2024屆江蘇省揚州市安宜高中、汜水高中聯考數學高二第二學期期末質量檢測試題含解析

2024屆江蘇省揚州市安宜高中、汜水高中聯考數學高二第二學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．4名同學報名參加兩個課外活動小組，每名同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有()A．4種 B．16種 C．64種 D．256種2．設實數a=log23，b=A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a3．曲線對稱的曲線的極坐標方程是()A． B． C． D．4．在極坐標系中，曲線，曲線，若曲線與交于兩點，則線段的長度為（）A．2 B． C． D．15．下列函數中與函數相同的是（）A． B． C． D．6．如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為（）A．56 B．72 C．64 D．847．若，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．88．曲線在處的切線的斜率為（）A． B． C． D．9．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．10．“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”是以我國哪位數學家命名的數學原理（）A．楊輝 B．劉微 C．祖暅 D．李淳風11．二項式展開式中的常數項為（）A． B．C． D．12．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點到準線的距離為________．14．已知，且，則____．15．在復平面上，復數、分別對應點、，為坐標原點，則______．16．已知函數，其中e是自然數對數的底數，若，則實數a的取值范圍是_________。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）證明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．18．（12分）2017年5月14日，第一屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京舉行，為了解不同年齡的人對“一帶一路”關注程度，某機構隨機抽取了年齡在15-75歲之間的100人進行調查，經統計“青少年”與“中老年”的人數之比為．關注不關注合計青少年15中老年合計5050100（1）根據已知條件完成上面的列聯表，并判斷能否有99%的把握認為關注“一帶一路”是否和年齡段有關？（2）現從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進行問卷調查．在這9人中再選取3人進行面對面詢問，記選取的3人中關注“一帶一路”的人數為X，求X的分布列及數學期望．附:參考公式，其中．臨界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）國家文明城市評審委員會對甲、乙兩個城市是否能入圍“國家文明城市”進行走訪調查，派出10人的調查組，先后到甲、乙兩個城市的街道、社區(qū)進行問卷調查，然后打分（滿分100分），他們給出甲、乙兩個城市分數的莖葉圖如圖所示：（1）請你用統計學的知識分析哪個城市更應該入圍“國家文明城市”，并說明理由；（2）從甲、乙兩個城市的打分中各抽取2個，在已知有大于80分的條件下，求抽到乙城市的分數都小于80分的概率．（參考數據：，）20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點.（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.21．（12分）已知函數.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）當時，求函數的最大值.22．（10分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】根據題意，每個同學可以在兩個課外活動小組中任選1個，即有2種選法，則4名同學一共有種選法；故選B.2、A【解題分析】分析：利用指數函數、對數函數的單調性及中間量比較大小.詳解：∵a=log23＞log22=1，0＜b=1312＜（1c=log132∴a＞b＞c．故選A．點睛：利用指數函數對數函數及冪函數的性質比較實數或式子的大小，一方面要比較兩個實數或式子形式的異同，底數相同，考慮指數函數增減性，指數相同考慮冪函數的增減性，當都不相同時，考慮分析數或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值0,1的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小．3、A【解題分析】

先把兩曲線極坐標方程化為普通方程，求得對稱曲線，再轉化為極坐標方程。【題目詳解】化為標準方程可知曲線為，曲線為，所以對稱直線為，化為極坐標方程為，選A.【題目點撥】由直角坐標與極坐標互換公式，利用這個公式可以實現直角坐標與極坐標的相互轉化。4、B【解題分析】

分別將曲線，的極坐標方程化為普通方程，根據直線與圓相交，利用點到直線的距離公式結合垂徑定理，可得結果【題目詳解】根據題意，曲線曲線，則直線與圓相交，圓的半徑為，圓心到直線的距離為設長為，則有，即解得（舍負）故線段的長度為故選【題目點撥】本題主要考查的是極坐標與直角坐標方程的互化，圓的方程以及直線與圓的位置關系，是一道基礎題5、B【解題分析】

判斷各個選項中的函數和函數是否具有相同的定義域、值域、對應關系，從而得出結論．【題目詳解】由于函數yt，和函數具有相同的定義域、值域、對應關系，故是同一個函數，故B滿足條件．由于函數y和函數的定義域不同，故不是同一個函數，故排除D．由于函數,y|x|和函數的值域不同，故不是同一個函數，故排除A,C．故選：A．【題目點撥】本題主要考查函數的三要素，只有兩個函數的定義域、對應關系、值域都相同時，這兩個函數才是同一個函數，屬于基礎題．6、D【解題分析】分析：每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色和A、C同色兩大類.詳解：分兩種情況：（1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色）：有4×3×2×2=48種；（2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色）：有4×3×1×3=36種．共有84種，故答案為：D.點睛：(1)本題主要考查排列組合的綜合問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用方法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.7、C【解題分析】

利用均值不等式求解即可．【題目詳解】∵（當且僅當n＝3時等號成立）故選：C．【題目點撥】本題主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原則．8、B【解題分析】

因為，所以.故選B.9、B【解題分析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結論．【題目詳解】由題意，若，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現，而，能體現糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【題目點撥】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、C【解題分析】

由題意可得求不規(guī)則幾何體的體積的求法，即運用祖暅原理.【題目詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個幾何體被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果兩個截面面積仍然相等，那么這兩個幾何體的體積相等”，這就是以我國數學家祖暅命名的數學原理，故選：C.【題目點撥】本題考查祖暅原理的理解，考查空間幾何體體積的求法，考查對概念的理解，屬于基礎題.11、B【解題分析】

求出二項展開式的通項，使得的指數為，即可得出常數項.【題目詳解】通項為常數項為故選：B【題目點撥】本題主要考查了利用二項式定理求常數項，屬于基礎題.12、A【解題分析】

根據框圖，模擬計算即可得出結果.【題目詳解】程序執(zhí)行第一次，，，第二次，，第三次，，第四次，，跳出循環(huán)，輸出，故選A.【題目點撥】本題主要考查了程序框圖，循環(huán)結構，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離為.14、【解題分析】

利用復數相等的條件和復數的模運算可以求得.【題目詳解】由復數相等得：解得：故答案為【題目點撥】本題考查復數相等和復數的模，屬于基礎題.15、【解題分析】

由復數、分別對應點,,可得,即可計算.【題目詳解】復數、分別對應點,,可得:,故答案為:.【題目點撥】本題考查復平面和數量積,主要考查復數的幾何意義.掌握復數與復平面內的點一一對應是解本題的關鍵,屬于基礎題.16、【解題分析】因為，所以函數是奇函數，因為，所以數在上單調遞增，又，即，所以，即，解得，故實數的取值范圍為．點睛:解函數不等式時，首先根據函數的性質把不等式轉化為的形式，然后根據函數的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在函數的定義域內．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）.【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，進而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易證OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立坐標系，可得，，的坐標，設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即為所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B，因為CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB，又因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直．以O為坐標原點，的方向為x軸的正向，||為單位長，建立如圖所示的坐標系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），則=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），設=（x，y，z）為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因為直線與法向量的余弦值的絕對值等于直線與平面的正弦值，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：．考點：用空間向量求直線與平面的夾角；直線與平面垂直的性質；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．18、(1)有的把握認為關注“一帶一路”和年齡段有關(2)【解題分析】試題分析：(1)依題意完成列聯表，計算，對照臨界值得出結論；(2)根據分層抽樣法，得出隨機變量的可能取值，計算對應的概率值，寫出的分布列，計算出數學期望值.試題解析：(1)依題意可知,抽取的“青少年”共有人,“中老年”共有人.完成的2×2列聯表如：關注不關注合計青少年153045中老年352055合計5050100則因為，，所以有的把握認為關注“一帶一路”和年齡段有關(2)根據題意知,選出關注的人數為3,不關注的人數為6,在這9人中再選取3人進行面對面詢問,的取值可以為0,1,2,3,則,,,.0123所以的分布列為數學期望19、（1）乙城市，理由見解析；（2）【解題分析】

（1）求出甲已兩個城市的打分平均數及方差，根據大小判斷即可；（2）設事件“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，有大于80分的分數”，事件“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，乙城市的分數都小于80分”，根據條件概率公式求解即可.【題目詳解】（1）甲城市的打分平均數為：，乙城市的打分平均數為：，則甲城市的打分的方差為：乙城市的打分的方差為：甲乙兩城市的打分平均數的平均數相同，但是乙城市打分波動更小，故乙城市更應該入圍“國家文明城市”；（2）由莖葉圖可得，分數在80分以上的甲城市有4個，乙城市有5個．設事件“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，有大于80分的分數”，事件“甲、乙兩個城市的打分中，各抽取2個，乙城市的分數都小于80分”，則，因為，，所以.【題目點撥】本題考核方差，平均數的計算，考查條件概率的求解，是中檔題.20、(1)證明見解析.（2）63【解題分析】試題分析：（1）在直角梯形ABCD中利用勾股定理證明AC⊥BC，而PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）取AB中點F，以C為原點，CF,CD,CP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用平面PAC,EAC的法向量，求解得二面角的余弦值為63試題解析：（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,∴BC=22+(4-2)2=22EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.（2）取AB中點F，如圖所示，以C為原點，CF,CD,CP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,-2,0),P(0,0,4),E(1