2024屆上海中學、復旦附中等八校數(shù)學高二下期末綜合測試試題含解析

2024屆上海中學、復旦附中等八校數(shù)學高二下期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．同時具有性質(zhì)“①最小正周期是”②圖象關(guān)于對稱；③在上是增函數(shù)的一個函數(shù)可以是（）A． B．C． D．2．在平行四邊形中，為線段的中點，若，則（）A． B． C． D．3．甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加某種技術(shù)競賽，決出了第一名到第五名的五個名次，甲、乙去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說：“你當然不會是最差的”.從組織者的回答分析，這五個人的名次排列的不同情形種數(shù)共有（）A． B． C． D．4．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．73155．設(shè)是兩個平面向量，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．過雙曲線的右焦點作圓的切線（切點為），交軸于點.若為線段的中點，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．7．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A． B． C． D．8．復數(shù)z滿足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i9．已知x，y的取值如下表示：若y與x線性相關(guān)，且，則a=（）x0134y2.24.34.86.7A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.910．函數(shù)在上有唯一零點，則的取值范圍為A． B． C． D．11．在5張撲克牌中有3張“紅心”和2張“方塊”，如果不放回地依次抽取2張牌，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為A．625 B．310 C．312．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，其中中有很多對幾何體體積的研究．已知某囤積糧食的容器是由同底等高的一個圓錐和一個圓柱組成,若圓錐的底面積為、高為,則該容器外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數(shù)的虛部是______.14．如圖，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為________15．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，當時，的值域為，則稱為倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是__________（填上所有正確的序號）．①②③④16．如圖，矩形中曲線的方程分別為，，在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）設(shè)是等比數(shù)列的前項和，若，，求．18．（12分）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.19．（12分）如圖,在四棱錐S-ABCD中，平面，底面ABCD為直角梯形，,,且（Ⅰ）求與平面所成角的正弦值.（Ⅱ）若E為SB的中點，在平面內(nèi)存在點N，使得平面，求N到直線AD,SA的距離.20．（12分）（1）求過點P(3,4)且在兩個坐標軸上截距相等的直線l1（2）求過點A(3,2)，且與直線2x-y+1=0垂直的直線l221．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.22．（10分）在一次考試中，某班級50名學生的成績統(tǒng)計如下表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀．分數(shù)697374757778798082838587899395合計人數(shù)24423463344523150經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差．為評判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績?yōu)閄，并根據(jù)以下不等式進行評判：①；②；③．評判規(guī)則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷．（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨機抽出4人進行學習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用所給條件逐條驗證，最小正周期是得出，把②③分別代入選項驗證可得.【題目詳解】把代入A選項可得，符合；把代入B選項可得，符合；把代入C選項可得，不符合，排除C；把代入D選項可得，不符合，排除D；當時，，此時為減函數(shù)；當時，，此時為增函數(shù)；故選B.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).2、B【解題分析】分析：利用向量的平行四邊形法則，向量共線定理即可得出.詳解：，，故選：B.點睛：(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．3、D【解題分析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.詳解：先排乙，有種，再排甲，有種，最后排剩余三人，有種因此共有，選D.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——“間接法”；（5）“在”與“不在”問題——“分類法”.4、D【解題分析】原式等于，故選D.5、A【解題分析】

由，則是成立的；反之，若，而不一定成立，即可得到答案.【題目詳解】由題意是兩個平面向量，若，則是成立的；反之，若，則向量可能是不同的，所以不一定成立，所以是是成立的充分而不必要條件，故選A.【題目點撥】本題主要考查了向量的概念以及向量模的概念的應用，以及充分條件與必要條件的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

在中，為線段的中點，又，得到等腰三角形，利用邊的關(guān)系得到離心率.【題目詳解】在中，為線段的中點，又，則為等腰直角三角形.故答案選B【題目點撥】本題考查了雙曲線的離心率，屬于?？碱}型.7、C【解題分析】

求得拋物線的焦點，雙曲線的漸近線，再由點到直線的距離公式求出結(jié)果.【題目詳解】依題意，拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線為，其中一條為，由點到直線的距離公式得.故選C.【題目點撥】本小題主要考查拋物線的焦點坐標，考查雙曲線的漸近線方程，考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【題目詳解】z=2i1-i=2i(1+i)【題目點撥】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．9、B【解題分析】

求出，代入回歸方程可求得．【題目詳解】由題意，，所以，．故選：B.【題目點撥】本題考查回歸直線方程，掌握回歸直線方程的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．回歸直線一定過中心點．10、C【解題分析】分析：函數(shù)有唯一零點，則即可詳解：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且在上有唯一零點，故，解得故選點睛：函數(shù)為一次函數(shù)其單調(diào)性一致，不用分類討論，為滿足有唯一零點列出關(guān)于參量的不等式即可求解。11、D【解題分析】

因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”時，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，根據(jù)隨機事件的概率計算公式，即可計算第二次抽到“紅心”的概率．【題目詳解】因為是不放回抽樣，故在第一次抽到“紅心”的條件下，剩下的4張撲克中有2張“紅心”和2張“方塊”，第二次抽取時，所有的基本事件有4個，符合“抽到紅心”的基本事件有2個，則在第一次抽到“紅心”的條件下，第二次抽到“紅心”的概率為12故答案選D【題目點撥】本題給出無放回抽樣模型，著重考查抽樣方法的理解和隨機事件的概率等知識，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解題分析】

首先求出外接球的半徑，進一步利用球的表面積公式的應用求出結(jié)果【題目詳解】根據(jù)已知條件，圓錐的底面積為8π，所以π?r2＝8π，解得圓錐的底面半徑為，由題外接球球心是圓柱上下底面中心連線的中點，設(shè)外接球半徑為R,則，解得所以表面積．故選C．【題目點撥】本題考查的知識要點：組合體的外接球的半徑的求法及應用，球的表面積公式的應用，主要考察學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用錯位相消法可以化簡式子,最后求出它的虛部.【題目詳解】令,,得,,.故答案為：【題目點撥】本題考查了錯位相消法,考查了等比數(shù)列的前項和公式,考查了乘方運算的性質(zhì),考查了數(shù)學運算能力.14、【解題分析】如圖所示，以長方體的頂點為坐標原點，過的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為的坐標為，所以,所以.15、①②④【解題分析】分析：為倍值函數(shù)等價于，的圖象與有兩個交點，且在上遞增，由此逐一判斷所給函數(shù)是否符合題意即可.詳解：為倍值函數(shù)等價于，的圖象與有兩個交點，且在上遞增：對于①，與，有兩個交點，在上遞增，值域為，①符合題意.對于②，與，有兩個交點，在上遞增，值域為，②符合題意.對于③，與，沒有交點，不存在，，值域為，③不合題意.對于④，與兩個交點，在上遞增，值域為，④合題意，故答案為①②④.點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、新定義問題及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.16、【解題分析】

運用定積分可以求出陰影部分的面積，再利用幾何概型公式求出在矩形內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率.【題目詳解】解:陰影部分的面積為，故所求概率為【題目點撥】本題考查了幾何概型，正確運用定積分求陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I)；(Ⅱ)，或【解題分析】

（I）由，可計算出首項和公差，進而求得通項公式．（Ⅱ）由，并結(jié)合（1）可計算出首項和公比，代入等比數(shù)列的求和公式可求得.【題目詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵．∴，，解得，，∴．(Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，聯(lián)立解得，，∴，或．【題目點撥】本題考查數(shù)列的基本公式．等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和公式.18、（1）3；（2）見解析.【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用斜率求出實數(shù)的值即可；（2）求出函數(shù)的定義域以及導數(shù)，在定義域下，討論大于0、等于0、小于0情況下導數(shù)的正負，即可得到函數(shù)的單調(diào)性?！绢}目詳解】（1）因為，所以，即切線的斜率，又切線與直線平行，所以，即；（2）由（1）得

，的定義域為，若，則，此時函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則，此時函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則

當即時，，當即時，，此時函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)．綜上所述：當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當時，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù).【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分類討論的思想，屬于中檔題。19、（Ⅰ）；（Ⅱ）N到直線AD,SA的距離分別為1,1.【解題分析】

（Ⅰ）以點A為原點，以AD所在方向為x軸，以AS所在方向為z軸，以AB所在方向為y軸，建立空間直角坐標系，利用向量方法求與平面所成角的正弦值；（Ⅱ））設(shè)，再根據(jù)已知求出x,z,再求出N到直線AD,SA的距離.【題目詳解】解：（I）以點A為原點，以AD所在方向為x軸，以AS所在方向為z軸，以AB所在方向為y軸，建立空間直角坐標系，D(1,0,0),S(0,0,2),,,,設(shè)平面的一個法向量為則由設(shè)與平面所成角為，則.（II）設(shè),S(0,0,2),B(0,2,0),E(0,1,1),由故N到直線AD,SA的距離分別為1,1.【題目點撥】本題主要考查線面角的求法，考查點到直線距離的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1）4x-3y=0或x+y-7=0（2）x+2y-7=0【解題分析】

（1）需分直線過原點，和不過原點兩種情況，過原點設(shè)直線l1:y=kx，不過原點時，設(shè)直線l2:xa+y【題目詳解】解：（1）當直線過原點時，直線方程為：4x-3y=0；當直線不過原點時，設(shè)直線方程為x+y=a，把點P3,4代入直線方程，解得a=7所以直線方程為x+y-7=0．（2）設(shè)與直線l：2x-y+1=0垂直的直線l1的方程