2024屆江蘇南京鼓樓區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆江蘇南京鼓樓區(qū)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是定義在上的函數(shù)，且對于任意，不等式恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．若為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．-2 B．2 C．-3 D．33．某校從6名學(xué)生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學(xué)校的匯演活動，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．4．從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．65．今年全國高考,某校有3000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績(，試卷滿分150分),統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績高于130分的人數(shù)為100，則該校此次數(shù)學(xué)考試成績高于100分且低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．1300 B．1350 C．1400 D．14506．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A． B． C． D．7．在一次數(shù)學(xué)測試中，高一某班50名學(xué)生成績的平均分為82，方差為8.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班數(shù)學(xué)成績的是（）A．60 B．70 C．80 D．1008．已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則實數(shù)的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或49．已知命題，.則命題為（）A．， B．，C．， D．，10．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．11．若動點與兩定點，的連線的斜率之積為常數(shù)，則點的軌跡一定不可能是（）A．除兩點外的圓 B．除兩點外的橢圓C．除兩點外的雙曲線 D．除兩點外的拋物線12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知某市社區(qū)35歲至45歲的居民有450人，46歲至55歲的居民有750人，56歲至65歲的居民有900人．為了解該社區(qū)35歲至65歲居民的身體健康狀況，社區(qū)負(fù)責(zé)人采用分層抽樣技術(shù)抽取若干人進(jìn)行體檢調(diào)查，若從46歲至55歲的居民中隨機(jī)抽取了50人，試問這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是________人．14．已知直線（，是非零常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有______條（用數(shù)字作答）.15．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，，則．16．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，，，E為的中點，過A、B、E的平面與交于點F.（1）求證：點F為的中點；（2）四邊形ABFE是什么平面圖形?并求其面積．18．（12分）已知橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），點P是橢圓C上位于第三象限的動點，直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N，求證：|AN|?|BM|為定值．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），兩曲線相交于，兩點.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若，求的值.20．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極大值8.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)有兩個極值點和3.(1)求，的值；(2)若函數(shù)的圖象在點的切線為，切線與軸和軸分別交于，兩點，點為坐標(biāo)原點，求的面積.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用的單調(diào)性和奇偶性，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，然后將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，借助導(dǎo)數(shù)知識，即可解決問題．【題目詳解】，可知，且單調(diào)遞增，可以變?yōu)?，即，∴，可知，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，可知，∴，∵，∴整數(shù)的最小值為1.故選A.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)、抽象不等式的解法、以及恒成立問題的一般解法，意在考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的的能力．2、C【解題分析】

本題首先可以確定復(fù)數(shù)的實部和虛部，然后根據(jù)純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)即可列出方程組，通過計算即可得出結(jié)果．【題目詳解】因為為純虛數(shù)，所以，解得，故選C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查純虛數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，純虛數(shù)的實部為0且虛部不為0，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想，是簡單題．3、B【解題分析】

先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數(shù)，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數(shù)為，結(jié)合條件概率的計算方法，可得.【題目詳解】女生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個數(shù)為，則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為.故選B.【題目點撥】本題考查了條件概率的求法，考查了學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，因為先從其余3人中選出1人擔(dān)任文藝委員，再從4人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項.5、C【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算，即【題目詳解】100分是數(shù)學(xué)期望，由題意成績高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總?cè)藬?shù)為3000－200＝2800，因此成績高于100分低于130分的人數(shù)為．故選C．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布，解題關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線中的對稱性，即若，則，．6、B【解題分析】由題意可得：，則：，即的虛部是.本題選擇B選項.7、A【解題分析】

假設(shè)分?jǐn)?shù)為時，可知，可知分?jǐn)?shù)不可能為，得到結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)為該班某學(xué)生的成績時，則，則與方差為矛盾不可能是該班成績故選：【題目點撥】本題考查平均數(shù)、方差的相關(guān)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解切線方程，通過方程有兩個相等的解，推出結(jié)果即可．【題目詳解】設(shè)切點為，且函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，所以，則切線方程為，切線過點，代入得，所以，即方程有兩個相等的解，則有，解得或，故選C．【題目點撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

利用全稱命題的否定解答.【題目詳解】命題，.命題為，.故選D【題目點撥】本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

連結(jié)AB后，AB長為定值，由C點變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【題目詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長一定，在點C由A到B的過程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點附近時，三角形的面積減或增較慢，故選D．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

根據(jù)題意可分別表示出動點與兩定點的連線的斜率,根據(jù)其之積為常數(shù)，求得和的關(guān)系式，對的范圍進(jìn)行分類討論，分別討論且和時，可推斷出點的軌跡.【題目詳解】因為動點與兩定點，的連線的斜率之積為常數(shù)，所以，整理得，當(dāng)時，方程的軌跡為雙曲線；當(dāng)時，且方程的軌跡為橢圓；當(dāng)時，點的軌跡為圓，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，或的指數(shù)必有一個是1,故點的軌跡一定不可能是拋物線，故選D.【題目點撥】本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題就是利用方法①求動點的軌跡方程的.12、B【解題分析】

先求出的定義域,再利用同增異減以及二次函數(shù)的圖像判斷單調(diào)區(qū)間即可.【題目詳解】令,得f(x)的定義域為,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律,即求函數(shù)在上的減區(qū)間,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知為函數(shù)的減區(qū)間.故選：B【題目點撥】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)題意可得抽樣比為則這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是即答案為140.14、60【解題分析】

直線是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過原點，考察圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點的個數(shù)，結(jié)合組合知識分類解答.【題目詳解】依題意直線截距均不為0，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點，圓上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點有12個，分別為，前個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有條；12個點過任意兩點，構(gòu)成條直線，有條垂直軸，有條直線垂直軸，還有條直線過原點（圓上點的對稱性），滿足條件的直線有條.綜上可知滿足條件的直線共有條.故答案為：.【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用組合知識是解題的關(guān)鍵，注意直線截距式方程的限制條件，屬于中檔題.15、0.8【解題分析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布曲線對稱性求，再根據(jù)求結(jié)果.詳解：因為正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以,因此點睛：利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.16、【解題分析】

在上是減函數(shù)的等價條件是在恒成立，然后分離參數(shù)求最值即可.【題目詳解】在上是減函數(shù)，在恒成立，即，在的最小值為，【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題，把在上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為在恒成立是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）直角梯形，【解題分析】

（1）利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，證明A1B1∥平面ABFE，A1B1∥EF，可得點F為B1C1的中點；

（2）四邊形ABFE是直角梯形，先判斷四邊形ABFE是梯形；再判斷梯形ABFE是直角梯形，從而計算直角梯形ABFE的面積．【題目詳解】（1）證明：三棱柱中，，平面，平面，平面，又平面，平面平面，，又為的中點，∴點為的中點；（2）四邊形是直角梯形，理由為：由（1）知，，且，∴四邊形是梯形；又側(cè)棱B1B⊥底面ABC，∴B1B⊥AB；又AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又B1B∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1；又BF?平面B1BCC1，∴AB⊥BF；∴梯形ABFE是直角梯形；由BB1=3，B1F=4，∴BF=5；又EF=3，AB=6，∴直角梯形ABFE的面積為S=×（3+6）×5=．【題目點撥】本題考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題．18、(1)+y2=1．(2)見解析.【解題分析】

（1）由題意可得：，，a2=b2+c2，聯(lián)立解得：a，b．即可得出橢圓C的方程．（2）設(shè)P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．．可得直線BP，AP的方程分別為：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．可得|AM|?|BN|為定值．【題目詳解】解：（1）由題意可得：+=1，=，a2=b2+c2，聯(lián)立解得：a=2，b=1．∴橢圓C的方程為：+y2=1．（2）證明：設(shè)P（x0，y0），（x0＜0，y0＜0）A（2，0），B（0，1）．+2=2．可得直線BP，AP的方程分別為：y=x+1，y=（x-2），可得：M（，0），N（0，）．∴|AM|?|BN|=（2-）（1-）=2--+==2為定值．【題目點撥】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為；直線的普通方程為.（2）.【解題分析】

(1)利用可以把極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；對于參數(shù)方程，消去參數(shù)可得普通方程.(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義可求解.【題目詳解】(1)由,可得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為.由（為參數(shù)），消去，得直線的普通方程為.(2)把直線的參數(shù)方程代入,得到,設(shè)點，對應(yīng)的參數(shù)分別為，則所以，則.【題目點撥】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問題，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化.20、（I）（II）【解題分析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)為0，原函數(shù)為8，聯(lián)立方程解得（Ⅱ）參數(shù)分離，設(shè)，求在區(qū)間上的最大值得到答案.【題目詳解】（I）∵當(dāng)時，函數(shù)有極大值8∴，解得∴所以函數(shù)的解析式為.（II）∵不等式在區(qū)間上恒成立∴在區(qū)間上恒成立令，則由解得，解得所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減所以對，都有，所以，即實數(shù)