2024屆廣西賀州市平桂高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆廣西賀州市平桂高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，若與垂直，則（）A．-1 B．1 C．土1 D．02．在等比數(shù)列中，已知，則的值為（）A． B． C． D．3．已知，且，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣24．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．5．設(shè)，則（）A． B．10 C． D．1006．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．7．若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．08．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是()A．是周期函數(shù)，周期為 B．關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．在上是單調(diào)遞減的 D．在上最大值為9．設(shè),若,則()A．-1 B．0 C．1 D．25610．設(shè)隨機(jī)變量，，則（）A． B． C． D．11．方程表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是（）A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜312．從名學(xué)生志愿者中選擇名學(xué)生參加活動(dòng)，若采用下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取人，則在人中，每人入選的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為 D．都相等，且為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的取值范圍是__________；14．已知向量.若與共線，則在方向上的投影為_(kāi)_____________.15．已知函數(shù)為的極值點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_______.16．直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，是的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線和所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）18．（12分）已知函數(shù).（1）畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，并寫(xiě)出的值域；（2）若關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和，滿(mǎn)足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足：，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.20．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)，求的最小值.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且（）．（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。22．（10分）已知函數(shù)關(guān)系式：的部分圖象如圖所示：（1）求，，的值；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：首先根據(jù)題中所給的向量垂直的條件，得到向量數(shù)量積等于零，從而得到，之后利用相應(yīng)的公式得到所滿(mǎn)足的條件，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)與垂直，可得，即，所以有，解得，故選C.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有用向量的數(shù)量積等于零來(lái)體現(xiàn)向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相應(yīng)的等量關(guān)系式求得結(jié)果.2、D【解題分析】

根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列得到公比，再由數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，故得到進(jìn)而得到，則故答案為：D.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)的求法，是簡(jiǎn)單題.3、B【解題分析】

根據(jù)，可得，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，，且，則，解得或，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了共線向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用，其中解答中熟記共線向量的概念以及坐標(biāo)表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

利用直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義離心率計(jì)算公式即可得出．【題目詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關(guān)系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).5、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)為的形式，然后求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得.【題目詳解】，，.故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的平方和模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】分析：利用乘法分步計(jì)數(shù)原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點(diǎn)睛：(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿(mǎn)足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．7、C【解題分析】

由f（x）為偶函數(shù)，得，化簡(jiǎn)成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對(duì)恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【題目詳解】若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對(duì)恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查偶函數(shù)的定義，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，平方差公式，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】分析：利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判定，即可得到答案．詳解：令，對(duì)于A中，因?yàn)楹瘮?shù)不是周期函數(shù)，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又，所以，所以的圖象不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以是錯(cuò)誤的；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以是正確的；對(duì)于D中，時(shí)，，所以是錯(cuò)誤的，綜上可知，正確的為選項(xiàng)C，故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性、單調(diào)性及其函數(shù)的最值問(wèn)題，其中熟記正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理運(yùn)算是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，著重考查了綜合分析與應(yīng)用能力，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定難度，屬于中檔試題．9、B【解題分析】分析：先求定積分，再求詳解：，故設(shè)1-2x，所以，，故選B點(diǎn)睛：求復(fù)合函數(shù)的定積分要注意系數(shù)能夠還原，二項(xiàng)式定理求系數(shù)和的問(wèn)題，采用賦值法。10、A【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求得答案.【題目詳解】由于，故，則，故答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布的概率計(jì)算，難度不大.11、A【解題分析】由題意知，，則C，D均不正確，而B(niǎo)為充要條件，不合題意，故選A.12、D【解題分析】

根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與系統(tǒng)抽樣方法的定義，結(jié)合概率的意義，即可判斷出每個(gè)人入選的概率.【題目詳解】在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，則要先剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再分組，在剔除過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被剔除的概率相等，所以，每個(gè)個(gè)體被抽到包括兩個(gè)過(guò)程，一是不被剔除，二是選中，這兩個(gè)過(guò)程是相互獨(dú)立的，因此，每個(gè)人入選的概率為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用，也考查了概率的意義，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】

令，，可將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域可求得結(jié)果.【題目詳解】可令，本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三角換元的方式求解取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域的求解.14、【解題分析】

先根據(jù)與共線求出的值，再利用向量的投影公式求在方向上的投影.【題目詳解】∵∴.又∵與共線，∴，∴，∴，∴在方向上的投影為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量共線的坐標(biāo)表示和向量的投影的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

首先利用為的極值點(diǎn)求出參數(shù)，然后利用符號(hào)法則解分式不等式即可?！绢}目詳解】，由題意，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為的極值點(diǎn).所以.或，的解集為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及分式不等式的解法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。16、【解題分析】

由，將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)?！绢}目詳解】，，又因?yàn)槲挥诘谌笙耷?，所以，所以極坐標(biāo)為【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，解題的關(guān)鍵是注意角的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；（2）由于，可得或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出【題目詳解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，異面直線和所成的角是【題目點(diǎn)撥】本題考查三棱錐體積公式的計(jì)算，異面直線所成的夾角，屬于基礎(chǔ)題18、（1）作圖見(jiàn)解析；值域?yàn)椋?）【解題分析】

（1）將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可畫(huà)出函數(shù)圖象；（2）根據(jù)（1）求得分段函數(shù)，可得分段函數(shù)表達(dá)式，畫(huà)出其函數(shù)圖象，求得，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】（1）∵，∴的圖象的圖像如圖，的值域?yàn)?根據(jù)圖象可得：的值域?yàn)?（2）由（1）得，畫(huà)出其函數(shù)圖象：根據(jù)其分段函數(shù)圖象特征可得:，由關(guān)于的不等式有解等價(jià)于，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求分段函數(shù)的值域和根據(jù)不等式有解求參數(shù)范圍問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握通過(guò)函數(shù)圖象求值域的方法和根據(jù)不等式有解求參數(shù)的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)得到，再得到，兩式作差，判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.【題目詳解】解：（1）由條件得：,兩式相減得：.........①，則有.....②①-②得：，所以數(shù)列是等差數(shù)列，①當(dāng)，即①即.（2）①，②兩式相減得【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及錯(cuò)位相減法求和，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及錯(cuò)位相減法的一般步驟即可，屬于?？碱}型.20、（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律：當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)由正變負(fù)，即單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，（2）先求導(dǎo)數(shù)得為方程的兩根，再求導(dǎo)數(shù)得，因此，而由為的零點(diǎn)，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中根據(jù)韋達(dá)定理確定自變量范圍：因?yàn)橛?，所以試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由解得,即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,即在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，故，即在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）,則,所以的兩根即為方程的兩根.因?yàn)?所以,又因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，所以,兩式相減得,得,而,所以令,由得因?yàn)?兩邊同時(shí)除以，得，因?yàn)?，故，解得或，所以，設(shè)，所以，則在上是減函數(shù)，所以，即的最小值為.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值【思路點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)＞0，則y＝f(x)在該區(qū)間為增函數(shù)；如果f′(x)＜0，則y＝f(x)在該區(qū)間為減函數(shù).(2)函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題包括：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常常通過(guò)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為解方程或不等式，常用到分類(lèi)討論思想；②利用單調(diào)性證明不等式或比較大小，常用構(gòu)造函數(shù)法.21、（1）1；（2）（）【解題分析】分析：（1）由可得，∴a2=3，a3=7，依題意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1；（2）由（1），知當(dāng)n≥2時(shí)，，即數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，即可求通項(xiàng)．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，，即，∴，．依題意，得，解得，當(dāng)時(shí)，，，即為等比數(shù)列成立，故實(shí)數(shù)的值為1；（2）由（1），知當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以，∴（）.點(diǎn)睛：（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，常運(yùn)用等比數(shù)列的定義去證明，在證明過(guò)程中，容易忽視驗(yàn)證首項(xiàng)不為零這一步驟。（2）數(shù)列通項(xiàng)的求法方法多樣，解題時(shí)要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)去選擇。常用的方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、取倒數(shù)等。22、(1).(2).