，根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是________15．已知函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切，若曲線與直線軸圍成的封閉區(qū)域的面積為，則的值為_(kāi)_________．16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達(dá)式；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明（I）中的猜想.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與曲線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）設(shè)，求的值.19．（12分）（江蘇省南通市高三最后一卷---備用題數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在橢圓E上，且；（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.21．（12分）已知函數(shù)（其中）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.22．（10分）已知數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）已知是公比q大于1的等比數(shù)列，且，，設(shè)，若是遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

求出樣本中心點(diǎn)，代入線性回歸方程，即可求出a的值．【題目詳解】由題意，，，線性回歸方程，，．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫(huà)出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過(guò)樣本中心點(diǎn)．2、D【解題分析】分析：根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題即可得結(jié)果.詳解：因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，所以命題的否定為，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查全稱(chēng)命題的否定，屬于簡(jiǎn)單題.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)別，否定全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題時(shí)，一是要改寫(xiě)量詞，全稱(chēng)量詞改寫(xiě)為存在量詞、存在量詞改寫(xiě)為全稱(chēng)量詞;二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.3、C【解題分析】

先由函數(shù)是奇函數(shù)求出，化原不等式為，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，若，則，所以不等式可化為，又在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，熟記函數(shù)基本性質(zhì)即可，屬于常考題型.4、C【解題分析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得,的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以,時(shí)可得，故，，不正確，故選C.5、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)求出函數(shù)解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求對(duì)稱(chēng)軸即可.【題目詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∴．令，得．故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.6、C【解題分析】

先弄清楚陰影部分集合表示的含義，并解出集合A、B，結(jié)合新定義求出陰影部分所表示的集合?！绢}目詳解】由題意知，陰影部分區(qū)域表示的集合S=x集合A=xxx+2A∪B=-2,1，A∩B=因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為S=-2,-1∪0,1【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的運(yùn)算、集合的表示法以及集合中的新定義，考查二次不等式以及對(duì)數(shù)不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是要弄清楚Venn圖表示的新集合的意義，在計(jì)算無(wú)限集之間的運(yùn)算時(shí)，可充分利用數(shù)軸來(lái)理解，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題。7、D【解題分析】

由三角形面積公式，計(jì)算可得的值,即可得B的值,結(jié)合余弦定理計(jì)算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意:三角形的面積是,即,又由，則則或，若則此時(shí)則；若,則,此時(shí)則；故或.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的面積公式,考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度較易.8、A【解題分析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設(shè)直線與曲線相切，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，分析可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當(dāng)時(shí)，有唯一解，此時(shí)直線與曲線相切．分析圖形可知，當(dāng)或或時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)．故選.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的處理方法，考查利用導(dǎo)數(shù)求相切時(shí)斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.首先畫(huà)出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點(diǎn)的位置是實(shí)心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)來(lái)解決.9、B【解題分析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件．【題目詳解】程序運(yùn)行中，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿(mǎn)足，，判斷循環(huán)條件，滿(mǎn)足，……，，判斷循環(huán)條件，滿(mǎn)足，，，判斷循環(huán)條件，這里應(yīng)不滿(mǎn)足，輸出．故條件為．判斷框中填入，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖，解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，根據(jù)輸出結(jié)論確定循環(huán)條件．10、C【解題分析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并化簡(jiǎn)整理，結(jié)合函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)進(jìn)行討論即可.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?0,?+∞)①當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，符合題意；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，又函數(shù)在定義域?yàn)?0,?+∞)只有一個(gè)極值點(diǎn)，在處取得極值.從而或恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，設(shè)與相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，則，解得，則切點(diǎn)為此時(shí).由圖可知：要使恒成立，則.綜上所述：.故選：C.點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是原函數(shù)的極值點(diǎn)．所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是原函數(shù)的極值點(diǎn)．11、B【解題分析】

可將中獎(jiǎng)的情況分成第一次兩球連號(hào)和第二次取出的小球與第一次取出的號(hào)碼相同兩種情況，分別計(jì)算兩種情況的概率，根據(jù)和事件概率公式可求得結(jié)果.【題目詳解】中獎(jiǎng)的情況分為：第一次取出兩球號(hào)碼連號(hào)和第二次取出兩個(gè)小球與第一次取出的號(hào)碼相同兩種情況第一次取出兩球連號(hào)的概率為：第二次取出兩個(gè)小球與第一次取出號(hào)碼相同的概率為：中獎(jiǎng)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查和事件概率問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意將所求情況進(jìn)行分類(lèi)，進(jìn)而通過(guò)古典概型和積事件概率求解方法求出每種情況對(duì)應(yīng)的概率.12、C【解題分析】

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．【題目詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點(diǎn)，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應(yīng)用問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)大鉛球的半徑為，則，求出，由此能求出這個(gè)大鉛球的表面積．【題目詳解】解：設(shè)大鉛球的半徑為，

則，

解得，

∴這個(gè)大鉛球的表面積

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查球的表面積的求法，考查球的體積、表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14、正方形的對(duì)角線相等【解題分析】分析：三段論是由兩個(gè)含有一個(gè)共同項(xiàng)的性質(zhì)判斷作前提得出一個(gè)新的性質(zhì)判斷為結(jié)論的演繹推理.在三段論中，含有大項(xiàng)的前提叫大前提，如本例中“平行四邊形的對(duì)角線相等”，含有小項(xiàng)的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四邊形”，另外一個(gè)就是結(jié)論.詳解：由演繹推理三段論可得，本例中的“平行四邊形的對(duì)角線相等”是大前提，本例中的“正方形是平行四邊形”是小前提，則結(jié)論為“正方形的對(duì)角線相等”，所以答案是：正方形的對(duì)角線相等.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)演繹推理的概念問(wèn)題，要明確三段論中三段之間的關(guān)系，分析得到大前提、小前提以及結(jié)論是誰(shuí)，從而得到結(jié)果.15、【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切點(diǎn)以及切線方程，再根據(jù)定積分求封閉區(qū)域的面積，解得的值.詳解：設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)封閉區(qū)域的面積為因此，當(dāng)時(shí)，同理可得，即點(diǎn)睛：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)．當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論．16、π【解題分析】依題意，由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=12三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；（II）證明見(jiàn)解析.【解題分析】

（I）根據(jù)的值猜想的表達(dá)式；（II）分和兩步證明.【題目詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當(dāng)時(shí)，，猜想成立；假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)猜想成立.綜上，對(duì)于一切均成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)求值與歸納猜想.18、(1)，(2)【解題分析】

將曲線化為極坐標(biāo)方程，聯(lián)立求出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)聯(lián)立直線參數(shù)方程與曲線的普通方程，運(yùn)用根與系數(shù)之間關(guān)系求出結(jié)果【題目詳解】（1）曲線的普通方程，化為極坐標(biāo)方程為與聯(lián)立，得，又∵，∴或∴兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，（2）直線的普通方程為化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）①曲線的普通方程為②把①代入②，得整理得，∴∴【題目點(diǎn)撥】需要運(yùn)用公式將普通方程與極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程之間的轉(zhuǎn)化，在求解長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用參數(shù)方程來(lái)解答會(huì)降低計(jì)算量。19、(1).(2).(3).【解題分析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程，化簡(jiǎn)求得結(jié)果；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，是方程的兩個(gè)不等正根，韋達(dá)定理得到關(guān)系，將化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果；（3）將恒成立問(wèn)題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，分類(lèi)討論，求得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，且，故所以函數(shù)在處的切線方程為（2）由，可得因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)不等正根，即的兩個(gè)不等正根為所以，即所以令，故，在上單調(diào)遞增，所以故得取值范圍是（3）據(jù)題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立.令，則①若，當(dāng)時(shí)，，故符合題意；②若，（i）若，即，則，在上單調(diào)贈(zèng)所以當(dāng)時(shí)，，故符合題意；（ii）若，即，令，得（舍去），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以存在，使得，與題意矛盾，所以不符題意.③若，令，得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減.首先證明：要證：，即要證：，只要證：因?yàn)?，所以，故所以其次證明，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都成立令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，則所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的都成立所以當(dāng)時(shí)，即，與題意矛盾，故不符題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，涉及到的解題思想是分類(lèi)討論，注意思路清晰是解題的關(guān)鍵.20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】

（1）由橢圓對(duì)稱(chēng)性確定直線斜率為1，斜率為-1，求出點(diǎn)坐標(biāo)后可得三角形面積；（2）由直線方程為求得點(diǎn)坐標(biāo)（橫坐標(biāo)即可），得，同理得（直線斜率為），利用得的方程，利用函數(shù)的知識(shí)（導(dǎo)數(shù)）證明此方程的解在區(qū)間上．【題目詳解】（1）由橢圓對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，且，由題意，，方程為，于是可以設(shè)點(diǎn)其中，于是，解得，所以.（2）據(jù)題意，直線，聯(lián)立橢圓E，得：，即：，則，那么，同理，知：，由，得：，即：.令，則，所以單調(diào)增，又，，故存在唯一零點(diǎn)，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與橢圓相交中的三角形面積，考查求直線方程．解題方法是求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)關(guān)系得關(guān)系式．本題考查了運(yùn)算求解能力．21、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（i）（ii）見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）將代入解析式，并求得導(dǎo)函數(shù)及，由求得極值點(diǎn)并判斷出單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性可求得的最小值，由即可證明在上單調(diào)遞增，從而由即可證明不等式成立；（Ⅱ）（i）由極值點(diǎn)意義可知有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，分離參數(shù)可