2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 2-1從平面向量到空間向量2-2空間向量的運(yùn)算 課件79張

第三章2.1從平面向量到空間向量2.2空間向量的運(yùn)算基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程.3.掌握空間向量線性運(yùn)算的法則和運(yùn)算律.4.理解空間兩個(gè)向量夾角的定義.5.掌握空間向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律,會求空間向量的數(shù)量積.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識全過關(guān)知識點(diǎn)1

空間向量的定義及相關(guān)概念1.定義

任意一個(gè)空間向量都包括大小和方向兩個(gè)要素,有關(guān)概念可類比平面向量而得

在空間中,我們把具有

和

的量叫作空間向量,向量的大小叫作向量的

.

2.空間向量及其模的表示方法空間向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作向量

,其模用|a|或

表示.

大小方向長度或模C3.空間向量的相關(guān)概念

名稱概念零向量模為0的向量

起點(diǎn)與終點(diǎn)相同的向量相等向量方向

且模

的向量

相反向量方向

且模

的向量

共線向量當(dāng)表示向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合時(shí),稱這兩個(gè)向量互為共線向量(或平行向量)共面向量把平行于同一平面的向量叫作共面向量相同相等相反相等名師點(diǎn)睛1.空間向量有大小和方向,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空間中平移.2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.過關(guān)自診1.空間中任意兩個(gè)向量共面嗎?空間中任意三個(gè)向量呢?提示

空間中任意兩個(gè)向量都是共面的,但空間中任意三個(gè)向量不一定共面.2.[人教A版教材習(xí)題]舉出一些表示三個(gè)不同在一個(gè)平面內(nèi)的向量的實(shí)例.3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別為棱AA',AB的中點(diǎn).(1)寫出與向量

相等的向量;(2)寫出與向量

相反的向量;(3)寫出與向量

平行的向量.知識點(diǎn)2

空間向量的運(yùn)算

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個(gè)向量,記作λa.求實(shí)數(shù)與空間向量的乘積的運(yùn)算稱為空間向量的數(shù)乘運(yùn)算,向量λa的長度和方向滿足:(1)|λa|=

;

(2)當(dāng)λ>0時(shí),向量λa與向量a方向

;當(dāng)λ<0時(shí),向量λa與向量a方向

;當(dāng)λ=0時(shí),λa=

運(yùn)算律(1)交換律:a+b=b+a(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)λ(μa)=(λμ)a(3)分配律:(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λb其中λ∈R,μ∈R|λ||a|

相同

相反

0過關(guān)自診1.涉及空間兩個(gè)向量的問題,平面向量中的有關(guān)結(jié)論是否仍然適用?提示

適用.2.[人教A版教材習(xí)題]如圖,E,F分別是長方體ABCD-A'B'C'D'的棱AB,CD的中點(diǎn),化簡下列表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果:3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,已知在四面體ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn).化簡下列表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果:知識點(diǎn)3

共線向量基本定理定理:空間兩個(gè)向量a,b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得a=λb.通常把這個(gè)定理稱為共線向量基本定理.(也稱“一維向量基本定理”)過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)空間向量a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(

)(2)若a∥b,b∥c,則a∥c.(

)××2.共線向量基本定理中的限制條件是什么?為什么?提示

共線向量定理中限制條件b≠0,即若b=0,a≠0時(shí),實(shí)數(shù)λ不存在.3.[人教A版教材習(xí)題]證明:如果向量a,b共線,那么向量2a+b與a共線.提示

由向量a,b共線,若a為零向量,則結(jié)論成立;若a為非零向量,則存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa,從而2a+b=(2+λ)a.綜上,向量2a+b與a共線.知識點(diǎn)4

空間向量的夾角

當(dāng)<a,b>=時(shí),稱向量a與b

,記作a⊥b.

非零

∠AOB<a,b>[0,π]垂直

名師點(diǎn)睛對空間兩個(gè)向量夾角的理解,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角,零向量與其他向量之間不定義夾角,并約定0與任意向量a(a≠0)都垂直.(2)對空間任意兩個(gè)非零向量a,b,有:①<a,b>=<b,a>=<-a,-b>=<-b,-a>;②<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)√×2.空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)是什么?提示

(1)任意兩個(gè)空間向量都是共面的,故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義是一樣的.(2)當(dāng)作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起.(3)兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的,且<a,b>=<b,a>.知識點(diǎn)5

空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)空間向量a,b,把|a||b|cos<a,b>叫作a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0與平面向量類似,空間向量的數(shù)量積也是一個(gè)實(shí)數(shù),容易得到以下結(jié)論:(1)cos<a,b>=(a≠0,b≠0);

求向量夾角

求向量長度(3)a⊥b?a·b=0.

垂直的判斷方法與平面向量類似,空間向量的數(shù)量積運(yùn)算也滿足如下運(yùn)算律:(1)交換律:a·b=b·a;(2)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;(3)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).

過關(guān)自診

1.[人教A版教材習(xí)題]如圖,已知四面體ABCD的所有棱長都等于m,E,F,G分別是棱AB,AD,DC的中點(diǎn).求:2.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,則AB1與BC1所成角的大小為(

)

A.60°

B.90° C.105° D.75°B3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求:(1);(2)AB'的長;(3)AC'的長.知識點(diǎn)6

投影向量與投影數(shù)量1.投影向量在平面向量中已經(jīng)學(xué)習(xí)過一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影向量及投影數(shù)量,因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)空間向量一定是共面向量,所以可以把上述概念直接推廣到空間向量.當(dāng)<a,b>為銳角時(shí),|b|cos<a,b>>0(如圖(1));當(dāng)<a,b>為鈍角時(shí),|b|cos<a,b><0(如圖(2));當(dāng)<a,b>=時(shí),|b|cos<a,b>=0(如圖(3)).2.投影數(shù)量若用a0表示與向量a(a≠0)同方向的單位向量,則向量b在向量a方向上的投影向量為

=|b|cos<a,b>a0.因此,稱|b|cos<a,b>為投影向量

的數(shù)量,簡稱為向量b在向量a方向上的投影數(shù)量.結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義可知:向量b在向量a方向上的投影數(shù)量為過關(guān)自診1.已知|a|=2,向量a與向量b的夾角為120°,則向量a在向量b方向上的投影數(shù)量等于(

)A.2B.120°C.-1D.由向量b的長度確定C2.已知|b|=5,a·b=12,則向量a在b方向上的投影數(shù)量為

.

重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一空間向量及相關(guān)概念的理解【例1】

下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)是

.

①有向線段就是向量;②有向線段可用來表示空間向量,有向線段長度越長,其所表示的向量的模就越大;1解析

①我們只是借助有向線段來表示向量,但并不是說有向線段就是向量,所以①是假命題;②由于我們用有向線段的方向表示向量的方向,用有向線段的長度表示向量的模,所以②是真命題;③向量的模為非負(fù)實(shí)數(shù),能比較大小,但向量只有相等不相等之分,不能比較大小,所以③是假命題.規(guī)律方法

1.解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn):緊緊抓住向量的兩個(gè)要素,即大小和方向.(2)注意點(diǎn):①零向量不是沒有方向,而是它的方向是任意的.②單位向量方向雖然不一定相同,但它們的長度都是1.③兩個(gè)向量模相等,不一定是相等向量;反之,若兩個(gè)向量相等,則它們不僅模相等,方向也相同.若兩個(gè)向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?2.由于方向不能比較大小,因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的,但向量的模是可以比較大小的.變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a,b的長度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,則|a|=|b|C.兩個(gè)向量相等,若它們的起點(diǎn)相同,則其終點(diǎn)不一定相同D.若|a|>|b|,|b|>|c|,則a>cB解析

兩個(gè)向量是相反向量時(shí),它們的模必相等,故選項(xiàng)B正確.探究點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算B規(guī)律方法

空間向量線性運(yùn)算的技巧和思路(1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧①巧用相反向量:向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵,靈活應(yīng)用相反向量可使有關(guān)向量首尾相接,從而便于運(yùn)算.②巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法、減法運(yùn)算時(shí),務(wù)必要注意和向量、差向量的方向,必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.(2)化簡空間向量的常用思路①分組:合理分組,以便靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡.②多邊形法則:在空間向量的加法運(yùn)算中,若是多個(gè)向量求和,還可利用多邊形法則,若干個(gè)向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.③走邊路:靈活運(yùn)用空間向量的加法、減法法則,盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).變式訓(xùn)練2如圖所示,已知空間四邊形OABC,M,N分別是邊OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G在MN上,且MG=2GN,設(shè)探究點(diǎn)三共線向量基本定理及其應(yīng)用分析可通過證明

共線來證明E,F,B三點(diǎn)共線.規(guī)律方法

利用空間向量共線定理可解決的主要問題(1)判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)求解參數(shù):已知兩非零向量共線,可求其中參數(shù)的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.(3)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P,A,B)是否共線:變式訓(xùn)練3如圖所示,已知四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形且不共面,M,N分別是AC,BF的中點(diǎn),判斷

是否共線.探究點(diǎn)四求空間向量的數(shù)量積【例4】

如圖所示,已知正四面體OABC的棱長為1,點(diǎn)E,F分別是OA,OC的中點(diǎn).求下列向量的數(shù)量積:規(guī)律方法

空間向量運(yùn)算的方法與步驟

變式訓(xùn)練4如圖,在三棱錐O-ABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,點(diǎn)G為△ABC的重心,則探究點(diǎn)五利用數(shù)量積求夾角【例5】

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),求:分析求兩個(gè)向量的夾角,可以把其中一個(gè)向量平移,與另一個(gè)向量的起點(diǎn)重合,從而轉(zhuǎn)化為求平面角的大小;也可以用兩個(gè)向量的數(shù)量積定義a·b=|a||b|cos<a,b>,求出cos<a,b>=的值,然后確定<a,b>的大小.規(guī)律方法

求兩個(gè)非零向量夾角的兩個(gè)途徑(1)轉(zhuǎn)化求角:把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對應(yīng)角,利用解三角形的知識求解;(2)利用數(shù)量積求夾角:運(yùn)用公式cos<a,b>=進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練5(1)若非零空間向量a,b滿足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為(

)

A.30° B.60° C.120° D.150°C解析

設(shè)a與b的夾角為θ,則由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又因?yàn)閨a|=|b|,所以cos

θ=-,所以θ=120°.(2)已知正四面體OABC的棱長等于2,E,F分別為AB,OC的中點(diǎn),則向量

與向量

夾角的余弦值為

.

探究點(diǎn)六投影數(shù)量與投影向量【例6】

已知非零向量a,b滿足|a-b|=|a+b|,且|a|=1,|b|=,c=2a-b,則a在c方向上的投影數(shù)量為(

)A解析

∵|a-b|=|a+b|,∴|a-b|2=|a+b|2,∴a·b=0.又|a|=1,|b|=,c=2a-b,設(shè)a和c的夾角為α,變式訓(xùn)練6已知