2024屆浙江省溫州市九校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆浙江省溫州市九校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為拋物線的焦點，點的坐標(biāo)為，過點作斜率為的直線與拋物線交于、兩點，延長、交拋物線于、兩點設(shè)直線的斜率為，則（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知，且，則等于()A． B． C． D．3．在正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．5．函數(shù)的部分圖像可能是（）A． B． C． D．6．若的二項展開式各項系數(shù)和為，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的運算結(jié)果為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線，過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點，以線段PQ為直徑的圓過右焦點F，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．8．已知，是雙曲線的左、右焦點，點關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．39．給出下列三個命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．世界杯參賽球隊共32支，現(xiàn)分成8個小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(各組的前2名小組出線)，這16個隊按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強，再決出4強，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場數(shù)為()A．64 B．72 C．60 D．5611．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．4012．將點的直角坐標(biāo)(－2，2)化成極坐標(biāo)得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示的偽代碼，最后輸出的值為__________．14．從位女生，位男生中選了人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每個學(xué)科各人，且至多有位女生參賽，則不同的參賽方案共有__________種.(用數(shù)字填寫答案)．15．在空間直角坐標(biāo)系中，某個大小為銳角的二面角的兩個半平面的法向量分別為和，則該二面角的大小為________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．16．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，其中實數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若在上無極值點，求的值；(2)若存在，使得是在上的最大或最小值，求的取值范圍.18．（12分）設(shè)正整數(shù),集合，是集合P的3個非空子集,記為所有滿足：的有序集合對（A,B,C）的個數(shù).（1）求；（2）求.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為,且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.20．（12分）已知正項數(shù)列中，且（1）分別計算出的值，然后猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.21．（12分）已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，恒成立.22．（10分）已知函數(shù).⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵如果對于任意的，總成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

設(shè)，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，設(shè)，，則，，設(shè)AC，BD所在的直線方程可得，，由此可得的值．【題目詳解】設(shè)過點F作斜率為的直線方程為：，

聯(lián)立拋物線C：可得：，

設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)為：，，

則，

設(shè)，，

則，同理，

設(shè)AC所在的直線方程為，

聯(lián)立，得，

，同理，，

則．

故選：D．【題目點撥】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查斜率的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．2、A【解題分析】

令，即可求出，由即可求出【題目詳解】令，得，所以，故選A?！绢}目點撥】本題主要考查賦值法的應(yīng)用。3、B【解題分析】

證明與平面所成角為，再利用邊的關(guān)系得到正弦值.【題目詳解】如圖所示：連接與交于點，連接，過點作與平面所成角等于與平面所成角正方體平面平面與平面所成角為設(shè)正方體邊長為1在中故答案選B【題目點撥】本題考查了線面夾角，判斷與平面所成角為是解得的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.4、A【解題分析】

本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【題目詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【題目點撥】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．5、B【解題分析】

先判斷函數(shù)奇偶性，再根據(jù)存在多個零點導(dǎo)致存在多個零點，即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】∵，∴為奇函數(shù)，且存在多個零點導(dǎo)致存在多個零點，故的圖像應(yīng)為含有多個零點的奇函數(shù)圖像.故選B.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于常考題型.6、C【解題分析】

分析：利用賦值法求得，再按復(fù)數(shù)的乘方法則計算．詳解：令，得，，∴．故選C．點睛：在二項式的展開式中，求系數(shù)和問題，一般用賦值法，如各項系數(shù)為，二項式系數(shù)和為，兩者不能混淆．7、B【解題分析】

求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡后求得離心率.【題目詳解】設(shè)，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡得，故，設(shè)焦點坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過點，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【題目點撥】本小題主要考查直線和雙曲線的交點，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.8、C【解題分析】

設(shè)點關(guān)于漸近線的對稱點為點，該漸近線與交點為，由平面幾何的性質(zhì)可得為等邊三角形，設(shè)，則有；又，可得，代入離心率即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)點關(guān)于漸近線的對稱點為點，該漸近線與交點為，所以為線段的中垂線，故，所以為等邊三角形，設(shè)，則有；又，可得，所以離心率.故選:C【題目點撥】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及漸近線和離心率，考查了學(xué)生邏輯推理與運算求解能力.9、B【解題分析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應(yīng)至少有一個是真命題，所以②錯；③正確．考點：1.四種命題；2.命題的否定．10、A【解題分析】分析：先確定小組賽的場數(shù)，再確定淘汰賽的場數(shù)，最后求和.詳解：因為8個小組進(jìn)行單循環(huán)賽，所以小組賽的場數(shù)為因為16個隊按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場數(shù)為因此比賽進(jìn)行的總場數(shù)為48+16=64，選A.點睛：本題考查分類計數(shù)原理，考查基本求解能力.11、D【解題分析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=4012、A【解題分析】

由條件求得、、的值，可得的值，從而可得極坐標(biāo).【題目詳解】∵點的直角坐標(biāo)∴，，∴可取∴直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為故選A.【題目點撥】本題主要考查把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，屬于基礎(chǔ)題．注意運用、、(由所在象限確定).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、21【解題分析】分析：先根據(jù)偽代碼執(zhí)行循環(huán)，直到I<8不成立，結(jié)束循環(huán)輸出S.詳解：執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.14、【解題分析】分析：分只有一個女生和沒有女生兩種情況討論求不同的參賽方案總數(shù).詳解：當(dāng)只有一個女生時，先選一個女生有種選法，再從4個男生里面選2個男生有種方法，再把選出的3個人進(jìn)行排列有種方法，所以有種方法.當(dāng)沒有女生時，直接從4個男生里選3個排列有種方法.所以共有種方法，故答案為：96.點睛:(1)本題主要考查排列組合的綜合，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力分類討論思想方法.(2)排列組合常用方法：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.15、【解題分析】

設(shè)銳二面角的大小為，利用空間向量法求出的值，從而可求出的值.【題目詳解】設(shè)銳二面角的大小為，則，，故答案為.【題目點撥】本題考查利用空間向量法計算二面角，同時也考查了反三角函數(shù)的定義，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】

作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z＝x﹣y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移并觀察z的變化，即可得到z＝x﹣y的最大值．【題目詳解】作出實數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，1），B（3，1），C（1，1）將直線l：z＝x﹣y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點B時，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值；∴z最大值＝1；故答案為1．【題目點撥】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z＝x﹣y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合的導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系可得；(2)結(jié)合的解析式分類討論①或；②兩種情況可得的取值范圍是.試題解析：(1)，∵在上無極值點，∴(2)∵，故①當(dāng)或，即或（舍棄）時，取時適合題意，∴②當(dāng)時，有，∴在上單調(diào)調(diào)增，在上單調(diào)遞減，∴或即或，解得綜上可知18、（1），（2）【解題分析】

（1）通過分析，，分別討論可得到；（2）通過分析A共有種不同情形，集合B共有種不同情形，集合C隨集合B確定而唯一確定，于是可得通項公式.【題目詳解】當(dāng)時，集合，因為是集合P的3個非空子集，根據(jù)題意，所以當(dāng)時，或;當(dāng)時，或;當(dāng)時，或.所以.（2）當(dāng)A中的元素個數(shù)為時，集合A共有種不同情形，集合B共有種不同情形，集合C隨集合B確定而唯一確定，所以.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列，集合，排列組合的綜合運用，意在考查學(xué)生的劃歸能力，分析能力，邏輯推理能力，難度較大.19、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】試題分析：(1)由時，利用，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得，運用裂項相消法求和，化簡整理，然后利用放縮法可證明.試題解析：(1)當(dāng)n=1時,a1=S1=3;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1.當(dāng)n=1時,也符合上式,故an=2n+1.(2)因為==,故Tn==【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.20、（1）；；（2）見解析.【解題分析】

（1）逐個計算計算出的值，再通過觀察可猜。（2）先檢驗n=1滿足，再假設(shè)時（*）式成立，即，下證即可證明?！绢}目詳解】（1）令得化簡得，解得或.令得化簡得，解得或令得化簡得，解得或猜想（*）.①當(dāng)時，，（*）式成立；②假設(shè)時（*）式成立，即，那么當(dāng)時，化簡得所以當(dāng)時，（*）式也成立.綜上：由①②得當(dāng)時，【題目點撥】本題考查歸納-猜想-證明，這一常見思維方式，而與自然數(shù)相關(guān)的結(jié)論證明我們常用數(shù)學(xué)歸納法。21、（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解題分析】

（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為：，令，，利用導(dǎo)數(shù)求得和，可證得，從而證得結(jié)論.【題目詳解】（1），①當(dāng)時，時，；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時，和時，；時，在和上單調(diào)遞增，在