2023-2024學(xué)年廣東深圳市紅嶺中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年廣東深圳市紅嶺中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，，則（）A． B．C． D．2．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖，則此函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．3．中，角的對(duì)邊分別為，若，，，則的面積為（）A． B． C． D．4．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．5．（）A． B． C．1 D．6．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．7．明代數(shù)學(xué)家程大位（1533~1606年），有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便，用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計(jì)算的鼻祖．如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題．執(zhí)行該程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值為（）A． B． C． D．8．函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則的范圍為（）A． B． C． D．9．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要10．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．211．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，則（）A．4 B．6 C． D．12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）．A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票，投票要求詳見選票．這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的88%，75%，46%，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為百分之________．“我身邊的榜樣”評(píng)選選票候選人符號(hào)注：1．同意畫“○”，不同意畫“×”．2．每張選票“○”的個(gè)數(shù)不超過2時(shí)才為有效票．甲乙丙14．在數(shù)列中，已知，則數(shù)列的的前項(xiàng)和為__________.15．已知，，且，則最小值為__________．16．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．18．（12分）某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開展“慶元旦”活動(dòng)，當(dāng)天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積極性，采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式，抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額（單位：千元）的頻率分布直方圖.（1）求抽取的這家店鋪，元旦當(dāng)天銷售額的平均值；（2）估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于元的有多少家；（3）為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究，求抽取的店鋪銷售額在中的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）求證：.20．（12分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.21．（12分）已知，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、，若且，求面積的取值范圍.22．（10分）已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列，且滿足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），．求證：對(duì)任意的恒成立．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，通過圖象經(jīng)過點(diǎn)，求出，從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解：由圖象知，，則，圖中的點(diǎn)應(yīng)對(duì)應(yīng)正弦曲線中的點(diǎn)，所以，解得，故函數(shù)表達(dá)式為．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)，三角函數(shù)的解析式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

先求出，由正弦定理求得，然后由面積公式計(jì)算．【詳解】由題意，．由得，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，解題時(shí)要根據(jù)已知求值要求確定解題思路，確定選用公式順序，以便正確快速求解．4、C【解析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.5、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.【詳解】，；，；，；，；，此時(shí)不滿足，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果為，由題意，得．故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計(jì)算，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.8、B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，若值域?yàn)?，所以只需，?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9、A【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因?yàn)楹愠闪?，故可以推出且，若成立，?dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)楹愠闪?，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡(jiǎn)單題.11、B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長(zhǎng)為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.．12、B【解析】

由奇偶性定義可判斷出為偶函數(shù)，由單調(diào)性的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，由此知在上單調(diào)遞減，從而將所求不等式化為，解絕對(duì)值不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，由得：，解得：或，的取值范圍為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題；奇偶性的作用是能夠確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性，單調(diào)性的作用是能夠?qū)⒑瘮?shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)不等式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、91【解析】

設(shè)共有選票張，且票對(duì)應(yīng)張數(shù)為，由此可構(gòu)造不等式組化簡(jiǎn)得到，由投票有效率越高越小，可知，由此計(jì)算可得投票有效率.【詳解】不妨設(shè)共有選票張，投票的有，票的有，票的有，則由題意可得：，化簡(jiǎn)得：，即，投票有效率越高，越小，則，，故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出變量所滿足的關(guān)系式.14、【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，得到，再由求解．【詳解】解：由，得，，則數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列．，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，屬于中檔題．15、【解析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】，結(jié)合可知原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即最小值為.【點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．16、5【解析】

根據(jù)題意，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線縱截距的最值，即可求解【詳解】畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)平面，利用線面垂直的定義可得，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證出.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以由為等腰直角三角形，所以又，故平?取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋砸驗(yàn)槠矫?，所以平面所以平面如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，又，所以且于是設(shè)平面的法向量為，則令得平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成的角為，則【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的定義、判定定理以及空間向量法求線面角，屬于中檔題.18、（1）元；（2）32家；（3）分布列見解析；【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率，再由平均數(shù)公式，即可求解；（2）求出的頻率即可；（3）中的個(gè)數(shù)的所有可能取值為，，，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.【詳解】（1）頻率分布直方圖銷售額的平均值為千元，所以銷售額的平均值為元；（2）不低于元的有家（3）銷售額在的店鋪有家，銷售額在的店鋪有家.選取兩家，設(shè)銷售額在的有家.則的所有可能取值為，，.，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題.19、（1），；（2）見解析.【解析】

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程變形為，再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可得出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為.將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點(diǎn)、，因此，線段的中點(diǎn)為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得，在中結(jié)合正弦定理求出，從而得出，即可得出的解析式，最后結(jié)合斜率的幾何意義，即可求出的最小值.【詳解】（1），，由題知，，則，則，，；（2）在中，由余弦定理得，，設(shè)，其中.在中，，，，，所以，，所以的幾何意義為兩點(diǎn)連線斜率的相反數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式，考查計(jì)算能力.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，然后解不等式，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由求得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1），解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由題意，則，，，，解得.由余弦定理得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，同時(shí)也考查了三角形面積取值范圍的計(jì)算，涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22、（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡(jiǎn)可得,代入化簡(jiǎn)即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當(dāng)時(shí),,代入所給的條件化簡(jiǎn)可得,進(jìn)而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解：．是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,則,則由,