云南農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

云南農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則這個單位安排夜晚值班的方案共有（）A．960種 B．984種 C．1080種 D．1440種2．已知x,y的取值如下表，從散點圖知，x,y線性相關(guān)，且y=0.6x+a，則下列說法正確的是（x1234y1.41.82.43.2A．回歸直線一定過點(2.2,2.2)B．x每增加1個單位，y就增加1個單位C．當(dāng)x=5時，y的預(yù)報值為3.7D．x每增加1個單位，y就增加0.7個單位3．由曲線和直線，，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為()．A． B． C． D．4．設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．35．的值為（）A．0 B．2 C．－1 D．16．已知隨機變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)y=ln(1-x)的定義域為,則A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)8．已知扇形的圓心角為弧度，半徑為，則扇形的面積是（）A． B． C． D．9．若6名男生和9名女生身高（單位：）的莖葉圖如圖，則男生平均身高與女生身高的中位數(shù)分別為()A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，16810．的展開式中第5項的二項式系數(shù)是（）A． B． C． D．11．下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．12．已知命題是命題“若，則”的否命題；命題：若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，點在線段上，若，則________.14．某中學(xué)開設(shè)A類選修課4門，B類選修課5門，C類選修課2門，每位同學(xué)從中共選4門課，若每類課程至少選一門，則不同的選法共有_______種.15．棱長為1的正方體的8個頂點都在球面O的表面上，E、F分別是棱、的中點，則直線EF被球O截得的線段長為________16．若隨機變量，已知，則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積的最大值．18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）令，求數(shù)列的前項和．19．（12分）觀察以下等式：13＝1213+23＝（1+2）213+23+33＝（1+2+3）213+23+33+43＝（1+2+3+4）2（1）請用含n的等式歸納猜想出一般性結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝n3+n，求S1．20．（12分）某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個“平行班”，每班50人．陳老師采用A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個班級進行教改實驗．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，作出莖葉圖如圖．記成績不低于90分者為“成績優(yōu)秀”．（1）在乙班樣本的20個個體中，從不低于86分的成績中隨機抽取2個，求抽出的2個均“成績優(yōu)秀”的概率；（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為：“成績優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．0.4000.2500.1500.1000.0500.0250.7081.3232.0722.7063.8415.024參考公式：21．（12分）已知，不等式的解集為.（1）求；（2）當(dāng)時，證明：.22．（10分）設(shè)復(fù)數(shù)（其中），．（Ⅰ）若是實數(shù)，求的值；（Ⅱ）若是純虛數(shù)，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分五類：（1）甲乙都不選：；（2）選甲不選乙：；（3）選乙不選甲：；（4）甲乙都選：；故由加法計數(shù)原理可得，共種，應(yīng)選答案A。點睛：解答本題的關(guān)鍵是深刻充分理解題意，靈活運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理。求解依據(jù)題設(shè)條件將問題分為四類，然后運用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理兩個基本原理求出問題的答案，使得問題獲解。2、C【解題分析】

由已知求得樣本點的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程即可求得a值，進一步求得線性回歸方程，然后逐一分析四個選項即可得答案．【題目詳解】解：由已知得，x=1+2+3+44=2.5，由回歸直線方程y^=0.6x+a^恒過樣本中心點（2.5，2.2），得2.2=0.6×2.5+∴回歸直線方程為y?x每增加1個單位，y就增加1個單位，故B錯誤；當(dāng)x＝5時，y的預(yù)測值為3.1，故C正確；x每增加1個單位，y就增加0.6個單位，故D錯誤．∴正確的是C．故選C．【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程，解題關(guān)鍵是性質(zhì)：線性回歸直線一定過點(x3、C【解題分析】

利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最小值，可得出結(jié)果．【題目詳解】設(shè)陰影部分區(qū)域的面積為，則，，其中，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區(qū)域面積的最小值為，故選C．【題目點撥】本題考查利用定積分計算曲邊多邊形的面積，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時，要確定被積函數(shù)和被積區(qū)間，結(jié)合定積分公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題．4、D【解題分析】D試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案選D．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．5、D【解題分析】分析：求二項展開式系數(shù)和一般方法為賦值法，即分別令x=1與x=-1得，最后相乘得結(jié)果.詳解：令，則，令，則，因此，選D.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.6、C【解題分析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.7、D【解題分析】由得，由得，故，選D.【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進行處理.8、D【解題分析】

利用扇形面積公式（為扇形的圓心角的弧度數(shù)，為扇形的半徑），可計算出扇形的面積.【題目詳解】由題意可知，扇形的面積為，故選D.【題目點撥】本題考查扇形面積的計算，意在考查扇形公式的理解與應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【題目詳解】6名男生的平均身高為,9名女生的身高按由低到高的順序排列為162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位數(shù)為168.故選:C.【題目點撥】本題考查由莖葉圖求平均數(shù)和中位數(shù),難度容易.10、D【解題分析】試題分析：由二項展開式的通項公式得，第5項的二項式系數(shù)為.考點：二項式定理.11、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【題目詳解】對于A選項，由于定義域不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù).對于B選項，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，故B選項正確.對于C選項，函數(shù)圖像沒有對稱性，故為非奇非偶函數(shù).對于D選項，在上有增有減.綜上所述，本小題選B.【題目點撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】分析：先判斷命題p，q的真假，再判斷選項的真假.詳解：由題得命題p:若a>b,則，是假命題.因為是實數(shù)，所以所以命題q是假命題，故是真命題.故答案為D.點睛：（1）本題主要考查四個命題和復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)合命題的真假，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)復(fù)合命題的真假判斷口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，由于題目中給出了較多的邊和角，根據(jù)題目列出對應(yīng)的正余弦定理的關(guān)系式，能較快解出BD的長度.【題目詳解】根據(jù)題意，以點A為原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。過點B作垂直AC交AC于點E，則,又因為在中，,所以,,故.【題目點撥】本題主要考查學(xué)生對于正余弦定理的掌握，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下的問題是解決本題的關(guān)鍵.14、160【解題分析】

每位同學(xué)共選4門課，每類課程至少選一門，則必有某類課程選2門，另外兩類課程各選1門，對選2門的這類課程進行分類，可能是A類，可能是B類，可能是C類.【題目詳解】（1）當(dāng)選2門的為A類，N1（2）當(dāng)選2門的為B類，N2（3）當(dāng)選2門的為C類，N3∴選法共有N1【題目點撥】分類與分步計數(shù)原理，要確定好分類與分步的標(biāo)準(zhǔn)，本題對選2門課程的課程類進行分類，再對每一類情況分3步考慮.15、.【解題分析】分析：詳解：正方體的外接球球心為O，半徑為，假設(shè)2和線段EF相較于HG兩點，連接OG，取GH的中點為D連接OD，則ODG為直角三角形，OD=，根據(jù)勾股定理得到故GH=.故答案為.點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.16、0.363【解題分析】

根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，根據(jù)曲線的對稱性，得到的值，即可求解.【題目詳解】由題意，隨機變量服從正態(tài)分布，所以圖象關(guān)于對稱，因為，根據(jù)曲線的對稱性，可得.【題目點撥】本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用正態(tài)分布曲線的對稱性，合理計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用正弦定理將邊化角和誘導(dǎo)公式可化簡邊角關(guān)系式，求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理得到，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式即可求得面積的最大值.【題目詳解】（1）由正弦定理可得：即：，即（2）由余弦定理可知：又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）即的最大值為：【題目點撥】本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到利用正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理的應(yīng)用、三角形面積最值的求解等知識；化簡邊角關(guān)系式的關(guān)鍵是能夠根據(jù)邊齊次的特點，利用正弦定理將邊角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為三角恒等變換的化簡問題.18、（1），，，，，見解析；（2）【解題分析】

（1）計算，，，猜想可得，然后依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）得，然后利用裂項相消法，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時，，即，解得當(dāng)時，，即，解得當(dāng)時，，即，解得猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，猜想成立假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，，則當(dāng)時，，，，所以猜想成立．綜上所述，對于任意，均成立．（2）由（1）得則數(shù)列的前項和【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明方法以及裂項相消法求和，熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟，同時對常用的求和方法要熟悉，屬基礎(chǔ)題.19、（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明見解析（2）2【解題分析】

（1）根據(jù)式子猜想出一般性結(jié)論，然后當(dāng)時，證明成立，假設(shè)時，式子也成立，然后對時的式子進行化簡，從而證明結(jié)論成立；（2）對進行分組求和，然后根據(jù)（1）中所得到的求和公式，進行求和計算，得到答案.【題目詳解】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；證明：當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；假設(shè)n＝k時，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2，當(dāng)n＝k+1時，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3，可得n＝k+1時，猜想也成立，綜上可得對任意的正整數(shù)n，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；（2）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an＝n3+n，S1＝（13+23+…+13）+（1+2+3+…+1）＝（1+2+…+1）2＝552+55＝2．【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，數(shù)列分組求和，屬于中檔題.20、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）不低于86的成績有6個，可用列舉法列出任取2個的所有事件，計算出概率．（2）由莖葉圖中數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，再根據(jù)計算公式計算出得知結(jié)論．詳解：(1)由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從不低于86分的成績中隨機抽取兩個包含的基本事件是：(86,91),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(91,96)，(91,97),(91,99),(91,99),(96,97),(96,99),(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15種結(jié)果,符合條件的事件數(shù)(91,96)，(91,97)，(91,99)，(91,99)，(96