2024屆云南省師范大學附屬中學高二數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2024屆云南省師范大學附屬中學高二數學第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的倍，則（）A． B． C． D．2．定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”，若函數，，的“新駐點”分別為，則的大小關系為（）A． B． C． D．3．如圖是函數的導函數的圖象，則下面說法正確的是()A．在上是增函數B．在上是減函數C．當時，取極大值D．當時，取極大值4．直線l在平面上，直線m平行于平面，并與直線l異面.動點P在平面上，且到直線l、m的距離相等.則點P的軌跡為（）.A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線5．在的展開式中，含項的系數為（）A．10 B．15 C．20 D．256．設，是兩個不重合的平面，，是空間兩條不重合的直線，下列命題不正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．若，則為（）A．－233 B．10 C．20 D．2338．甲、乙、丙、丁四位同學各自對、兩變量的線性相關性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關系數與殘差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)、兩變量有更強的線性相關性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．函數f(x)與它的導函數f'(x)的大致圖象如圖所示，設g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．310．已知集合，，全集，則等于（）A． B． C． D．11．已知，，，則下列說法正確是（）A． B．C．與的夾角為 D．12．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量滿足：，，當取最大值時，______．14．首屆中國國際進口博覽會在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有_____種（結果用數值表示）15．若的展開式中，常數項為5670，則展開式中各項系數的和為____．16．甲、乙兩地都位于北緯45°，它們的經度相差90°，設地球半徑為，則甲、乙兩地的球面距離為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）(本小題滿分12分)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數為隨機變量，求的概率分布列及數學期望。18．（12分）已知函數的最小值為M.（1）求M；（2）若正實數，，滿足，求：的最小值.19．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：恒為定值.20．（12分）已知拋物線的焦點為，圓與軸的一個交點為，圓的圓心為，為等邊三角形.（1）求拋物線的方程（2）設圓與拋物線交于、兩點，點為拋物線上介于、兩點之間的一點，設拋物線在點處的切線與圓交于、兩點，在圓上是否存在點，使得直線、均為拋物線的切線，若存在求點坐標（用、表示）；若不存在，請說明理由.21．（12分）統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關于行駛速度(千米/小時)的函數為．（1）當千米/小時時,行駛千米耗油量多少升？（2）若油箱有升油,則該型號汽車最多行駛多少千米？22．（10分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，.（1）求直線與平面所成的角的大??；（2）求四棱錐的側面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用拋物線的定義列等式可求出的值.【題目詳解】拋物線的準線方程為，由拋物線的定義知，拋物線上一點到焦點的距離為，，解得，故選：D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義，在求解拋物線上的點到焦點的距離，通常將其轉化為該點到拋物線準線的距離求解，考查運算求解能力，屬于中等題.2、A【解題分析】分析：分別對g（x），h（x），φ（x）求導，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），則它們的根分別為α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分別討論β、γ的取值范圍即可．詳解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由題意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，當β≥1時，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，這與β≥1矛盾，∴﹣1＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0時等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故選A．點睛：函數、導數、不等式密不可分，此題就是一個典型的代表，其中對對數方程和三次方程根的范圍的討論是一個難點．兩個式子比較大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性質得到大小關系，有時可以代入一些特殊的數據得到具體值，進而得到大小關系.3、D【解題分析】分析：先由圖象得出函數的單調性，再利用函數的單調性與導數的關系即可得出.詳解：由圖象可知上恒有，在上恒有，在上單調遞增，在上單調遞減則當時，取極大值故選：D.點睛：熟練掌握函數的單調性、極值與導數的關系是解題的關鍵，是一道基礎題.4、D【解題分析】

設m在平面上的投影，與直線l交于點O.在平面上，以O為原點、直線l為y軸建立直角坐標系.則設的方程為.又設點P（x，y）.則點P到直線l的距離，點P到直線的距離為.從而，點P到直線m的距離平方等于，其中，a為直線m到平面的距離.因此，點P的軌跡方程為，即為雙曲線.5、B【解題分析】分析：利用二項展開式的通項公式求出的第項，令的指數為2求出展開式中的系數．然后求解即可．詳解：6展開式中通項

令可得，，

∴展開式中x2項的系數為1，

在的展開式中，含項的系數為：1．

故選：B．點睛：本題考查二項展開式的通項的簡單直接應用．牢記公式是基礎，計算準確是關鍵．6、D【解題分析】

選項逐一分析，得到正確答案.【題目詳解】A.正確，垂直于同一條直線的兩個平面平行；B.正確，垂直于同一個平面的兩條直線平行；C.正確，因為平面內存在直線，使，若，則，則；D.不正確，有可能.故選D.【題目點撥】本題重點考查了平行和垂直的概念辨析問題，屬于簡單題型.7、A【解題分析】

對等式兩邊進行求導，當x＝1時，求出a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得出答案．【題目詳解】對等式兩邊進行求導，得：2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；又a0＝（﹣3）5＝﹣243，∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣1．故選A．【題目點撥】本題考查了二項式定理與導數的綜合應用問題，考查了賦值法求解二項展開式的系數和的方法，利用導數得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解題的關鍵．8、D【解題分析】試題分析：由題表格；相關系數越大，則相關性越強．而殘差越大，則相關性越?。傻眉?、乙、丙、丁四位同學，中丁的線性相關性最強．考點：線性相關關系的判斷．9、B【解題分析】

結合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【題目詳解】由圖象可知，y軸左側上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對g(x)求導，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和【題目點撥】本題考查了函數的單調性問題，考查了數形結合的數學思想，考查了導數的應用，屬于中檔題.10、D【解題分析】

先解出集合、，再利用補集和交集的定義可得出.【題目詳解】因為，即或，所以，則，應選答案D.【題目點撥】本題考查集合的交集和補集的運算，同時也涉及了二次不等式與對數不等式的解法，考查運算求解能力，屬于中等題.11、D【解題分析】

根據向量運算和向量夾角公式，向量模依次判斷每個選項得到答案.【題目詳解】，故，故錯誤；，故錯誤；，故，故，錯誤；，故，正確.故選：.【題目點撥】本題考查了向量數量積，向量夾角，向量模，意在考查學生的計算能力.12、B【解題分析】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據向量模的性質可知當與反向時，取最大值，根據模長的比例關系可得，整理可求得結果.【題目詳解】當且僅當與反向時取等號又整理得：本題正確結果：【題目點撥】本題考查向量模長的運算性質，關鍵是能夠確定模長取得最大值時，兩個向量之間的關系，從而得到兩個向量之間的關系.14、24【解題分析】

首先安排甲，可知連續(xù)天的情況共有種，其余的人全排列，相乘得到結果.【題目詳解】在天里，連續(xù)天的情況，一共有種剩下的人全排列：故一共有：種【題目點撥】本題考查基礎的排列組合問題，解題的關鍵在于對排列組合問題中的特殊元素，要優(yōu)先考慮，然后再考慮普通元素.15、256【解題分析】

根據二項式展開式的通項公式求得，再用賦值法求出各項系數的和.【題目詳解】由二項式的展開式的通項公式得，則所以所以所以再令得展開式中各項系數的和故答案為【題目點撥】本題考查二項式展開式中的特定項和各項系數和，屬于中檔題.16、【解題分析】

根據兩地的經度差得兩地緯度小圓上的弦長，再在這兩地與球心構成的三角形中運用余弦定理求出球心角，利用弧長公式求解.【題目詳解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙兩地的球面距離為.故得解.【題目點撥】本題考查兩點的球面距離，關鍵在于運用余弦定理求出球心角，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）E=0.【解題分析】（1）設：“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1-P（C）=1-P=，解得P=………………4分（2）由題意，P（=0）=[來源:Z+xx+k.Com]P（=1）=P（=2）=P（=3）=所以，隨機變量的概率分布列為：0123 P故隨機變量X的數學期望為：E=0……12分.[點評]本小題主要考查相互獨立事件，獨立重復試驗、互斥事件、隨機變量的分布列、數學期望等概念及相關計算，考查運用概率知識與方法解決實際問題的能力.18、（1）（2）3.【解題分析】

將絕對值函數寫成分段函數形式，分別求出各段的最小值，最小的即為函數的最小值。由（1）知，直接利用公式：平方平均數算數平均數，即可解出最小值。【題目詳解】（1）如圖所示∴(2)由（1）知∴∴∴∴當且僅當，是值最小∴的最小值為3.【題目點撥】本題考查絕對值函數及平方平均數與算數平均數的大小關系，屬于基礎題.19、（Ⅰ）.（Ⅱ）為定值.證明見解析．【解題分析】本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系的運用的綜合考查，體現(xiàn)了運用代數的方法解決解析幾何的本質的運用．（1）首先根據題意的幾何性質來表示得到關于a,b,c的關系式，從而得到其橢圓的方程．（2設出直線方程，設點P的坐標，點斜式得到AP的方程，然后聯(lián)立方程組，可知借助于韋達定理表示出長度，進而證明為定值．（Ⅰ）解：由題意可知，，，解得.…………4分所以橢圓的方程為.…………5分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設，依題意，于是直線的方程為，令，則.即.…………7分又直線的方程為，令，則，即.…………9分…………11分又在上，所以,即，代入上式，得,所以為定值.…………12分20、（1）；（2）存在圓上一點滿足、均為為拋物線的切線，詳見解析.【解題分析】

（1）將圓的方程表示為標準方程，得出其圓心的坐標，求出點的坐標，求出拋物線的焦點的坐標，然后由為等邊三角形得出為圓的半徑可求出的值，進而求出拋物線的方程；（2）設、，設切線、的方程分別為和，并寫出拋物線在點的切線方程，設，并設過點的直線與拋物線相切，利用可求出、的表達式，從而可用表示直線、，然后求出點的坐標，檢驗點的坐標滿足圓的方程，即可得出點的存在性，并得出點的坐標.【題目詳解】（1）圓的標準方程為，則點，拋物線的焦點為，為等邊三角形，則，即，解得，因此，拋物線；（2）設、.過點、作拋物線的兩條切線（異于直線）交于點，并設切線，，由替換法則，拋物線在點處的切線方程為，即，記，①設過點的直線與拋物線相切，代入拋物線方程，得，，即，，，由①可得，，，②，同理可得，，切線，，聯(lián)立兩式消去可得，，③代入可得，代入②有，，聯(lián)立與圓可得，，，分別代入③、④可得，，，即切線、的交點在圓上，故存在圓上一點，滿足、均為拋物線的切線.【題目點撥】本題考查拋物線方程的求解，同時也考查了直線與拋物線的位置關系，拋物線的切線方程，同時也考查了韋達定理，解題的關鍵就是直線與拋物線相切，得出切線斜率