彈性力學(xué)大作業(yè)計(jì)算報(bào)告

彈性力學(xué)大作業(yè)報(bào)告書(shū)學(xué)生姓名：指導(dǎo)老師：所屬單位：專(zhuān)題調(diào)研或社會(huì)調(diào)查課題名稱(chēng)：求固支無(wú)肋板與加肋板最低階自然頻率山東大學(xué)二○一二年五月求夾支圓板最低自然頻率分析報(bào)告摘要：通過(guò)能量法和Ansys軟件來(lái)求一周邊夾支圓板的最小自然頻率，將這兩種方法所得結(jié)果與精確解比照，觀察誤差情況。隨后對(duì)圓板加肋，同樣用能量法和Ansys軟件分析此種情況下的最小自然頻率。通過(guò)這種計(jì)算，熟悉彈性力學(xué)的解題步驟，熟悉matlab和Ansys的功能。關(guān)鍵詞：能量法，Ansys1.問(wèn)題描述設(shè)有圓形薄板，半徑為a，邊界夾支，如圖1所示，作軸對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)。求最低階自然頻率。沿直徑方向加筋，求最低階自然頻率。圖1：半徑為a的夾支圓形薄板2.能量法求圓板的近似解2.1求解無(wú)肋板的最低階自然頻率2.1.1建立坐標(biāo)系與模型該問(wèn)題為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，如果選取極坐標(biāo)ρ，ψ，因軸對(duì)稱(chēng)那么振形函數(shù)及其他各項(xiàng)表達(dá)式將只與r有關(guān)。可以簡(jiǎn)化計(jì)算。所以建立模型如下：圖2：半徑為a的夾支無(wú)肋板模型2.1.2邊界條件位移邊界條件：軸對(duì)稱(chēng)條件：力邊界條件沒(méi)有振形函數(shù)設(shè)振型型函數(shù)為顯然滿足邊界條件。2.1.4代入方程求解由里茨的理論取其中是滿足邊界條件的設(shè)定函數(shù)，是互不依賴的待定系數(shù)。取得有要想求得最低階自然頻率，需要滿足方程那么需要求求最大勢(shì)能與動(dòng)能的偏微分先對(duì)求偏導(dǎo)同理可得由此可以得到一般性公式：代入式：可得其中假設(shè)，解得即可得到2.1.5Matlab編程及求解用MATlab進(jìn)行編程。然后從對(duì)n從1開(kāi)始取數(shù)，運(yùn)行程序，得出結(jié)果如下：表一無(wú)肋板陣型函數(shù)n取不同值時(shí)的〔rad/s〕n的取值最低階的頻率精確解誤差110.328010.221.056%210.217010.220.029%310.215810.220.041%410.215810.220.041%510.215810.220.041%2.2求解加肋板的最低階自然頻率建立坐標(biāo)系沿直徑方向加筋，該問(wèn)題仍然為為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，取極坐標(biāo)ρ，ψ，振形函數(shù)及各表達(dá)式將只與r有關(guān)。可以簡(jiǎn)化計(jì)算。建立模型如下：圖3：半徑為a的夾支加肋板模型2.2.2邊界條件梁和板具有相同的邊界條件，所以有位移邊界條件：軸對(duì)稱(chēng)條件：力邊界條件沒(méi)有振形函數(shù)設(shè)梁和板的振型函數(shù)都為顯然滿足邊界條件。2.2.4代入方程同無(wú)肋板要求一樣，按無(wú)肋板的步驟，我們可以得到最大動(dòng)能和最大勢(shì)能變?yōu)椋鹤罱K推出一般形式由得：又因?yàn)?，只需求出即?.2.5Matlab編程及求解求解：對(duì)n從1開(kāi)始取數(shù)，運(yùn)行該程序，得出結(jié)果如下：表二加肋板陣型函數(shù)n取不同值時(shí)的〔rad/s〕n的取值最低階的19.520329.398439.395349.395159.395069.3950至此，用能量法求解就結(jié)束了Ansys建模求解3.1求解無(wú)肋板最低階自然頻率3.1.1建模利用shell63號(hào)單元建模，將圓的周邊全部約束住，模擬出固支的情景，隨后用模態(tài)處理得到其最低自然頻率，我們給出參數(shù)如下：模型如下:圖4無(wú)肋板Ansys模型計(jì)算結(jié)果表三Ansys求解結(jié)果第一次劃分網(wǎng)格第一次細(xì)化網(wǎng)格第二次細(xì)化網(wǎng)格第三次細(xì)化網(wǎng)格最低階自然頻率248.91249.08249.13249.14隨著網(wǎng)格的細(xì)化，最低階自然頻率趨向于一個(gè)定值。大約為249.143.2加肋板的最低階自然頻率3.2.1建模利用shell63號(hào)單元建板模型，將圓的周邊全部約束住，模擬出固支的情景，用Beam3建梁模型，在求解過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，如果不將線和面進(jìn)行處理的話，得到的最低階自然頻率是不準(zhǔn)備的，因?yàn)榱汉桶逯g相當(dāng)于沒(méi)有影響。為了模擬真實(shí)場(chǎng)景，我們需要用到NumberiingCtrls>>MergeItems命令，將線和面進(jìn)行耦合。隨后用模態(tài)處理即可得到其最低自然頻率。我們給出參數(shù)如下：模型如下：圖5加肋板Ansys模型計(jì)算結(jié)果表四Ansys求解結(jié)果第一次劃分網(wǎng)格第一次細(xì)化網(wǎng)格第二次細(xì)化網(wǎng)格第三次細(xì)化網(wǎng)格最低階自然頻率228.69228.84228.88228.89同樣，隨著網(wǎng)格的細(xì)化，最低階自然頻率趨向于一個(gè)定值228.894.結(jié)果分析4.1無(wú)肋板結(jié)果分析表五無(wú)肋板求解結(jié)果分析精確解能量法近似解Ansys解最低階自然頻率249.246249.148249.14與精確解誤差00.039%0.043%由以上求解可知，能量法得到最低階自然頻率為，而精確解答為，所求解非常接近精確解，其誤差僅有0.04%左右。因此所取振型函數(shù)求解四邊夾支的圓板最低階自然頻率非常理想，可以得到滿意的解答。而Ansys的結(jié)果同樣很令人滿意，隨著網(wǎng)格的細(xì)分，Ansys的解逐步趨近于精確解，雖然最后并沒(méi)有收斂于精確解，但是其誤差也是很小的，能夠在工程實(shí)際上運(yùn)用。4.2加肋板結(jié)果分析表六加肋板求解結(jié)果分析能量法近似解Ansys解誤差最低階自然頻率229.126228.890.103%由于沒(méi)有精確解，所以只能將能量法近似解和Ansys解進(jìn)行橫向比擬，我們不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)解是趨于一致的，所以我們