新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.1等比數(shù)列第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)課件新人教B版選擇性必修第三冊

第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)1.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．2．體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點知識點一等比中項(1)前提：三個數(shù)x，G，y成等比數(shù)列．(2)結(jié)論：________叫做x，y的等比中項．(3)滿足的關(guān)系式：G2＝________．Gxy狀元隨筆任意兩數(shù)都有等比中項嗎？[提示]不是，只有同號的兩數(shù)才有．

知識點二“子數(shù)列”性質(zhì)對于無窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項去掉，剩余各項仍為________，首項為________，公比為________；若取出所有的k的倍數(shù)項，組成的數(shù)列仍為________，首項為________，公比為________．等比數(shù)列ak＋1q等比數(shù)列ak

qk知識點三等比數(shù)列項的運算性質(zhì)在等比數(shù)列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，則as·at＝________．①特別地，當(dāng)p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)時，ap·aq＝________．②對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….ap·aq

積

等比數(shù)列

答案：C

381

答案：±44．若a，b，c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為________．解析：只有非零常數(shù)列才滿足題意，所以公比q＝1.答案：1課堂探究·素養(yǎng)提升

答案：D

等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(1)將公比為q的等比數(shù)列{an}依次取相鄰兩項的乘積組成新的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4，….此數(shù)列是(

)A．公比為q的等比數(shù)列B．公比為q2的等比數(shù)列C．公比為q3的等比數(shù)列D．不一定是等比數(shù)列

【答案】

B(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求數(shù)列{an}的通項公式．

方法歸納在等比數(shù)列的有關(guān)運算中，常常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運算．若按常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩．通過本例可以看出：結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體變換，會起到化繁為簡的效果．跟蹤訓(xùn)練2

(1)下列結(jié)論錯誤的是(

)A．有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積B．當(dāng)q>1時，{an}為遞增數(shù)列C．當(dāng)q＝1時，{an}為常數(shù)列D．當(dāng)a1>0，q>1時，{an}為遞增數(shù)列解析：數(shù)列－2，－4，－8，－16，…其公比q＝2>1，但是一個遞減數(shù)列，∴B選項錯．答案：B(2)在等比數(shù)列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.

(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解析：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95＝310，∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝log3310＝10.

靈活設(shè)項求解等比數(shù)列例3

有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．

跟蹤訓(xùn)練3

三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2，則這三個數(shù)成等差數(shù)列，求這三個數(shù)．

等差、等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4

設(shè)數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，已知a1＋a2＋a3＝7，且a1＋3，3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)令bn＝lna3n＋1(n∈N*)，求數(shù)列{bn