（新高考通用）2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型 第26講 復(fù)數(shù)（精講）原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第26講復(fù)數(shù)（精講）題型目錄一覽①復(fù)數(shù)的有關(guān)概念②復(fù)數(shù)的四則運算③復(fù)數(shù)的模長④復(fù)數(shù)相等和共軛復(fù)數(shù)⑤復(fù)數(shù)的幾何意義⑥復(fù)數(shù)的三角形式一、知識點梳理一、知識點梳理一、復(fù)數(shù)的概念=1\*GB3①復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別是它的實部和虛部，叫虛數(shù)單位，滿足（1）當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，a＋bi為實數(shù)；（2）當(dāng)b≠0時，a＋bi為虛數(shù)；（3）當(dāng)a＝0且b≠0時，a＋bi為純虛數(shù)．其中，兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，其計算公式二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則1、復(fù)數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復(fù)數(shù)．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離．三、復(fù)數(shù)的三角形式（1）復(fù)數(shù)的三角表示式一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．（2）輻角的主值任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算①兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即．（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運算兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．【常用結(jié)論】①當(dāng)時，．②二、題型分類精講二、題型分類精講題型一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念策略方法解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復(fù)數(shù)的實部為a，虛部為b．(2)復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件：①z＝a＋bi∈R?b＝0(a，b∈R)；②z∈R?z＝eq\x\to(z)；③z∈R?z2≥0．(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件：①z＝a＋bi是純虛數(shù)?a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是純虛數(shù)?z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是純虛數(shù)?z2＜0．【典例1】（單選題）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a等于（

）A． B． C． D．2【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C．2 D．162．（2023秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（

）A．2 B．2i C．1 D．i3．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z滿足，則z的實部是（

）A．－1 B．1 C．－3 D．34．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實部和虛部分別是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i5．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．36．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（

）A． B．12 C． D．37．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1題型二復(fù)數(shù)的四則運算策略方法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法：復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實數(shù)化．解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．【典例1】（單選題）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則z=（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．4．（2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．7．（2023·新疆喀什·校考模擬預(yù)測）已知，則（

）.A． B． C． D．08．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第四象限，且滿足，則（

）A． B． C． D．題型三復(fù)數(shù)的模長策略方法【典例1】（單選題）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．5【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．102．（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┤?，，則（

）A． B． C．2 D．104．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？级＃┤魪?fù)數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．55．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獮樘摂?shù)單位，且復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B．2 C． D．6．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）（

）A．1 B． C． D．27．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．8．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．10 C． D．210．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）設(shè)復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．11．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知，，虛數(shù)是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．12．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2題型四復(fù)數(shù)相等和共軛復(fù)數(shù)策略方法解決與集合的新定義有關(guān)問題的一般思路(1)在只含有z的方程中，z類似于代數(shù)方程中的x，可直接求解；(2)在z，eq\x\to(z)，|z|中至少含有兩個的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于a，b的方程組，求出a，b，從而得出復(fù)數(shù)z．(3)求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)z1＝a＋bi與z2＝c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．【典例1】（單選題）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，其中a，，則（

）A．， B．， C．， D．，【典例2】（單選題）若，則（

）A． B． C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，若的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B．5 C． D．102．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．23．（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．24．（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C．1 D．25．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．8．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．9．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．10．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C．0 D．112．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，其中，則（

）A． B． C． D．13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．4 D．214．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C．4 D．15．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．3 B． C． D．16．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．217．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知（a，，i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（

）A．2 B． C． D．618．（2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．題型五復(fù)數(shù)的幾何意義策略方法與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法【典例1】（單選題）在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023秋·四川內(nèi)江·高三期末）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023·河南開封·?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則（

）A． B． C． D．11．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．13．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（

）A．2 B．1 C． D．14．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，其中a，b為實數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題型六復(fù)數(shù)的三角形式策略方法一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．【典例1】（單選題）把復(fù)數(shù)化三角形式為（

）A． B．C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）歐拉公式（e為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學(xué)家Euler（歐拉）首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，則（

）A．-1 B．1 C．- D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)的輻角主值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）歐拉是世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻，更把數(shù)學(xué)推