山東省威海市2021年中考數(shù)學(xué)真題（含答案）

2021年山東省威海市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一

個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分）

1.-'的相反數(shù)是（）

5

11

A._5B.5C.--D.—

55

【答案】D

【解析】

【分析】互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為零，據(jù)此即可解題.

【詳解】：（）-0

55

???一1的相反數(shù)為

故選D.

點睛：此題主要考查了求一個數(shù)的相反數(shù)，關(guān)鍵是明確相反數(shù)的概念.

2.據(jù)光明日報網(wǎng)，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的潘建偉、陸朝陽等人構(gòu)建了一臺76個光子100個模式的量子計算機

“九章”.它處理“高斯玻色取樣”的速度比目前最快的超級計算機“富岳”快一百萬億倍.也就是說，

超級計算機需要一億年完成的任務(wù)，“九章”只需一分鐘.其中一百萬億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.lOxlO'2B.lOxlO14C.IxlO14D.IxlO15

【答案】C

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIO"的形式，其中1WI3V10,〃為整數(shù).確定"的值時，要看把原數(shù)

變成〃時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值》10時，〃是正數(shù)；

當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，"是負(fù)數(shù).

【詳解】解：一百萬億=100000000000000=IxlO14.

故選：C.

【點睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其中〃為

整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

3.若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器計算sin36。18',按鍵順序正確的是（）

A.國I_3JEam[J]3

B.國]E&,DMS\T1FT||

C.I2ndf|宣I叵]①|(zhì)DMS1[7]QjB

D.EiEjEDE「6MSI|T|回IDMSIH

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)計算器按鍵順序計算即可.

【詳解】解：根據(jù)計算器的按鍵順序可知，

正確的按鍵順序為D選項，

故選：D.

【點睛】本題主要考查用計算器計算三角函數(shù)值，熟悉計算器的按鍵順序是解題的關(guān)鍵.

4.下列運算正確的是()

A.(―3<721=—9a6B.(―n)2?a3—a5

C.(2x-y)2=4x2-y2D.a2+4a2=5a4

【答案】B

【解析】

【分析】分別根據(jù)積的乘方和幕的乘方運算法則、同底數(shù)暴的乘法、完全平方公式以及合并同類項的運算

法則對各項進(jìn)行計算后再判斷即可.

【詳解】解：A.(-3/)3=一27*,原選項計算錯誤，不符合題意；

8.(-。)2.片=爐原選項計算正確，符合題意；

C.(2x-y)2=4x2-4xy+y2,原選項計算錯誤，不符合題意；

222

D.a+4a=5a>原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】此題主要考查了積的乘方和幕的乘方、同底數(shù)幕的乘法、完全平方公式以及合并同類項，熟練掌

握相關(guān)運算法則是解答此題的關(guān)鍵.

5.如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小正方體搭成的.其左視圖是()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形進(jìn)而得出答案.

【詳解】從左面看，易得下面一層有3個正方形，上面一層中間有一個正方形,

，該幾何體的左視圖是:

故選A.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.

6.某校為了解學(xué)生的睡眠情況，隨機調(diào)查部分學(xué)生一周平均每天的睡時間，統(tǒng)計結(jié)果如表:

時間/小

78910

時

人數(shù)69114

這些學(xué)生睡眠時間的眾數(shù)、中位數(shù)是()

A.眾數(shù)是11,中位數(shù)是8.5B.眾數(shù)是9,中位數(shù)是8.5

C.眾數(shù)是9,中位數(shù)是9D.眾數(shù)是10,中位數(shù)是9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：睡眠時間為9小時人數(shù)最多，學(xué)生睡眠時間的眾數(shù)是9小時，

一共有30個學(xué)生，睡眠時間從小到大排序后，第15、16個數(shù)據(jù)分別是：8,9,即：中位數(shù)為85

故選B.

【點睛】本題主要考查中位數(shù)和眾數(shù)，熟練掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵.

7.解不等式組J2時，不等式①②的解集在同一條數(shù)軸上表示正確的是()

x—3(2x—1)>8(2)

02

B.,

-3-2-10123

<iJ?_i_i_L.

?3-2-10123

【答案】A

【解析】

【分析】先求出不等式組中各個不等式的解集，再利用數(shù)軸確定不等式組的解集.

【詳解】解不等式①得：x>-3,

解不等式②得：xW-1,

不等式組的解集為-3aW-l,

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：

-3-2-10I23

故選A.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集解不等式組時要注意解集的確定原

則：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解了.

8.在一個不透明的袋子里裝有5個小球，每個球上都寫有一個數(shù)字，分別是1,2,3,4,5,這些小球除

數(shù)字不同外其它均相同.從中隨機一次摸出兩個小球，小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率為（）

6933

A.—B.—C.—D.一

2525105

【答案】C

【解析】

【分析】通過列舉的方法將所有可能的情況一一列舉，進(jìn)而找出小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的情況即可求出對

應(yīng)概率.

【詳解】所有可能出現(xiàn)的情況列舉如下：

(1,2)；(1,3)；(1,4)；(1,5)

(2,3)；(2,4)；(2,5)

(3,4)；(3,5)

(4,5)

共10種情況,

符合條件的情況有：(1,3)；(1,5)；(3,5)；共3種情況；

3

小球上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率為—,

10

故選：C.

【點睛】本題主要考查了簡單概率的求解方法，通過列舉法列舉出等可能的情況是解決本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=3,CD=2.連接AC,過點B作BE//AC,交OC的延長線于

點E,連接AE,交BC于點凡若/4FC=2ND,則四邊形ABEC的面積為()

A.y/5B.2y/5c.6D.2713

【答案】B

【解析】

【分析】先證明四邊形4BEC為矩形，再求出AC,即可求出四邊形ABEC的面積.

【詳解】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,AB=CD=2,BC=AD=3>,ZD=ZABC,

,/BE//AC,

四邊形A8EC為平行四邊形，

,/ZAFC=2ZD,

：.ZAFC=2ZABC,

ZAFC^ZABF+ZBAF,

NABF=NBAF,

：.AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

，平行四邊形ABEC是矩形，

/.ZBAC=90°,

???AC=SJBC2-AB2=A/32+22=V5，

，矩形ABEC的面積為AB.AC=275.

故選：B

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知相關(guān)定理，證明四邊

形A8EC為矩形是解題關(guān)鍵.

、k

10.一次函數(shù)乂=編+》（4。0）與反比例函數(shù)必=二代工°）的圖象交于點A（T—2）,點8（2,1）.當(dāng)

必<當(dāng)時，X的取值范圍是（）

A.x<—1B.-4<x<0或無>2

C.0<x<2D.0cx<2或x<-l

【答案】D

【解析】

【分析】先確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，然后畫出圖象，再根據(jù)圖象確定x的取值范圍即可.

【詳解】解：?.?兩函數(shù)圖象交于點4一1,-2）,點3（2,1）

41—=2=2-kV[+^b-2吟k，解得T占=1

,依=2

b=—l

,2

y=x—1,%=一

X

畫出函數(shù)圖象如下圖:

由函數(shù)圖象可得/<%的解集為：0<x<2或xV-1.

故填D.

【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及根據(jù)函數(shù)圖象確定不等式的解集，根據(jù)題意確

定函數(shù)解析式成為解答本題的關(guān)鍵.

11.如圖，在,ABC和,.A￡>E中，NC4B=NZME=36°,AB=AC,AD^AE.連接CD,連接BE

并延長交AC,于點片G.若8E恰好平分NA8C,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.ZADC=ZAEBB.CD//ABC.DE=GED.BF2=CFAC

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)S4s即可證明再利用全等三角形性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合相

似三角形的判定和性質(zhì)，即可一一判斷

【詳解】AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZDAE=36°

：.ZDAC=ZEAB

^DAC^^EAB

:.ZADC=ZAEB,故選項A正確;

AB=AC,ZCAB=36°

：.ZABC=ZACB=72°

BE平分NABC

ZABE=NCBF=-ZABC=36°

2

ADAC^AEAB

.-.ZACD^ZABE=36°

.-.ZACD=ZCAB

：.CDHAB,故選項B正確；

AD=AE,ZDAE=36°

：.ZADE=72°

ZDGE=ADAE+ZEAB+ZABE=72°+ZEAB

即ZADEHNDGE

:.DEwGE,故選項C錯誤；

ZABC=ZACB=72°,ZCAB=NCBF=36°

：.ZCFB=12°

:.BC=BF

:.AABCsABFC

BFCF

AB=AC

BFCF

"~AC~~BF

BF2=CFAC＞故選項D正確；

故答案選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平

行線的判定，能利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在菱形ABCQ中，AB=2cm,NO=60°,點p，。同時從點A出發(fā)，點P以lc%/s速度沿A

-C-O的方向運動，點。以2C/M/6的速度沿A-8-C-。的方向運動，當(dāng)其中一點到達(dá)￡＞點時，兩點停止

運動.設(shè)運動時間為x(s),的面積為y(c〃?2),則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是

()

【解析】

【分析】先證明/C4B=N4CB=/4CD=60°,再分OWxW1、1<xW2、2VxW3三種情況畫出圖形，求出

函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項排除即可求解.

【詳解】解：；四邊形A8CZ）是菱形，

：.AB=BC^CD=AD,ZB=ZD=60°,

.?.△ABC,ACD都是等邊三角形，

.?./CA8=/ACB=NACO=60°.

如圖1,當(dāng)OWxWl時，AQ=2x,AP=x,

作PEVAB于E,

???PE=AP.sinNPAE=-x.

2

.1oV3垂>2

?,y=-x—x——x>

222

故D選項不正確;

c

如圖2,當(dāng)IV爛2時，CP=2-x,CQ=4-2xfBQ=2x-2,

作P/LL5C與凡作QH_LAB于H,

???PF=CP.sinZPCF=干(2—x),

/o

QH=8Q.sinN3=?2x_2)=#(x_l)，

y=^-x22-^-x2xV3(x-l)-^x(4-2x).^y-(2-x)=-^-x2+\/3x

故B選項不正確；

：.PQ=x-2,

作4G_LC￡)于G,

AG=AC.sinNACO=且x2=5

2

y=；x(x-21G=^-x-y/3，

故C不正確.

DGQPc

【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，利用三角函數(shù)解三角

形等知識，根據(jù)題意分類討論列出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分.只要求填出最后結(jié)果)

13.計算V24-J|xV45的結(jié)果是.

【答案】Y

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的四則運算法則進(jìn)行運算即可求解.

V6

【詳解】解：原式=2#-X3石

=2底—3指

=—V6>

故答案為：-屈.

【點睛】本題考查了二次根式的四則運算，屬于基礎(chǔ)題，計算過程中細(xì)心即可求解.

14.分解因式：2A3-18孫2=.

【答案】2x(x+3y)(x-3y)

【解析】

【分析】先提公因式，再利用平方差公式即可分解.

【詳解】解：2/-18盯2=2x(/-9y2)=2x(x+3y)(x-3y).

故答案為：2x(x+3y)(x-3y)

【點睛】本題考查了整式的因式分解，因式分解的一般步驟是“一提二看三檢查”，熟知提公因式法和乘

法公式是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在,ABC中，ZBAC>90%分別以點A,B為圓心，以大于;AB長為半徑畫弧，兩弧交于點

D,￡作直線OE,交BC于點M.分別以點A,C為圓心，以大于'AC長為半徑畫弧，兩弧交于點F,G.作

2

直線FG,交8c于點N.連接AM,AN.若484。=。，則NWW=

【答案】2a-180°

【解析】

【分析】先根據(jù)作圖可知OE和尸G分別垂直平分AB和AC,再利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到/B=

ZBAM,NC=/CAN,即可得到/MAN的度數(shù).

【詳解】解：由作圖可知，OE和FG分別垂直平分AB和AC,

NA=NC,

；.NB=NMAB,ZC=ZNAC,

在△ABC中，NBAC=a,

：.ZB+ZC=180°-ZBAC=180°-?,

即NMA8+NM4C=180°-a,

則/MAN=N8AC-(ZMAB+ZNAC)=?-(180°-?)=21-180°.

故答案是：2a-180。.

【點睛】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.解題時注意：線段的垂直平分線

上的點到線段的兩個端點的距離相等.

4

16.已知點A為直線y=-2x上一點，過點A作45〃x軸，交雙曲線丁=一于點艮若點A與點B關(guān)于y

x

軸對稱，則點A的坐標(biāo)為.

【答案】(逝,一20)或(一/20)

【解

4

【分析】設(shè)點A坐標(biāo)為（石一2幻，則點B的坐標(biāo)為（一石一2%）,將點B坐標(biāo)代入丁=—,解出x的值即可

x

求得A點坐標(biāo).

【詳解】解：■點A為直線y=-2%上一點,

，設(shè)點A坐標(biāo)為（九,一2x）,

則點B的坐標(biāo)為（一%,-2x）,

4

???點5在雙曲線＞二一上，

x

4

將（一e―2幻代入y=一中得：

X

-2x=--,

X

解得：x=±\/2，

當(dāng)x=^2時，y——2.x——2V2?

當(dāng)x=—近時，y=-2x=2&,

.?.點A的坐標(biāo)為（厄-20）或（-V2.2V2）,

故答案為：（、/1一2五）或（一血,20）.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合問題，用到了關(guān)于一條直線的兩個點的坐標(biāo)關(guān)系，熟知

對稱點坐標(biāo)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

17.如圖，先將矩形紙片ABCO沿EF折疊（AB邊與DE在C尸的異側(cè)），AE交C尸于點G；再將紙片折疊,

使CG與AE在同一條直線上，折痕為G”.若NAE/=a,紙片寬AB=2cm,則”E=cm.

【解析】

【分析】根據(jù)題意，證明四邊形G”所是平行四邊形，運用乙4￡萬的正弦和余弦的關(guān)系，求出”區(qū)

【詳解】如圖，分別過6、￡作6"，〃￡硒_16”,垂足分別為M、N

則GM=2

根據(jù)題意，ZAEF=a，因為折疊，則/莊尸=a

四邊形ABC。是矩形

???GFHHE

Z.GFE=a

:.GF=GE

同理“E=G￡

???四邊形G"瓦1是平行四邊形

NGHE=a

ENLGH,HE=GE

HN=NG=-HG

2

^L.-sinNGHM=sina

HG

HG=-^—

sina

RfAHNE中,網(wǎng)=cosNN”E=cosa

HE

cosa

-HG

2_sina1

cosacosasinacosa

故答案為：----------.

sinacosa

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，平行四邊形的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)，理解題意作出輔助線，是解

題的關(guān)鍵.

18.如圖，在正方形48CD中，AB=2,￡為邊4B上一點，尸為邊BC上一點.連接。E和A尸交于點G,

連接BG.若AE=BF,則BG的最小值為.

【答案】V5-1?

【解析】

【分析】根據(jù)SAS證明△DEA烏ZVIFB,得NADE=NBAF,再證明/￡>GA=90。,進(jìn)一步可得點G在以A。

為直徑的半圓上，且O,G,B三點共線時BG取得最小值.

【詳解】解：；四邊形4BC。是正方形，

AZABC-ZDAE,AD=AB,

?：AE=BF

：./\DEA^/\AFB,

：.ZADE=ZBAF,

：.ZDAF+ZBAF^ZDAB=90°,

：.ZADE+ZDAF=90°

：.ZDGA=90°

點G在以A。為直徑的圓上移動，連接。8,0G,如圖：

OA=OD=OG=-AD=l

2

在用ZV10B中，N048=90。

???。8=々+22=6

BG>OB-OG

.?.當(dāng)且公當(dāng)O,G,B三點共線時8G取得最小值.

：.BC最小值為：V5-1.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，圓周角定理等相關(guān)

知識，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7小題，共66分）

19.先化簡（土二1一?！?）十—±1_,然后從一1，0,1,3中選一個合適的數(shù)作為。的值代入求值.

tz—3a~-6。+9

【答案】2（〃-3）,當(dāng)a=0時,原式=-6；當(dāng)。=1時,原式=-4.

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再根據(jù)分式有意義的條件確定。的值，繼而代

入計算可得答案.

2

a-la+1

【詳解】---a-1)4-

a-3cT—6a+9

a2-1(Q+1)(Q-3)a+1

Q―3a—3(Q_3y

02-2。一3](〃-3)~

、。一3?！?ja+1

^a1-Y-a2+2a+3(a-3)2

a—3a+1

_2(Q+1)(?-3)2

ci—3Q+1

=2(〃-3),

???aW3且aW-L

/.a=0,a=\,

當(dāng)a=0時,原式=2X(0-3)=-6；

當(dāng)a=l時,原式=2X(1-3)=-4.

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則.

20.某校為提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)，準(zhǔn)備開展攝影、書法、繪畫、表演、手工五類社團活動.為了對此項活動

進(jìn)行統(tǒng)籌安排，隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求每人從五個類別中只選擇一個，將調(diào)查結(jié)果繪制成了

兩幅統(tǒng)計圖(未完成).請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題:

圖①

(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生;

(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;

(3)扇形統(tǒng)計圖中，“攝影”所占的百分比為；“手工”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為

(4)若該校共有2700名學(xué)生，請估計選擇“繪畫”的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)600；(2)見詳解圖；(3)15%;36°;(4)675人

【解析】

【分析】(1)根據(jù)書法總?cè)藬?shù)180人，占調(diào)查總數(shù)的30%,可求出調(diào)查總?cè)藬?shù)；

(2)求出表演和手工的總?cè)藬?shù)，補全條形圖即可；

(3)用攝影的總?cè)藬?shù)除以調(diào)查的總?cè)藬?shù)即可求出攝影所占百分比，再用手工總?cè)藬?shù)除以調(diào)查總?cè)藬?shù)得出手

工所占百分比再乘以360°即可求出手工所對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)；

(4)求出繪畫所占百分比再乘以該?？?cè)藬?shù)即可.

【詳解】(1)180^-30%=600(人)

(2)表演的人數(shù)為600x20%=120(人)，手工的人數(shù)為6(X)-90-180—15()-120=60(人)，補全條

形圖如下：

本人數(shù)

180

150

120

90

60

30

0

（3）攝影所占百分比為：口xl00%=15%；手工所對應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°=36°

600600

（4）由樣本估計總體得當(dāng)x2700=675（人）

600

答：該校2700名學(xué)生，估計選擇“繪畫”的學(xué)生人數(shù)為675人.

【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，理解兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

21.六一兒童節(jié)來臨之際，某商店用3000元購進(jìn)一批玩具，很快售完；第二次購進(jìn)時，每件的進(jìn)價提高了

20%,同樣用3000元購進(jìn)的數(shù)量比第一次少了10件.

（1）求第一次每件的進(jìn)價為多少元？

（2）若兩次購進(jìn)的玩具售價均為70元，且全部售完，求兩次的總利潤為多少元？

【答案】（1）第一次每件的進(jìn)價為50元；（2）兩次的總利潤為1700元.

【解析】

【分析】（1）設(shè)第一次每件的進(jìn)價為x元，則第二次進(jìn)價為（1+20%）x,根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，

即可求解；

（2）根據(jù)總利潤=總售價-總成本，列出算式，即可求解.

【詳解】解：⑴設(shè)第一次每件的進(jìn)價為x元，則第二次進(jìn)價為（1+20%）尤，

30003000，八

根據(jù)題意得：——一（1+%）%卜=10,解得：450,

經(jīng)檢驗：k50是方程的解，且符合題意,

答：第一次每件的進(jìn)價為50元;

30003000

+x70-6000=1700(元),

5(r(l+20%)x50y

答：兩次的總利潤為1700元.

【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出分式方程，是解題的關(guān)犍.

22.在一次測量物體高度的數(shù)學(xué)實踐活動中，小明從一條筆直公路上選擇三盞高度相同的路燈進(jìn)行測量.如

圖，他先在點B處安置測傾器，于點A處測得路燈頂端的仰角為10。，再沿8N方向前進(jìn)10米，到達(dá)

點。處，于點C處測得路燈PQ頂端的仰角為27°.若測傾器的高度為1.2米，每相鄰兩根燈柱之間的距離

相等，求路燈的高度（結(jié)果精確到0.1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin10°?0.17,cos10°?0.98,tanl0°?0.18,sin27°=0.45,cos27°?0.89,

tan27°?0.51)

【答案】路燈的高度為13.4m.

【解析】

【分析】延長AC交尸Q于點E,交MN于點、F,由題意可得，AB=CD=EQ=FN=\.2,ZPEC=ZMFA=90,）,

ZMAF=\00,ZPC￡=27°,AC=10,AE=BQ=EF=QN,設(shè)路燈的高度為xm,貝UMN=PQ=xm,MF=PE=x-l.2；

r-l?v-17

在RtAAFM中求得E4=——-,即可得AE=.........-；

tan1002tan10°

-x_1.2

tan27°=___________

在Rt^CEP中，可得—x-1.2“、，由此即可求得路燈的高度為13.4m.

-------------10

2tan10°

【詳解】延長AC交PQ于點E,交A/N于點尸,

由題意可得，AB=CD=EQ=FN=L2,ZPEC=ZMFA=90",ZMAF=10°,NPCE=27°,AC=10,

AE=BQ=EF=QN,

設(shè)路燈的高度為xm,則MN=PQ=xm,MF=PE=x-1.2,

MF

在RtZXAFM中，ZMAF=10°,MF=x-\.2,tanZMAF

~FA

x—1.2

：.tan10°

FA

...x-L2

tan10°

]_x—1.2x—1.2

AE=-AF

22tan10。-2tan10。

x—1.2

：.CE=AE-AC=------------10,

2tan10°

x—1.2PE

在RtZXCEP中，/PCE=27°CE=-10,tanZPCE

2tan10°~CE

x—1.2

tan27°=

2tan10°

解得x*13.4,

，路燈的高度為13.4m.

答：路燈的高度為13.4m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，熟練運用三角函數(shù)解直角三角形是解決問題

的關(guān)鍵.

23.如圖,AB是。。直徑,弦CD1AB,垂足為點E.弦BF交CD于點G,點P在延長線上，且尸尸=PG.

(1)求證：尸尸為。。切線;

【答案】(1)見解析；(2)5

【解析】

【分析】(1)連接OF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NPFG=NPG/，NOBF=NOFB,再證明

NOFB+NPFG=90°,即可得NPFO=90°,由此證得P尸為切線；

(2)連接AF,過點P作PN1FG于點、N,由AB是O。直徑，可得/A尸8=90°,在RtZVIB尸中求得4尸=12,

ApEGI?EG

再由tanNFBA=--------,可得—=----,求得EG=6；在RtABFG中求得BG—10；再根據(jù)等腰二角

FBBE168

形性質(zhì)可得FN=NG=3,再證明△PNf'saBEG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得PF=5.

【詳解】(1)連接OF,

???PF=PG,

：.NPFG=NPGF,

:OB=OF,

：./OBF=NOFB,

VCD1AB,

???NGEB=90°,

；?NABF+NEGB=90°,

???NEGB=/PGF,

；?NOFB+NPFG=90°,

AZPFO=90°,

???P尸為CO切線；

(2)連接AF,過點、P作PN上FG于點N,

〈AB是rO直徑,

/.ZAFB=90Q,

?I08=10,

：.AB=20f

在RlZXABF中，AB=20,BF=16,

：.AF=\2,

AFEG

*tanNFBA=---=----,

FBBE

?12EG

??—,

168

：.EG=6,

RtABEG中，BE=8,EG=6,

.,.BG=10,

：.FG=FB-BG=16-\O=6,

VPF=PG,PN1FG,

:.FN=NG=3,NPNF=9Q°,

?：NPFG=NPGF=/EGB,NPNF=NGEB=90°,

4PNFs△BEG,

.PFFN

??—,

BGEG

?PF3

??=,

106

：.PF=5.

【點睛】本題考查了切線的判定定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練運

用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=》2+2/nx+2/??-加的頂點為A.

（1）求頂點A的坐標(biāo)（用含有字母，〃的代數(shù)式表示）；

（2）若點8（2,%），。（5,%）在拋物線上，且為＞此，則山的取值范圍是：（直接寫出結(jié)果即

可）

（3）當(dāng)時，函數(shù)y的最小值等于6,求"?的值.

,7-1+JZT

【答案】（1）頂點A的坐標(biāo)為（-風(fēng)加2-機）；（2）加＜一］；（3）加=J+YTL或_2

24

【解析】

【分析】（1）將拋物線解析式化成），=（》+根）2+根2-根的形式，即可求得頂點A的坐標(biāo)；

⑵將8（2,%），。（5,%）代入拋物線中求得力和光的值，然后再解不等式即可求解；

（3）分類討論，分對稱軸在1的左側(cè)、對稱軸在3的右側(cè)、對稱軸在1,3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小

值，進(jìn)而求出〃?的值.

【詳解】解：⑴由題意可知：

拋物線y=Y+2iwc+2m2-m=(x+m)2+m2-m,

工頂點A的坐標(biāo)為(-九加之.m)；

⑵將8(2,%)代入y-x1+2/77X4-2m2一根中，

得到=22+2mx2+2m2-m-2m2+3m+4,

將C(5,ye)代入y=x2+2iwc+2加之一相中，

222

得到y(tǒng)c=5+2mx5+2m-m=2m+9m+25,

由已知條件知：為>無，

**-2m2+9m4-25<2m24-3/72+4，

整理得到：6/n<-21,

7

解得：fTl<--，

2

,」7

故機的取值范圍是：m<—；

2

⑶二次函數(shù)的開口向上，故自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對稱軸為工=-加，

分類討論：

①當(dāng)一機<1,即機>一1時，

x=l時二次函數(shù)取得最小值為y=『+2m+2m2-m-2ITT+m+l,

又已知二次函數(shù)最小值為6,

2trr+〃?+1=6，解得m=1十^^或機=—~~@］，

44

又心一i,故〃?=一1+如符合題意;

4

②當(dāng)一加>3,即mv—3時，

%=3時二次函數(shù)取得最小值為y=32+2mx3+2m2-m=2