2023-2024學年湘教版必修第二冊 1-3向量的數乘 學案

1．3向量的數乘最新課程標準學科核心素養(yǎng)1.通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算及其運算規(guī)則，理解其幾何意義．2．理解兩個平面向量共線的含義．3．了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義．1.掌握平面向量的數乘運算．(數學運算)2．理解共線向量的含義．(直觀想象、邏輯推理)3．了解平面向量的線性運算性質的幾何意義．(直觀想象)教材要點要點一向量的實數倍1．向量的數乘的定義一般地，實數λ與向量a的乘積是一個向量，記作________，稱為a的________倍，它的長度|λa|＝________．當λ≠0且a≠0時，λa的方向當當λ＝0或a＝0時，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.求向量的實數倍的運算稱為向量的數乘．狀元隨筆理解數乘向量應注意的問題(1)向量數乘的結果依然是向量，要從長度與方向加以理解．(2)實數與向量可以相乘，但是不能相加、減．如λ＋a，λ－a均沒有意義．2．向量的數乘的幾何意義向量的數乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮?。c二共線向量1．當非零向量a，b方向相同或相反時，我們既稱a，b________，也稱a，b________，記作________．2．規(guī)定：零向量與所有的向量平行．3．兩個向量平行?其中一個向量是另一個向量的實數倍．即a∥b?存在實數λ，使得b＝________或a＝________．狀元隨筆向量共線定理的理解注意點及主要應用(1)定理中a≠0→，b≠0→不能漏掉.若a＝b＝0→，則實數λ可以是任意實數；若a＝0→，b≠0→，則不存在實數λ，使得b＝λa.(2)這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使ta＋sb＝0→，則a與b共線；若兩個非零向量a與b不共線，且ta＋sb＝0→，則必有t＝s＝0.要點三向量的夾角1．設a，b是兩個非零向量，任選一點O，作OA＝a，OB＝b，則射線OA，OB所夾的最小非負角∠AOB稱為向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．2．平面向量夾角的范圍為[0，π].狀元隨筆(1)兩個向量的夾角是唯一確定的，且〈a，b〉＝〈(2)當〈a，b〉＝0時，a，b方向相同；當〈a，b〉＝π時，a，(3)當〈a，b〉＝π2時，a，b(4)0→與a的夾角是任意大小，可以規(guī)定為0，也可以規(guī)定為π2要點四單位向量1．長度等于1個單位長度的向量．2．對于任一非零向量a，都可得到與它方向相同的唯一單位向量e＝1aa狀元隨筆單位向量只定義了大小，方向可以任意，方向不同的兩個單位向量不相等．要點五數乘運算律一般地，設a，b是任意向量，x，y是任意實數，則如下運算律成立：(1)對實數加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya.(2)對實數乘法的結合律：x(ya)＝(xy)a.(3)對向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb.基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)實數λ與向量a的積還是向量．()(2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．()(3)若b＝λa(a≠0)，則a與b方向相同或相反．()(4)aa表示向量a2．化簡：13A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則3a－b＝()A．4e2B．4e1C．3e1＋6e2D．8e24．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則與AB共線(平行)的向量有________．題型1向量的線性運算例1(1)化簡：123a(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，則m＝________，n＝________．方法歸納向量線性運算的基本方法(1)向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算，例如實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．跟蹤訓練1(1)12(2a＋8b)－(4a－2bA．－3a－6bB．6b－3aC．2b－3aD．3a－2b(2)化簡：25(a－b)－13(2a＋4b)＋215(2a題型2用已知向量表示相關向量例2如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD的中點分別為K，L，且AK＝e1，AL＝e2，試用e1，e2表示BC，方法歸納用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．跟蹤訓練2如圖，ABCD是一個梯形，AB∥CD且|AB|＝2|CD|，M，N分別是DC，AB的中點，已知AB＝e1，AD＝e2，試用e1，e2表示下列向量．(1)AC＝________；(2)MN＝________．題型3向量共線定理的應用角度1向量共線的判定例3判斷下列各小題中的向量a，b是否共線(其中e1，e2是兩個不共線向量)．(1)a＝5e1，b＝－10e1；(2)a＝12e1－13e2，b＝3e1－2e(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.方法歸納向量共線的判定一般是用其判定定理，即a是一個非零向量，若存在唯一一個實數λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．解題過程中，需要把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，由此判斷共線．角度2證明三點共線例4設a，b是不共線的兩個向量．若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點共線．方法歸納三點共線的證明問題及求解思路(1)證明三點共線，通常轉化為證明由這三點構成的兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據．(2)若A，B，C三點共線，則向量AB，角度3求參數的值例5設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k的值為________．方法歸納利用向量共線求參數，一種類型是利用向量加法、減法及數乘運算表示出相關向量，從而求得參數，另一種類型是利用三點共線建立方程求解參數．跟蹤訓練3(1)若向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，則以下向量中與向量2a＋b共線的是()A．－5e1＋2e2B．4e1＋10e2C．10e1＋4e2D．e1＋2e2(2)設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量a＝2e1－e2，與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為________．易錯辨析忽視向量共線的方向出錯例6設兩向量e1，e2不共線，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，求實數t的值．解析：∵向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，∴存在實數λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±142故所求實數t的值為±142【易錯警示】易錯原因糾錯心得忽視兩非零向量反向共線的情況而漏掉一解．向量共線應分同向與反向兩種情況．課堂十分鐘1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b2．(多選)已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實數m的值為()A．－1B．3C．3D．43．在等邊△ABC中，點E在中線CD上，且CE＝6ED，則AE＝()A．17ACC．37AC4．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若點D滿足BD＝2DC，則AD＝________．(用b，c表示)5．設e1，e2是兩個不共線向量，AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)證明：A，B，D三點共線；(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三點共線，求k的值．1．3向量的數乘新知初探·課前預習要點一λaλ|λ||a|同向反向要點二1．共線平行a∥b3．λaλb[基礎自測]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：原式＝13[(a＋4b)－(4a－2b)]＝13(－3a＋6b)＝2b－答案：B3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.答案：D4．解析：根據非零向量共線的定義，與AB方向相同和方向相反的向量有BA，答案：BA題型探究·課堂解透例1解析：(1)原式＝122a+32b－a－34b＝a＋(2)把已知中的兩個等式看成關于m，n的方程，聯立得方程組3m+2答案：(1)見解析(2)311a＋211b111a跟蹤訓練1解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.(2)原式＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝25-2答案：(1)B(2)0例2解析：設BC＝x，則BK＝12x，AB＝e1－12DL＝12DC＝12AB＝12e由AD+DL＝AL，得x＋12e1－14x解方程得x＝43e2－23e1，即BC＝43e2－2由CD＝－AB，AB＝e1－1得CD＝12x－e1＝1243e2-23e1－跟蹤訓練2解析：因為AB∥CD，|AB|＝2|CD|，所以AB＝2DC，DC＝(1)AC＝AD+DC＝e2＋12(2)MN＝MD+DA＝－14e1－e2＋12e1＝14e1－答案：(1)e2＋12e1(2)14e1－例3解析：(1)∵b＝－2a，∴a與b共線．(2)∵a＝16b，∴a與b(3)設a＝λb，則e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1與e2是兩個不共線向量，∴1這樣的λ不存在，因此a與b不共線．例4解析：證明：∵AB＝OB-OA＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2而BC＝OC-OB＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2∴AB與BC共線，且有公共點B，∴A，B，C三點共線．例5解析：∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2，∴k=8λ，2=λ∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，∴λ＝－12，k答案：－4跟蹤訓練3解析：(1)2a＋b＝2e1＋5e2又∵4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)∴4e1＋10e2＝2(2a＋b)，故選B.(2)因為向量a與b共線，所以存在唯一實數μ，使b＝μa成立．即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，又因為e1與e2不共線．所以2μ-1=0，λ答案：(1)B(2)－1[課堂十分鐘]1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D2．解析：因為向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，且向量a，b是兩個不共線的向量，所以m＝-32-m，解得答案：AC3．解析：因為AE＝AC+CE＝AC+67CD＝AC所以AE＝17答案