2024屆江蘇省六校聯(lián)盟數(shù)學高二第二學期期末調研試題含解析

2024屆江蘇省六校聯(lián)盟數(shù)學高二第二學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．學號分別為1，2，3，4的4位同學排成一排，若學號相鄰的同學不相鄰，則不同的排法種數(shù)為()A．2 B．4 C．6 D．82．已知為正整數(shù)用數(shù)學歸納法證明時，假設時命題為真，即成立，則當時，需要用到的與之間的關系式是()A． B．C． D．3．若的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15，則展開式中所有項系數(shù)之和為A． B． C． D．4．已知函數(shù)f(x)＝則)等于()A．4 B．－2C．2 D．15．若,則等于()A．9 B．8 C．7 D．66．觀察下列各式：3272112152……據(jù)此規(guī)律.所得的結果都是8的倍數(shù).由此推測可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．7．復數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（）A.B.C.－D.－8．設函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，記，，，則的大小關系為()A． B． C． D．9．某班級在一次數(shù)學競賽中為全班同學設置了一等獎、二等獎、三等獎以及參與獎，且獎品的單價分別為：一等獎20元、二等獎10元、三等獎5元、參與獎2元，獲獎人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法正確的是（）A．參與獎總費用最高 B．三等獎的總費用是二等獎總費用的2倍C．購買獎品的費用的平均數(shù)為9.25元 D．購買獎品的費用的中位數(shù)為2元10．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風的概率為930，下雨的概率為1130，既吹東風又下雨的概率為A．89 B．25 C．911．的展開式中第5項的二項式系數(shù)是（）A． B． C． D．12．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律:衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星至地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等.設橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c.李明根據(jù)所學的橢圓知識，得到下列結論：①衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c；②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁；③衛(wèi)星運行速度在近地點時最小，在遠地點時最大其中正確結論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是．14．在等差數(shù)列中,,則________15．的展開式中的常數(shù)項為______。16．一個盒子中有大小、形狀完全相同的m個紅球和6個黃球.從盒中每次隨機取出一個球，記下顏色后放回，共取5次，設取到紅球的個數(shù)為X，若，則m的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù).18．（12分）若，解關于的不等式.19．（12分）設函數(shù).（1）解不等式；（2）若關于的不等式解集是空集，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在直角坐標系中，將單位圓上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)設為曲線上一點，點的極坐標為，求的最大值及此時點的坐標．21．（12分）某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在某學院大一年級名學生中進行了抽樣調查，發(fā)現(xiàn)喜歡甜品的占.這名學生中南方學生共人。南方學生中有人不喜歡甜品.（1）完成下列列聯(lián)表：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生北方學生合計（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（3）已知在被調查的南方學生中有名數(shù)學系的學生，其中名不喜歡甜品；有名物理系的學生，其中名不喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個系的學生中，各隨機抽取人，記抽出的人中不喜歡甜品的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：.0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）甲、乙、丙三人組成一個小組參加電視臺舉辦的聽曲猜歌名活動，在每一輪活動中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯，則活動立即結束；若三人均猜對，則該小組進入下一輪，該小組最多參加三輪活動．已知每一輪甲猜對歌名的概率是34，乙猜對歌名的概率是23，丙猜對歌名的概率是(I)求該小組未能進入第二輪的概率；(Ⅱ)記乙猜歌曲的次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先排1,2，再將3、4插空，用列舉法，即可得出結果.【題目詳解】先排好1、2，數(shù)字3、4插空，排除相鄰學號，只有2種排法：3142、1．故選A【題目點撥】本題主要考查計數(shù)原理，熟記概念即可，屬于基礎題型.2、C【解題分析】分析：先根據(jù)條件確定式子，再與相減得結果.詳解：因為，所以，所以,選C.點睛：本題考查數(shù)學歸納法，考查數(shù)列遞推關系.3、B【解題分析】由題意知：，所以，故，令得所有項系數(shù)之和為.4、B【解題分析】，則，故選B.5、B【解題分析】分析：根據(jù)組合數(shù)的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意且，，解得，故選B.點睛：本題主要考查了組合數(shù)的計算公式的應用，其中熟記組合數(shù)的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力.6、A【解題分析】

先求出數(shù)列3,7,11,15，……的通項，再判斷得解.【題目詳解】數(shù)列3,7,11,15，……的通項為an當n=26時，a26故選：A【題目點撥】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.7、C【解題分析】試題分析：，虛部為?？键c：復數(shù)的運算。8、A【解題分析】分析：根據(jù)x＞0時f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上單調遞增，由f（x）為奇函數(shù)即可得出，然后比較的大小關系，根據(jù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增即可比較出a，b，c的大小關系．詳解：x＞0時，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故選A．點睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小．9、D【解題分析】

先計算參與獎的百分比，分別計算各個獎勵的數(shù)學期望，中位數(shù)，逐一判斷每個選項得到答案.【題目詳解】參與獎的百分比為：設人數(shù)為單位1一等獎費用：二等獎費用：三等獎費用：參與獎費用：購買獎品的費用的平均數(shù)為：參與獎的百分比為，故購買獎品的費用的中位數(shù)為2元故答案選D【題目點撥】本題考查了平均值，中位數(shù)的計算，意在考查學生的應用能力.10、A【解題分析】

利用條件概率的計算公式即可得出．【題目詳解】設事件A表示某地四月份吹東風，事件B表示四月份下雨．根據(jù)條件概率計算公式可得在吹東風的條件下下雨的概率P(B|A)=8故選：A【題目點撥】本題主要考查條件概率的計算，正確理解條件概率的意義及其計算公式是解題的關鍵，屬于基礎題.11、D【解題分析】試題分析：由二項展開式的通項公式得，第5項的二項式系數(shù)為.考點：二項式定理.12、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的焦半徑的最值來判斷命題①，根據(jù)橢圓的離心率大小與橢圓的扁平程度來判斷命題②，根據(jù)題中“速度的變化服從面積守恒規(guī)律”來判斷命題③?！绢}目詳解】對于命題①，由橢圓的幾何性質得知，橢圓上一點到焦點距離的最小值為a-c，最大值為a+c，所以，衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，結論①正確；對于命題②，由橢圓的幾何性質知，當橢圓的離心率e=ca越大，橢圓越扁，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值a-ca+c對于命題③，由于速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑在相同的時間內掃過的面積相等，當衛(wèi)星越靠近遠地點時，向徑越大，當衛(wèi)星越靠近近地點時，向徑越小，由于在相同時間掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以，衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小，結論③錯誤。故選：C。【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓幾何量對橢圓形狀的影響，在判斷時要充分理解這些幾何量對橢圓形狀之間的關系，考查分析問題的能力，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解題分析】試題分析：由三視圖可得幾何體為正方體挖去一個圓錐：則：，．得體積為：考點：三視圖與幾何體的體積．14、40【解題分析】

根據(jù)前項和公式，結合已知條件列式求得的值.【題目詳解】依題意.【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎題.15、240【解題分析】

根據(jù)二項式展開式通項公式確定常數(shù)項對應項數(shù)，再代入得結果【題目詳解】，令得，，所以的展開式中的常數(shù)項為.【題目點撥】本題考查求二項式展開式中常數(shù)項，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16、14【解題分析】

利用計算即可.【題目詳解】由題意，知，則，解得.故答案為：14【題目點撥】本題考查二項分布的期望，考查學生對常見分布的期望公式的掌握情況，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）分類討論，詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）由已知得，求得，，由點斜式方程可得解.（Ⅱ）由已知得，分類討論，，，四種情況下的零點個數(shù).【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，又，∴切線方程為.（Ⅱ）∵，當時，，即在上為增函數(shù)，∵，，∴在上有一個零點.當時，，∵，，∴在上有一個零點.當時，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，∵，，此時在上有一個零點.當時，易知在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，∵，，又有，當，即時，在上有一個零，當時，在上有兩個零.綜上所述，當時，函數(shù)在上有一個零；當時，函數(shù)在上有兩個零點.【題目點撥】本題考查了用導數(shù)求過曲線上一點的切線方程和討論函數(shù)零點個數(shù)問題，考查了分類討論的思想，屬于難題.18、見解析【解題分析】

本題是含有參數(shù)的解不等式，可以先將不等式轉化為的形式，再通過分類討論參數(shù)得出解．【題目詳解】時，且；時，等價于因為，所以，所以不等式可化簡為當時，或．當時，，或綜上所述，時，且；0時或時，或}【題目點撥】在解含有參數(shù)的不等式的時候，一定要注意參數(shù)的取值范圍并進行分類討論．19、（1）；（2）或．【解題分析】分析：（1）利用零點討論法解不等式。（2）先求，再解不等式得解.詳解：（1）由，得或或，解得，即解集為.（2）∵的解集為空集，∴，而，∴，即或.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式的解法，考查絕對值的三角不等式和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)絕對值三角不等式常用來求最值.20、(1)(為參數(shù))；(2)最大值，此時．【解題分析】

(1)根據(jù)坐標變換可得曲線的方程，根據(jù)平方關系可求出其參數(shù)方程；(2)求出的直角坐標，再由兩點間的距離公式可求出，結合三角函數(shù)即可求出最值．【題目詳解】(1)依題意可得曲線C的直角坐標方程為，所以其參數(shù)方程為(為參數(shù))．(2)，設，則，所以當時，取得最大值，此時．【題目點撥】本題主要考查曲線的伸縮變換，參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標化為直角坐標，同時考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．21、(1)列聯(lián)表見解析.(2)有的把認為“南方學生和北方學生在選甜品的飲食習慣方面有差異”.(3)分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)填寫表格，（2）根據(jù)卡方公式得，再與參考數(shù)據(jù)比較得可靠率，（3）先列隨機變量可能取法，再利用組合數(shù)求對應概率，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望.詳解：（1）喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100（2）由題意，，∴有的把握認為“南方學生和北方學生在選甜品的飲食習慣方面有差異”.（3）的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則的分布列為0123所以的數(shù)學期望.點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值.22、（Ⅰ）34（Ⅱ）ξ的分別列為Eξ=0×1【解題分析】試題分析：（1）分別將甲、乙、丙第i次