2024屆重慶市云陽縣等高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆重慶市云陽縣等高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知且，函數(shù)，若，則（）A．2 B． C． D．2．為計算，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，則空白框中應(yīng)填入（）A． B． C． D．3．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．24．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）5．直角坐標(biāo)系中，雙曲線（）與拋物線相交于、兩點，若△是等邊三角形，則該雙曲線的離心率（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．27．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或88．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則內(nèi)角（）A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列的公差不為零，且，，構(gòu)成新的等差數(shù)列，為的前項和，若存在使得，則（）A．10 B．11 C．12 D．1310．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．11．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．記為數(shù)列的前項和數(shù)列對任意的滿足.若，則當(dāng)取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖的的值__________．14．邊長為2的菱形中,與交于點O,E是線段的中點,的延長線與相交于點F,若,則______.15．的展開式中，的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）.16．已知盒中有2個紅球，2個黃球，且每種顏色的兩個球均按，編號，現(xiàn)從中摸出2個球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好同時包含字母，的概率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.18．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.19．（12分）某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試，每位同學(xué)彼此獨立的從五所高校中任選2所．（1）求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率；（2）若已知甲同學(xué)特別喜歡高校，他必選校，另在四校中再隨機選1所；而同學(xué)乙和丙對五所高校沒有偏愛，因此他們每人在五所高校中隨機選2所．（i）求甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率；（ii）記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選高校的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知都是各項不為零的數(shù)列，且滿足其中是數(shù)列的前項和，是公差為的等差數(shù)列．（1）若數(shù)列是常數(shù)列，，，求數(shù)列的通項公式；（2）若是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若（為常數(shù)，），．求證：對任意的恒成立．21．（12分）已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．（1）若，，求數(shù)列的前2n項和；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列，的公差相等；②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點的直角坐標(biāo)為，過的直線與曲線相交于，兩點.（1）若的斜率為2，求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當(dāng)時，且，由于，則，即可求出.【詳解】由題意知：當(dāng)時，且由于，則可知：，則，∴，則，則.即.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，由分段函數(shù)解析式求自變量.2、A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容．【詳解】由程序框圖的運行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規(guī)律可知：滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，所以判斷框中的條件應(yīng)是i＜1．故選：A．【點睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時算法結(jié)束，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時，有最大值為，即，故..當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.4、D【解析】

原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當(dāng)t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調(diào)遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．由，可得，即a＜2．∴實數(shù)a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題，關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.5、D【解析】

根據(jù)題干得到點A坐標(biāo)為，代入拋物線得到坐標(biāo)為，再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形，設(shè)直線OA為，設(shè)點A坐標(biāo)為，代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標(biāo)為，代入雙曲線得到故答案為：D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).6、D【解析】

由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標(biāo),即為中點到軸的距離.【詳解】解：由拋物線方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得兩點橫坐標(biāo)的和.7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關(guān)于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題，屬基礎(chǔ)題8、C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．9、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式可得，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，，構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得：又所以時，.故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：因為，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點睛】本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

先令，找出的關(guān)系，再令，得到的關(guān)系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數(shù)列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當(dāng)時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面，梯形上下邊長為和，高為，如圖所示，平面，所以底面積為，幾何體的高為，所以其體積為．點睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．14、【解析】

取基向量，，然后根據(jù)三點共線以及向量加減法運算法則將，表示為基向量后再相乘可得．【詳解】如圖：設(shè)，又，且存在實數(shù)使得，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬中檔題．15、60【解析】

根據(jù)二項式定理展開式通項，即可求得的系數(shù).【詳解】因為，所以，則所求項的系數(shù)為.故答案為：60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應(yīng)用，指定項系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況，其中有種情況是兩個球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識和組合數(shù)計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論即可求解；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍；（ii）設(shè)，通過轉(zhuǎn)化，討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解集為，的解集為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）（i）由（1）可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不符題意，當(dāng)時，因為有兩個零點，所以，解得，因為，且，所以存在，使得，又因為，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以存在，使得，綜上，；（ii）因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以單調(diào)遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.【點睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生的計算能力.19、（1）（2）（i）（ii）分布列見解析，【解析】

（1）先計算甲、乙、丙同學(xué)分別選擇D高校的概率，利用事件的獨立性即得解；（2）（i）分別計算每個事件的概率，再利用事件的獨立性即得解；（ii），利用事件的獨立性，分別計算對應(yīng)的概率，列出分布列，計算數(shù)學(xué)期望即得解.【詳解】（1）甲從五所高校中任選2所，共有共10種情況，甲、乙、丙同學(xué)都選高校，共有四種情況，甲同學(xué)選高校的概率為，因此乙、丙兩同學(xué)選高校的概率為,因為每位同學(xué)彼此獨立，所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為．（2）（i）甲同學(xué)必選校且選高校的概率為，乙未選高校的概率為，丙未選高校的概率為，因為每位同學(xué)彼此獨立，所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率為．（ii），因此，．即的分布列為0123因此數(shù)學(xué)期望為．【點睛】本題考查了事件獨立性的應(yīng)用和隨機變量的分布列和期望，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，實際應(yīng)用，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項與前項和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當(dāng)時,,代入所給的條件化簡可得,進而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解：．是各項不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當(dāng)時,,兩式作差,可得．當(dāng)時,滿足上式,則；證明：,當(dāng)時,,兩式相減得：即．即．又,,即．當(dāng)時,,兩式相減得：．?dāng)?shù)列從第二項起是公差為的等差數(shù)列．又當(dāng)時,由得,當(dāng)時,由,得．故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；證明：由,當(dāng)時,,即,,,即,即,當(dāng)時,即．故從第二項起數(shù)列是等比數(shù)列,當(dāng)時,．．另外,由已知條件可得,又,,因而．令,則．故對任意的恒成立．【點睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運用,需要熟練運用通項與前項和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項公式或證明等差數(shù)列等.同時也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項,再利用作商法證明.屬于難題.21、（1）（2）①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列，見解析【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進行求解；（2）①設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當(dāng)n為奇數(shù)時，得出；當(dāng)n