廣西南寧市二中2024屆數(shù)學高二下期末綜合測試試題含解析

廣西南寧市二中2024屆數(shù)學高二下期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為()A．6 B．4 C． D．2．某三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，高為6，則該三棱柱的體積為A． B． C． D．3．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A．0 B．-1 C．-2 D．-84．利用數(shù)學歸納法證明“且”的過程中，由假設(shè)“”成立，推導“”也成立時，該不等式左邊的變化是（）A．增加B．增加C．增加并減少D．增加并減少5．中，角、、的對邊分別為，，，若，三角形面積為，，則()A．7 B．8 C．5 D．66．某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當時命題成立，那么可推得當時命題也成立?，F(xiàn)已知當n=8時該命題不成立，那么可推得A．當n=7時該命題不成立 B．當n=7時該命題成立C．當n=9時該命題不成立 D．當n=9時該命題成立7．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關(guān)系同時滿足以下三個條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動點，且到l、m的距離相等，則點P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線8．已知，，則是的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．在四邊形中，如果，，那么四邊形的形狀是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形10．在正方體中，過對角線的一個平面交于，交于得四邊形，則下列結(jié)論正確的是（）A．四邊形一定為菱形B．四邊形在底面內(nèi)的投影不一定是正方形C．四邊形所在平面不可能垂直于平面D．四邊形不可能為梯形11．拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于、兩點，點為軸正半軸上任意一點，則（）A． B． C． D．12．執(zhí)行如圖所示程序框圖，輸出的的值為（）A． B． C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則______．14．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有種（用數(shù)字作答）．15．已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量(單位：千克)服從正態(tài)分布.現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機抽取件產(chǎn)品，則其中質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品估計有________件.附：若，則，.16．如圖所示，在平面四邊形中，，，為正三角形，則面積的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．18．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面上對應(yīng)點的軌跡為，、分別是曲線的上、下頂點，是曲線上異于、的一點．（1）求曲線的方程；（2）若在第一象限，且，求的坐標；（3）過點作斜率為的直線分別交曲線于另一點，交軸于點．求證：存在常數(shù)，使得恒成立，并求出的值．19．（12分）已知命題函數(shù)是上的奇函數(shù)，命題函數(shù)的定義域和值域都是，其中.（1）若命題為真命題，求實數(shù)的值；（2）若“且”為假命題，“或”為真命題，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入計劃，收集了近個月廣告投入量（單位：萬元）和收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表：月份廣告投入量收益他們分別用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：（Ⅰ）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；（Ⅱ）殘差絕對值大于的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除：（?。┨蕹惓?shù)據(jù)后求出（Ⅰ）中所選模型的回歸方程；（ⅱ）若廣告投入量時，該模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.21．（12分）已知橢圓的長軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當時，設(shè)，過作直線交橢圓于、兩點，記橢圓的左頂點為，直線，的斜率分別為，，且，求實數(shù)的值.22．（10分）汽車尾氣中含有一氧化碳，碳氫化合物等污染物，是環(huán)境污染的主要因素之一，汽車在使用若干年之后排放的尾氣之中的污染物會出現(xiàn)遞增的現(xiàn)象，所以國家根據(jù)機動車使用和安全技術(shù)、排放檢驗狀況，對達到報廢標準的機動車實施強制報廢，某環(huán)境組織為了解公眾對機動車強制報廢標準的了解情況，隨機調(diào)查了人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表：（1）若從這人中任選人，選到了解強制報廢標準的人的概率為，問是否在犯錯的概率不超過5﹪的前提下認為“機動車強制報廢標準是否了解與性別有關(guān)”？（2）該環(huán)保組織從相關(guān)部門獲得某型號汽車的使用年限與排放的尾氣中濃度的數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的折線圖，若該型號汽車的使用年限不超過年，可近似認為排放的尾氣中濃度﹪與使用年限線性相關(guān)，確定與的回歸方程，并預(yù)測該型號的汽車使用年排放尾氣中的濃度是使用年的多少倍.附：，0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先求可積區(qū)間，再根據(jù)定積分求面積.【題目詳解】由,得交點為，所以所求面積為，選D.【題目點撥】本題考查定積分求封閉圖形面積，考查基本求解能力，屬基本題.2、C【解題分析】

計算結(jié)果.【題目詳解】因為底面是邊長為2的正三角形，所以底面的面積為，則該三棱柱的體積為．【題目點撥】本題考查了棱柱的體積公式，屬于簡單題型.3、B【解題分析】根據(jù)流程圖可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第4次循環(huán)：；此時程序跳出循環(huán)，輸出.本題選擇B選項.4、D【解題分析】

由題寫出時的表達式和的遞推式，通過對比，選出答案【題目詳解】時，不等式為時，不等式為，增加并減少.故選D.【題目點撥】用數(shù)學歸納法寫遞推式時，要注意從到時系數(shù)k對表達式的影響，防止出錯的方法是依次寫出和的表達式，對比增項是什么，減項是什么即可5、A【解題分析】分析：由已知及三角形的面積公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．詳解：由題意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故選A．點睛：本題綜合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用公式．考查計算能力．6、A【解題分析】

根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當時命題不成立，則命題也不成立，所以選A.【題目詳解】根據(jù)逆否命題和原命題的真假一致性得，當時命題不成立，則命題也不成立，所以當時命題不成立，則命題也不成立，故答案為：A【題目點撥】(1)本題主要考查數(shù)學歸納法和逆否命題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)互為逆否關(guān)系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原命題的逆命題和否命題的真假性相同.所以，如果某些命題（特別是含有否定概念的命題）的真假性難以判斷，一般可以判斷它的逆否命題的真假性.7、D【解題分析】

作出直線m在平面α內(nèi)的射影直線n，假設(shè)l與n垂直，建立坐標系，求出P點軌跡即可得出答案．【題目詳解】解：設(shè)直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設(shè)l與n垂直，設(shè)直線m與平面α的距離為d，在平面α內(nèi)，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點軌跡為雙曲線．故選：D．【題目點撥】本題考查空間線面位置關(guān)系、軌跡方程，考查點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．8、A【解題分析】分析：首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合冪的大小，得到指數(shù)的大小關(guān)系，即，從而求得，利用集合間的關(guān)系，確定出p,q的關(guān)系.詳解：由得，解得，因為是的真子集，故p是q的充分不必要條件，故選A.點睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷，在求解的過程中，首先需要判斷命題q為真命題時對應(yīng)的a的取值范圍，之后借助于具備真包含關(guān)系時滿足充分非必要性得到結(jié)果.9、A【解題分析】

由可判斷出四邊形為平行四邊形，由可得出，由此判斷出四邊形的形狀.【題目詳解】，所以，四邊形為平行四邊形，由可得出，因此，平行四邊形為矩形，故選A.【題目點撥】本題考查利用向量關(guān)系判斷四邊形的形狀，判斷時要將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，同時也考查了推理能力，屬于中等題.10、D【解題分析】對于A，當與兩條棱上的交點都是中點時，四邊形為菱形，故A錯誤；對于B,四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形,故B錯誤；對于C,當兩條棱上的交點是中點時，四邊形垂直于平面,故C錯誤；對于D，四邊形一定為平行四邊形，故D正確.故選：D11、B【解題分析】

分析：設(shè)，則，由利用韋達定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點，設(shè)過點的直線為，，，，，故選B.點睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、平面向量的運算、直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查綜合運用所學知識解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想以及計算能力，屬于中檔題.12、B【解題分析】分析：根據(jù)判斷框的條件確定退出循環(huán)體的k值，再根據(jù)框圖的流程確定算法的功能，利用約分消項法求解．詳解：由題可知：此時輸出S=故選B.點睛：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能以及對對數(shù)公式的準確運用是關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由得到，計算得到答案.【題目詳解】已知向量，，若所以答案為：【題目點撥】本題考查了向量的計算，將條件轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.14、36【解題分析】試題分析：將4人分成3組，再將3組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，考點：排列組合15、3413【解題分析】

可以根據(jù)服從正態(tài)分布，可以知道，根據(jù)，可以求出，再根據(jù)對稱性可以求出，最后可以估計出質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品的數(shù)量.【題目詳解】解:，，質(zhì)量在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品估計有件.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布，正確熟悉掌握正態(tài)分布的特點以及原則是解題的關(guān)鍵.16、.【解題分析】分析：在中設(shè)運用余弦定理，表示出，利用正弦定理可得，進而用三角形面積公式表示出，利用三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.詳解：在中，由余弦定理可知，正三角形，，由正弦定理得：，，，，為銳角，，，，當時，，最大值為，故答案為.點睛：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用以及輔助角公式的應(yīng)用，屬于難題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以可得；，進而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【題目詳解】（Ⅰ）當時，，因為是定義在上的奇函數(shù)所以；當時，；所以（Ⅱ）易知當時，單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式等價于，解得，所以原不等式的解集為．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是由奇偶性先求出解析式，屬于一般題．18、（1）；（2）；（3）證明見解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義以及橢圓的定義可得出曲線為橢圓，并設(shè)曲線的方程為，求出、的值，可得出曲線的方程；（2）設(shè)點的坐標為，根據(jù)以及得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，即可得出點的坐標；（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，求出點的坐標，并求出、、、的表達式，結(jié)合韋達定理可求出的值.【題目詳解】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，由可知，復(fù)平面內(nèi)的動點到點、的距離之和為，且有，所以，曲線是以點、為左、右焦點的橢圓，設(shè)曲線的方程為，則，，.因此，曲線的方程為；（2）設(shè)點的坐標為，則，又點在曲線上，所以，解得，因此，點的坐標為；（3）設(shè)直線的方程為，點、，直線交軸于點，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立得，消去，得，得由韋達定理得，.，，，，因此，.【題目點撥】本題考查橢圓的軌跡方程、橢圓上的點的坐標的求解以及直線與橢圓中線段長度比的問題，一般利用將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理設(shè)而不求法求解，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＋f(x)＝0，解得實數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得轉(zhuǎn)化為對應(yīng)一元二次方程有兩個大于1的不相等實根，利用實根分布解得k的取值范圍，由“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，得命題p和q中有且僅有一個為真命題，根據(jù)真假列方程組解得實數(shù)的取值范圍.詳解：（1）若命題p為真命題，則f(－x)＋f(x)＝0，即，化簡得對任意的x∈R成立，所以k＝1．（2）若命題q為真命題，因為在[a，b]上恒成立，所以g(x)在[a，b]上是單調(diào)增函數(shù)，又g(x)的定義域和值域都是[a，b]，所以所以a，b是方程的兩個不相等的實根，且1＜a＜b．即方程有兩個大于1的實根且不相等，記h(x)＝k2x2－k(2k－1)x＋1，故，解得，所以k的取值范圍為．因為“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，所以命題p和q中有且僅有一個為真命題，即p真q假，或p假q真．所以或所以實數(shù)k的取值范圍為．點睛：以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時，首先要對兩個簡單命題進行化簡，然后依據(jù)“p∨q”“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式(組)求解即可.20、（1）應(yīng)該選擇模型①，理由見解析（2）（?。áⅲ窘忸}分析】

（1）結(jié)合題意可知模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，即可。（2）（i）利用回歸直線參數(shù)計算方法，分別得到，建立方程，即可。（ii）把代入回歸方程，計算結(jié)果，即可?！绢}目詳解】（Ⅰ）應(yīng)該選擇模型①，因為模型①殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高.（Ⅱ）（?。┨蕹惓?shù)據(jù)，即月份為的數(shù)據(jù)后，得；.；.；，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（ⅱ）把代入回歸方程得：，故預(yù)報值約為萬元.【題目點撥】本道題考查了回歸方程的計算方法，難度中等。21、（Ⅰ）或；（Ⅱ）1.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓的焦點位置的不同進行分類討論，利用長軸長和離心率可以求出橢圓的標準方程；（Ⅱ）由，可以確定橢圓的標準方程，過作直線可以分為二類，一類是沒有斜率，一類有斜率，分別討論，直線沒有斜率時，可直接求出兩點坐標，利用，可以求出點坐標，當存在斜率時，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合等式，也可以求出點坐標，也就求出實數(shù)的值.【題目詳解】（I）當時，由得，；當時，由得，.所以橢圓C的方程為或.（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時