量子物理基礎(chǔ)

量子物理根底§1黑體輻射和普朗克的能量子假說一．根本概念熱輻射定義分子包含帶電粒子，分子的熱運(yùn)動(dòng)使物體輻射電磁波。這種輻射與溫度有關(guān)，稱為熱輻射。1)根本性質(zhì)溫度輻射能量輻射中波長短的成分例如：加熱鐵塊，隨著溫度的升高看不出發(fā)光暗紅橙色黃白色2)平衡熱輻射當(dāng)物體輻射的能量等于在同一時(shí)間內(nèi)所吸收的能量，物體和輻射場到達(dá)熱平衡，稱為平衡熱輻射。這時(shí)物體的溫度固定。以下只討論平衡熱輻射。2.單色輻出度〔單色輻射本領(lǐng)〕M單位時(shí)間內(nèi)從物體單位外表發(fā)出的波長在附近單位波長間隔內(nèi)的電磁波的能量。SI單位為W/m3。3.輻出度〔總輻射本領(lǐng)〕M〔T〕二．黑體輻射的根本規(guī)律1．黑體1)黑體：能完全吸收各種波長電磁波而無反射的物體2)物體輻射的電磁波和吸收的電磁波相同〔實(shí)驗(yàn)結(jié)果〕黑體能完全輻射各種波長的光M最大且只與溫度有關(guān)而和材料及外表狀態(tài)無關(guān)3)利用黑體可撇開材料的具體性質(zhì)來普遍地研究熱輻射本身的規(guī)律2.維恩設(shè)計(jì)的黑體不透明材料空腔開一個(gè)面積遠(yuǎn)小于空腔內(nèi)外表積的小孔。小孔能完全吸收各種波長的入射電磁波而成為黑體。3．斯特藩—玻耳茲曼定律黑體的輻出度與黑體溫度的四次方成正比M(T)=T4其中=5.6710-8W/m2K44．維思位移定律黑體輻射光譜中輻射最強(qiáng)的波長m與黑體溫度T成反比m=b/T其中b=2.897756×10-3m·K斯特藩—玻耳茲曼定律和維思位移定律是測量高溫、遙感和紅外追蹤等的物理根底。三．經(jīng)典物理的困難由經(jīng)典理論導(dǎo)出的M(T)～公式都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符合！空腔壁產(chǎn)生的熱輻射可想象成以壁為節(jié)點(diǎn)的許多駐波。1)維恩公式〔假定駐波能量按頻率的分布類似于麥克斯韋速度分布率〕—在長波段與實(shí)驗(yàn)不符合！2)瑞利—金斯公式〔假定駐波的平均能量為kT〕—在波長趨于零時(shí)，單色輻出度趨于無限大。“紫外災(zāi)難〞。四．普朗克的能量子假說和黑體輻射公式1．“振子〞的概念〔1900年以前〕1)物體可用無數(shù)個(gè)有節(jié)奏跳動(dòng)的粒子〔振子〕代表2)經(jīng)典理論：振子的能量取連續(xù)值加熱或光照振子吸收任意值的能量振子振動(dòng)劇烈程度降低輻射任意值的能量3)普朗克(M.Planck)的“離散化〞方法,“離散連續(xù)〞的失敗,普朗克假定2.普朗克假定〔1900〕對頻率為的電磁輻射，物體只能以h為能量單位發(fā)射或吸收它。即：物體發(fā)射或吸收電磁輻射只能以能量“量子〞〔quantum〕方式進(jìn)行，每個(gè)量子的能量為=h其中h=6.6260755×10-34J·s典典經(jīng)量子能量普朗克公式“能量不連續(xù)〞與經(jīng)典理論完全不相容。但由此得出的普朗克公式在全波段與實(shí)驗(yàn)結(jié)果驚人符合!1)短波區(qū)：普朗克公式維恩公式2)長波區(qū)：普朗克公式瑞利—金斯公式§2光電效應(yīng)和愛因斯坦的光量子論一．光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律1．光電效應(yīng)金屬及其化合物在電磁輻射下發(fā)射電子的現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)，所發(fā)射的電子稱為光電子。2．實(shí)驗(yàn)裝置GD為光電管，光通過石英窗口照射陰極K，光電子從陰極外表逸出。光電子在電場加速下向陽極A運(yùn)動(dòng)，形成光電流。實(shí)驗(yàn)規(guī)律〔1〕截止電壓Uc與入射光頻率呈線性關(guān)系，與入射光強(qiáng)無關(guān)當(dāng)電壓U=0時(shí)，光電流并不為零；只有當(dāng)兩極間加了反向電壓U=－Uc時(shí)，光電流i才為零光電子具有最大初動(dòng)能。Uc稱為截止電壓。Uc=K-U0光電子的最大初動(dòng)能光電子的最大初動(dòng)能隨入射光頻率的增加而增加，與入射光強(qiáng)無關(guān)?！?〕只有當(dāng)入射光頻率大于一定的頻率0時(shí)，才會(huì)產(chǎn)生光電效應(yīng)當(dāng)入射光頻率<0時(shí)，無論光強(qiáng)多大都沒有光電子產(chǎn)生。頻率0稱為這種金屬的截止頻率或紅限頻率?！?〕光電效應(yīng)是瞬時(shí)發(fā)生的只要>0，無論光多微弱，從光照射陰極到光電子逸出的響應(yīng)時(shí)間都不超過10-9s?！?〕飽和光電流強(qiáng)度im與入射光強(qiáng)i成正比當(dāng)光電流到達(dá)飽和時(shí)，陰極K上逸出的光電子全部飛到了陽極A上。單位時(shí)間內(nèi)從金屬外表逸出的光電子數(shù)與入射光強(qiáng)成正比。二．經(jīng)典物理的困難按照光的經(jīng)典電磁理論：光強(qiáng)與頻率無關(guān)，電子吸收的能量也與頻率無關(guān)，更不存在截止頻率！光波的能量分布在波面上，為克服逸出功電子逸出金屬外表時(shí)克服阻力做的功〕，陰極電子積累能量需要一段時(shí)間，光電效應(yīng)不可能瞬時(shí)發(fā)生！三．愛因斯坦的光量子論1．愛因斯坦假定〔1905〕：電磁輻射由以光速c運(yùn)動(dòng)的局限于空間某一小范圍內(nèi)的光量子〔光子〕組成，每一個(gè)光子的能量與輻射頻率的關(guān)系為=h其中h是普朗克常數(shù)。光子具有“整體性〞。一個(gè)光子只能“整個(gè)地〞被電子吸收或放出。2．對光電效應(yīng)的解釋光照射到金屬外表，一個(gè)光子的能量可立即被金屬中的自由電子吸收。但只有當(dāng)入射光的頻率足夠高，以致每個(gè)光量子的能量h足夠大時(shí)，電子才有可能克服逸出功A逸出金屬外表。逸出電子的最大初動(dòng)能為當(dāng)＜A/h時(shí)，電子的能量缺乏以克服逸出功而發(fā)生光電效應(yīng)。存在紅限頻率金屬鎢鈣鈉鉀銣銫紅限0〔1014Hz〕10.957.735.535.445.154.69逸出功A〔eV〕4.543.202.292.252.131.94三．分析光電效應(yīng)所產(chǎn)生的光電子能譜，是一種有效的外表分析手段。1907年愛因斯坦和德拜〔P．J．Dedye〕把能量不連續(xù)的概念應(yīng)用于固體中的振動(dòng)，成功地解釋了當(dāng)溫度趨近絕對零度時(shí)固體比熱趨于零的現(xiàn)象。到此，普朗克提出的能量不連續(xù)的概念才普遍引起注意?！?康普頓散射光的波粒二象性康普頓1923年研究了X射線與石墨的散射一．實(shí)驗(yàn)規(guī)律在散射的X射線中，除有波長與入射射線相同的成分外，還有波長較長的成分。波長的偏移只與散射角有關(guān)其中，和0分別代表散射和入射波波長，而為電子的康普頓波長，m0為電子的靜止質(zhì)量。波長的偏移可寫成只有當(dāng)入射波長0與c可比較時(shí)，康普頓效應(yīng)才顯著。因此選用X射線觀察。二．康普頓效應(yīng)進(jìn)一步驗(yàn)證了光的粒子性1．散射光波長改變，無法用經(jīng)典電磁波理論解釋。2．康普頓的解釋1)模型：“X射線光子與靜止的自由電子的彈性碰撞〞。與能量很大的入射X光子相比，石墨原子中結(jié)合較弱的電子近似為“靜止〞的“自由〞電子。2)由光的量子論〔=h〕和質(zhì)能關(guān)系〔2=p2c2+m02c4〕，注意到光子的“靜止質(zhì)量〞m0=0，得光子的動(dòng)量3)假定在碰撞過程中能量與動(dòng)量守恒ee解出的波長偏移和實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全符合！4)反沖光子把局部能量傳給電子，光子的能量散射X射線的頻率，波長5)光子與石墨中被原子核束縛很緊的電子的碰撞，應(yīng)看做是光子和整個(gè)原子的碰撞。原子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于光子的質(zhì)量在彈性碰撞中散射光子的能量(波長)幾乎不改變，故在散射線中還有與原波長相同的射線。3．康普頓散射實(shí)驗(yàn)的意義1)首次實(shí)驗(yàn)證實(shí)了愛因斯坦提出的“光量子具有動(dòng)量〞的假設(shè)2)支持了“光量子〞概念，證實(shí)了普朗克假設(shè)=h3)證實(shí)了在微觀的單個(gè)碰撞事件中，動(dòng)量和能量守恒定律仍然是成立的三．光的波粒二象性1．近代認(rèn)為光具有波粒二象性1)在有些情況下，光突出顯示出波動(dòng)性；而在另一些情況下，那么突出顯示出粒子性。2)這里的粒子不是經(jīng)典粒子，波也不是經(jīng)典電磁波！2．根本關(guān)系式式中=h/2，波矢量，圓頻率=2?！?實(shí)物粒子的波動(dòng)性一．德布洛意假定〔1924〕實(shí)物粒子具有波動(dòng)性。實(shí)物粒子的能量和動(dòng)量與和它相聯(lián)系的波的頻率和波長的關(guān)系和光子的一樣稱為德布洛意關(guān)系。與粒子相聯(lián)系的波稱為德布洛意波或概率波。二．實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1．電子通過金多晶薄膜的衍射實(shí)驗(yàn)〔湯姆遜1927〕2．電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實(shí)驗(yàn)〔約恩遜1961〕3．還驗(yàn)證了質(zhì)子、中子和原子等實(shí)物粒子都具有波動(dòng)性，并滿足德布洛意關(guān)系。例題1．質(zhì)量m=0.01kg，速度v=300m/s的子彈的德布洛意波長為h極其微小宏觀物體的波長小得實(shí)驗(yàn)難以測量“宏觀物體只表現(xiàn)出粒子性〞三．波函數(shù)和概率波薛定諤1925年提出用波函數(shù)描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。玻恩1926年對波函數(shù)作出統(tǒng)計(jì)詮釋，給出概率波概念。1．玻恩假定概率波的波函數(shù)是描述粒子在空間的幾率分布的“概率振幅〞。波函數(shù)的模方代表時(shí)刻t，在空間點(diǎn)處單位體積元中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率，稱為概率密度。而時(shí)刻t在空間點(diǎn)附近dV體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為其中是的復(fù)數(shù)共軛。2．自由粒子平面波波函數(shù)經(jīng)典的平面波為，參考下列圖可寫成。利用德布洛意關(guān)系可得在量子力學(xué)中描述自由粒子的平面波波函數(shù)因，那么在空間各點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自由粒子的概率相等。3．用電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)說明概率波的含義〔1〕入射強(qiáng)電子流1)單位時(shí)間許多電子通過雙縫，底片上很快出現(xiàn)衍射圖樣許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果〔2〕入射弱電子流1)底片上出現(xiàn)一個(gè)一個(gè)的點(diǎn)子電子具有粒子性2)電子幾乎一個(gè)一個(gè)地通過雙縫衍射圖樣不是電子相互作用的結(jié)果3)開始時(shí)點(diǎn)子無規(guī)分布，隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣衍射圖樣來源于“一個(gè)電子〞所具有的波動(dòng)性4)一個(gè)電子重復(fù)許屢次相同實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出的統(tǒng)計(jì)結(jié)果4．波函數(shù)滿足的條件統(tǒng)計(jì)詮釋要求，作為可以接受的波函數(shù)應(yīng)滿足〔1〕自然條件：單值、有限和連續(xù)〔2〕歸一化條件粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和為l，波函數(shù)應(yīng)歸一化四．狀態(tài)疊加原理根本假定：假設(shè)體系具有一系列可能狀態(tài)那么它們的線性組合也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài)。其中組合系數(shù)為任意復(fù)常數(shù)。假設(shè)疊加中各狀態(tài)間的差異無窮小，那么應(yīng)該用積分代替求和?！?不確定關(guān)系經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的概念在多大程度上適用于微觀世界？海森伯于1927年根據(jù)對一些理想實(shí)驗(yàn)的分析和德布洛意關(guān)系得出“測不準(zhǔn)關(guān)系〞：粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)“測準(zhǔn)〞ppxZx借助電子單縫衍射實(shí)驗(yàn)的粗略推導(dǎo)：一束動(dòng)量為p的電子通過狹縫x后散布在一衍射角1范圍內(nèi)。通過狹縫后電子動(dòng)量x分量px的不確定范圍為注意到〔衍射反比關(guān)系〕〔德布洛意關(guān)系〕得到不確定關(guān)系由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋可嚴(yán)格證明:微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量是一對不能同時(shí)取確定值的物理量“不能同時(shí)測準(zhǔn)〞是粒子〔光子和實(shí)物粒子〕波粒二象性的必然后果“不確定關(guān)系〞當(dāng)粒子被局限在x方向的一個(gè)有限范圍x內(nèi)時(shí)，它所相應(yīng)的動(dòng)量分量px必然有一個(gè)不確定的范圍px，兩者的乘積滿足不確定關(guān)系。能量和時(shí)間也是一對不能同時(shí)取確定值的物理量其中E—能量取值的不確定范圍，t—時(shí)間取值的不確定范圍。能級(jí)自然寬度和壽命：設(shè)體系處于某能量狀態(tài)的壽命為，那么該狀態(tài)能量的不確定程度〔能級(jí)自然寬度〕假定原子中某一激發(fā)態(tài)的壽命t~10-8s1理論上計(jì)算平均壽命估計(jì)能級(jí)寬度2實(shí)驗(yàn)上測量能級(jí)寬度估計(jì)不穩(wěn)態(tài)的壽命例1．原子〔線度～1?！持须娮舆\(yùn)動(dòng)不存在“軌道〞。設(shè)電子的動(dòng)能T=10eV，平均速度速度的不確定程度與速度本身數(shù)值屬同一數(shù)量級(jí)，故軌道概念不適用!例2．威爾遜云室是一個(gè)充滿過飽和蒸氣的容器。射入的高速電子使氣體分子或原子電離成離子。以離子為中心過飽和蒸氣凝結(jié)成小液滴，在強(qiáng)光照射下，可看到一條白亮的帶狀的痕跡—粒子的徑跡。1)徑跡的線度～10-4cm，x≈10-4cm動(dòng)量的不確定程度2)云室中的電子動(dòng)能T～108eV電子平均動(dòng)量3)顯然p＞＞p在威爾遜云室中，電子坐標(biāo)和動(dòng)量的取值根本上可以認(rèn)為是確定的，可以使用“軌道〞的概念?！?薛定諤方程薛定諤方程描述質(zhì)量為m的非相對論實(shí)物粒子〔，或〕在勢場中的狀態(tài)隨時(shí)間的變化，反映了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。動(dòng)力學(xué)方程不是推導(dǎo)出來的，而是依據(jù)實(shí)驗(yàn)事實(shí)和根本假定“建立〞的。是否正確那么由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。一．自由粒子薛定諤方程的建立自由粒子波函數(shù)隨時(shí)間和坐標(biāo)變化的關(guān)系〔自由粒子的薛定諤方程〕推廣到勢場U〔x，t〕中的粒子薛定諤方程為三維情況：§7定態(tài)薛定諤方程別離變量假設(shè)U(x)與時(shí)間無關(guān)，那么薛定諤方程可別離變量。設(shè)代入薛定諤方程兩邊除式中的E是與x和t均無關(guān)的常數(shù)?！?〕～〔2〕2．振動(dòng)因子方程〔1〕的解為一振動(dòng)因子E代表粒子的能量。3定態(tài)薛定諤方程§9勢阱中的粒子和一維散射問題一維無限深勢阱中的粒子1.勢能函數(shù)aax0U(x)=01)阱內(nèi)2)阱外和3)粒子在范圍內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，但不能到達(dá)或范圍例：金屬內(nèi)部自由電子的運(yùn)動(dòng)的近似描述2定態(tài)薛定諤方程1)阱外：2)阱內(nèi)：令那么阱內(nèi)方程為3分區(qū)求通解1)阱外：2)阱內(nèi)：式中A和B是待定常數(shù)。5．由波函數(shù)自然條件和邊界條件定特解，〔B0〕(1)能量本征值1)能量取分立值〔能級(jí)〕能量量子化2)當(dāng)時(shí)能量連續(xù)3)最低能量〔零點(diǎn)能〕—波動(dòng)性的表現(xiàn)。(2)本征函數(shù)系是以和為節(jié)點(diǎn)的一系列駐波(3)本征函數(shù)系的正交性直接計(jì)算可驗(yàn)證(4)概率密度1)經(jīng)典：粒子出現(xiàn)在阱內(nèi)各點(diǎn)的概率相同2)當(dāng)時(shí)，量子經(jīng)典例題．在阱寬為的無限深勢阱中，粒子的狀態(tài)為，屢次測量其能量。問每次可能測到的值和相應(yīng)概率？解：把波函數(shù)寫成按無限深勢阱哈密頓量的本征函數(shù)的展開形式可能測到的值相應(yīng)概率1/21/2二．一維散射問題粒子從處以確定能量E入射，給定勢函數(shù)U(x)，解定態(tài)薛定諤方程，求粒子的波函數(shù)和分布。1．梯形勢薛定諤方程：通解：由，得1)特解：，〔EU＝0,振動(dòng)解〕入射波反射波，〔EU＝U0,衰減解〕2)電子逸出金屬外表的模型量子：電子透入勢壘，在金屬外表形成一層電子氣。經(jīng)典：電子不能進(jìn)入U(xiǎn)＞E〔總能量〕區(qū)域，〔因動(dòng)能≮0〕。2．隧道效應(yīng)〔勢壘貫穿〕透射系數(shù)T：粒子穿透勢壘的概率例：放射性核的粒子釋放§10一維諧振子一．定態(tài)薛定諤方程1．能量本征值用級(jí)數(shù)展開解上述方程。為使波函數(shù)滿足單值、連續(xù)、有限條件，能量本征值只能取1)能量間隔:躍遷輻射量子的能量2)零點(diǎn)能：2．本征函數(shù)和概率密度最低三個(gè)能級(jí)對應(yīng)的波函數(shù)其中2本征函數(shù)系的正交性直接計(jì)算可知3．例：對一個(gè)質(zhì)量1g，彈簧勁度為0.1N/m的宏觀諧振子，經(jīng)計(jì)算〔自己完成〕1)振子能量應(yīng)的量子數(shù)n～10252)能級(jí)間隔E～10-33J能量取連續(xù)值！二．應(yīng)用1物理模型：熱輻射機(jī)制；輻射場的量子性；原子，分子，原子核的振動(dòng)2某些物理問題的零級(jí)近似§11氫原子1．球坐標(biāo)系定態(tài)薛定諤方程2．別離變量求解〔1〕能量本征值1)氫原子的能量取決于n，稱n為主量子數(shù)2)電子束縛于庫侖勢阱中能量量子化3)當(dāng)時(shí)，：電子處于電離態(tài)〔2〕氫原子光譜頻率條件：當(dāng)電子從能級(jí)Ei躍遷到能級(jí)Ef〔EiEf〕時(shí)，發(fā)射光子的頻率為相應(yīng)的波數(shù)為nE(eV)nE(eV)假設(shè)EiEf那么對應(yīng)吸收光子。賴曼系〔紫外區(qū)〕巴爾末系〔可見區(qū)〕§12電子的自旋四個(gè)量子數(shù)一．電子的自旋〔Spin〕斯特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)〔1921〕PPNS基態(tài)銀原子射線無磁場有磁場1電子軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生磁矩。軌道角量子數(shù)為l的原子束經(jīng)不均勻磁場后，由于磁矩的不同取向，將別離成(2l＋1)個(gè)空間成分。2基態(tài)銀原子的角動(dòng)量等于其價(jià)電子的角動(dòng)量l＝0，軌道磁矩=0。但基態(tài)銀原子束別離成兩個(gè)空間成分，射線的偏轉(zhuǎn)說明：電子除具有軌道角動(dòng)量外還應(yīng)具有自旋角動(dòng)量。1設(shè)自旋角量子數(shù)為S，由角動(dòng)量的性質(zhì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果2)自旋是一種相對論量子效應(yīng)，無經(jīng)典對應(yīng)。二．四個(gè)量子數(shù)原子中的電子運(yùn)動(dòng)由四個(gè)量子數(shù)決定主量子數(shù)n:n=1,2,3,…決定氫原子中電子的能量，大體決定其他原子中電子的能量。2軌道角量子數(shù)l:l=0,1,2,…,(n-1)當(dāng)n給定，l可取n個(gè)值。決定了電子的軌道運(yùn)動(dòng)。影響原子在外磁場中的能量。3軌道磁量子數(shù)ml:ml=0,1,2,…,l當(dāng)l給定，ml可取〔2l+1〕個(gè)值。對應(yīng)軌道角動(dòng)量在外磁場中〔2l+1〕種指向。影響原子在外磁場中的能量。4自旋角量子數(shù)〔一般不列出〕自旋磁量子數(shù)ms:ms=1/2。自旋在外磁場中的兩種指向。影響原子在外磁場中的能量。一、根本要求理解光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律以及愛因斯坦的光子理論對這兩個(gè)效應(yīng)的解釋。理解光的波粒二象性。理解描述物質(zhì)波的物理量(波長、頻率)和粒子性的物理量(動(dòng)量、能量)間的關(guān)系。3．理解不確定性原理。4．理解波函數(shù)是概率波和波函數(shù)滿足的薛定諤方程。理解粒子的狀態(tài)可以用量子數(shù)來描述。二、知識(shí)系統(tǒng)圖光量子假設(shè)光量子假設(shè)光的量子性〔微粒性〕平衡熱輻射普朗克能量子假設(shè)愛因斯坦方程康普頓效應(yīng)光的波動(dòng)性〔干預(yù)、衍射、偏振〕光的波粒二象性熱輻射普朗克公式黑體輻射牛頓運(yùn)動(dòng)方程牛頓運(yùn)動(dòng)方程實(shí)物粒子的波粒二象性德布羅意關(guān)系式不確定關(guān)系不起作用不確定關(guān)系起作用粒子描述E,P波的描述位置，速度，粒子軌道波函數(shù)〔概率波〕薛定諤方程定態(tài)：例題1．質(zhì)量為me的電子被電勢差U=100kV的電場加速，如果考慮相對論效應(yīng)，試計(jì)算其德布羅意波的波長。假設(shè)不用相對論計(jì)算，那么相對誤差是多少？解：用相對論計(jì)算由求出速度v，代入中求出動(dòng)量p，把p代入中計(jì)算得：m假設(shè)不考慮相對論效應(yīng)那么求出v代入p=m0v中，求出動(dòng)量p，把p代入中計(jì)算得：m相對誤差：。從題中會(huì)看到：對于微觀粒子，由于其質(zhì)量很小，速度會(huì)很大，原那么上講應(yīng)該考慮相對論效應(yīng)，但是用100000伏特的電壓加速電子，如果不考慮相對論效應(yīng)，誤差僅為4.7%，一般來說誤差不是很大。相對論粒子與非相對論粒子之間并沒有嚴(yán)格的界限，要視具體的情況而定。2．波的速度，而根據(jù)德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)：，。對非相對論粒子，，于是，好象物質(zhì)波的傳播速度跟不上粒子的傳播速度，如何解釋之？討論：事實(shí)上一個(gè)粒子的波函數(shù)并不是平面簡諧波的波函數(shù)，它可以看成是許多頻率相近的多個(gè)簡諧波的疊加，我們?yōu)榱朔奖阒豢紤]兩個(gè)簡諧波疊加的情況。，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，并考慮到：，，式中是簡諧波的位相，由它可以得到簡諧波的相速。式中是兩個(gè)簡諧波疊加以后的振幅變化的位相〔實(shí)際上就是“拍〞的位相〕，由它可以得到一個(gè)速度，這個(gè)速度叫群速，對非相對論粒子，。所以物質(zhì)波的群速度才是粒子運(yùn)動(dòng)的速度。3．試證：如果確定一個(gè)低速運(yùn)動(dòng)的粒子的位置時(shí)，其不確定量等于這個(gè)粒子的德布羅意波長，那么同時(shí)確定這個(gè)粒子的速度時(shí)，其不確定量將等于這粒子的速度?！膊淮_定關(guān)系式〕此題的證明并不困難證明：不確定關(guān)系式：，那么又因?yàn)椋核裕翰浑y發(fā)現(xiàn)：不確定關(guān)系式應(yīng)該為，假設(shè)按照此式。題中的結(jié)果好象并不正確，但是應(yīng)該注意到：在實(shí)驗(yàn)儀器100%精確的情況下，不確定關(guān)系式中等號(hào)才成立，實(shí)際中經(jīng)常用不確定關(guān)系式去估算某些量值，對于微觀粒子，其線度很小，速度通常很大，按照現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)條件，估算時(shí)只要數(shù)量級(jí)正確就夠了，通常不苛求不確定關(guān)系式。4．一粒子被限制在相距為l的兩個(gè)不可穿透的壁之間，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)為，求：在區(qū)間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。討論：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)并沒有實(shí)際的物理意義，它說明物質(zhì)波是幾率波，波函數(shù)可以乘以任何一個(gè)常數(shù)，仍描述原來的粒子，但是它的模方是幾率密度，對全空間的積分應(yīng)該為1〔歸一化條件〕，這就要求算幾率時(shí)應(yīng)該用描寫粒子狀態(tài)的歸一化的波函數(shù)。所以此題首先要求出歸一化的波函數(shù)：即：解得：即求得歸一化的波函數(shù)為：在區(qū)間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為：5．太陽的總輻射功率Ps=3.9×1026W。以r表示行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。試根據(jù)熱平衡輻射的要求證明：行星外表的溫度T應(yīng)為：，其中為斯特藩-玻耳茲曼常量〔行星輻射按黑體計(jì)〕。解：太陽的總輻射功率Ps〔單位時(shí)間內(nèi)輻射出的總能量〕。軌道上單位時(shí)間內(nèi)、單位面積上輻射的能量為：。行星單位時(shí)間內(nèi)吸收的能量為：〔行星吸收能量的有效面積為,為行星半徑〕。行星單位時(shí)間內(nèi)輻射的能量為：。根據(jù)黑體熱平衡輻射的要求可得：|Ua|(V)于是：|Ua|(V)6．圖中所示為在一次光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中得出的曲線2.0〔1〕求證對不同材料的金屬，AB線的斜率相同。〔2〕由圖中數(shù)據(jù)求出普朗克恒量。解：〔1〕由得：