初中數(shù)學(xué)不等式與邏輯推理題50題含答案

初中數(shù)學(xué)不等式與邏輯推理題50題含答案

學(xué)校:姓名：班級(jí):考號(hào)：

一、解答題

1.拋物線y=f-(m+3)x+3〃?與x軸交于A、8兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)C.

(1)如圖1,若點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，△OBC為等腰直角三角形，求拋物線的解析式;

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)。(-2,5)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)M為直線下方拋物線上

一動(dòng)點(diǎn)，令四邊形BDCM的面積為S,求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-9,作直線PC,將直線PC向下

平移〃(〃>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線PC,若直線PC'與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

①直接寫(xiě)出〃關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫(xiě)出當(dāng)l<n<5時(shí)m的取值范圍.

2.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，對(duì)于任意兩點(diǎn)4,B,我們把A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)

值與它們縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值的和叫做A,8兩點(diǎn)間的折線距離，記作或A3).即：如果

A(%,y),35,必)，那么d()B)=|石一司

⑴已知A(2,l),B(-3,0),求出d(AB)的值:

(2)己知C(2,0),0(0,a),且d(知。)43,求a的取值范圍;

⑶已知M(0,2),N(0,-3),動(dòng)點(diǎn)尸(x,y),若P,M兩點(diǎn)間的折線距離與P,N兩點(diǎn)間

的折線距離的差的絕對(duì)值是3,直接寫(xiě)出y的值并畫(huà)出所有符合條件的點(diǎn)P組成的圖形.

3.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xQy中的線段A8,給出如下定義：線段A8上所有的點(diǎn)到x軸

的距離的最大值叫線段AB的界值，記作啊”如圖，線段AB上所有的點(diǎn)到無(wú)軸的最大

距離是3,則線段AB的界值也&=3.

（1）若A（-1,-2）,B（2,0）,線段A3的界值,線段A3關(guān)于直線y=2

對(duì)稱后得到線段C。，線段CO的界值叫。為；

（2）若E（-l,〃z）,F（2,777+2）,線段EF關(guān)于直線y=2對(duì)稱后得到線段G”；

①當(dāng)機(jī)<0時(shí)，用含的式子表示；

②當(dāng)唯〃=3時(shí)，陽(yáng)的值為:

③當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出"，的取值范圍.

4.某公司推出一款電子產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的日銷售量V（個(gè)）與銷售單

價(jià)x（元/個(gè)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.銷售單價(jià)、日銷售量、日銷售利潤(rùn)的幾組對(duì)應(yīng)值

如表：

銷售單價(jià)X（元/個(gè)）60657075

日銷售量y（個(gè)）1801308030

日銷售利潤(rùn)W（元）180019501600750

注：日銷售利潤(rùn)=日銷售量x（銷售單價(jià)-成本單價(jià)）

（1）求>關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）該產(chǎn)品的成本價(jià)是元/個(gè)，求日銷售利潤(rùn)w的最大值；

（3）直接寫(xiě)出單價(jià)x滿足什么條件時(shí)，銷售利潤(rùn)不低于1920元.

5.某班學(xué)生到公園進(jìn)行活動(dòng)，劃船的有22人，乘電動(dòng)車的有20人，乘過(guò)山車的有19

試卷第2頁(yè)，共10頁(yè)

人，既劃船又乘電動(dòng)車的有9人，既乘電動(dòng)車又乘過(guò)山車的有6人，既劃船又乘過(guò)山車

的有8人，并且有4人沒(méi)有參加上述3項(xiàng)活動(dòng)中任何一項(xiàng)活動(dòng)，問(wèn)這個(gè)班學(xué)生人數(shù)的可

能值是多少？

6.某個(gè)學(xué)生參加軍訓(xùn)，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，必須射擊10次，在第6、第7、第8、第9次

射擊中，分別得了9。環(huán)，8.4環(huán)，8.1環(huán)，9.3環(huán)，他的前9次射擊所得環(huán)數(shù)的平均值高

于前5次射擊所得的平均環(huán)數(shù).如果他要使10次射擊的平均環(huán)數(shù)超過(guò)8.8環(huán)，那么他在

第10次射擊中最少要得多少環(huán)？（每次射擊所得環(huán)數(shù)都精確到0.1環(huán)）

7.求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,[2x]+[2y]..[x]+[x+y]+[y].

8.某賓館底樓客房比二樓客房少5間，某旅游團(tuán)有48人.若全部安排底樓，每間房間

住4人，房間不夠；每間住5人，則有房間沒(méi)有住滿5人.又若全部安排住2樓，每間

住3人，房間不夠；每間住4人，則有房間沒(méi)有住滿4人.問(wèn)該賓館底樓有多少間客房？

9.一座大樓有4部電梯，如果每部電梯可?？咳龑樱ú灰欢ㄟB續(xù)三層，也不一定停最

低層），對(duì)大樓中的任意兩層，至少有一部電梯可在這兩層?？?問(wèn)：這座大樓最多有

幾層？

x2+4

10.解方程x——-2x=4.

11.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)x及任意正整數(shù)〃有[x]+x+,l+lx+N+?--+x+---=[nx].

12.已知0vavl,0v）vl,0vcvl,證明：a（l—0）1（1—a）中至少有一個(gè)不大

葉

13.設(shè)正數(shù)a,b,c,x,y,x滿足a+x=O+y=c+z=Z,證明；ay+hz+cx<k2.

14.已知實(shí)數(shù)b,c滿足4+〃+c=0,ac=l。，證明』+'+1<。?

abc

xyz,3

⑸己知2'z都是正數(shù),證明：標(biāo)E標(biāo)E環(huán)

16.下圖是某單位職工年齡（取正整數(shù)）的頻率分布圖（每組可含最低年齡但不含最高

值），根據(jù)圖中提供的信息回答下列問(wèn)題：

(1)該廠共有多少職工？

(2)年齡不小于38但小于44歲的職工人數(shù)占職工總?cè)藬?shù)的百分比是多少？

(3)如果42歲的職工有4人，那么42歲以上的職工有多少人？

(4)有人估計(jì)該單位職工的平均年齡在39歲與42歲之間，問(wèn)這個(gè)估計(jì)正確嗎？

17.某人到花店買花，他只有24元，打算買6支玫瑰和3支百合，但發(fā)現(xiàn)錢不夠，只

買了4支玫瑰和5支百合，這樣還剩下2元多錢.請(qǐng)你算一算：2支玫瑰和3支百合哪

個(gè)價(jià)格高？

18.某飲料廠生產(chǎn)A、B兩種礦泉水，每天生產(chǎn)B種礦泉水比4種礦泉水多10噸，4

種礦泉水比8種礦泉水每天多獲利潤(rùn)2000元，其中4種礦泉水每噸可獲利潤(rùn)200元，

B種礦泉水每噸可獲利潤(rùn)100元.

(1)問(wèn)：該廠每天生產(chǎn)A種，B種礦泉水各多少噸？

(2)由于江水受到污染，市政府要求該廠每天必須多生產(chǎn)10噸礦泉水，該廠決定響應(yīng)

市政府的號(hào)召，在每天的利潤(rùn)不超過(guò)原利潤(rùn)的情況下不少于8000元，該廠每天生產(chǎn)A

種礦泉水最多多少噸？

19.要使不等式》2一3萬(wàn)+240①與不等式(利-1)/+(3-⑼x-2<0②無(wú)公共解，求機(jī)的

取值范圍.

20.解不等式41—x—Jx+3>—

2

21.解不等式：

-x--+-2------x-->---x------x---2-

4x+34x+l4x-l4x-3

22.求滿足下列條件的最小正整數(shù)〃，使得對(duì)這樣的〃，有唯一的正整數(shù)上滿足

8n7

一<-----<—?

15n+k13

—5x+6/i

23.解不等式::—-------<1?

%-+5x+4

2x-lx+3

24.解不等式----->-----.

x-\x+1

試卷第4頁(yè)，共10頁(yè)

25.如果二次不等式：公2+8公+21<0的解是-7Vx<-l,求a的值.

26.某校參加全國(guó)數(shù)，理，化，計(jì)算機(jī)比賽的人數(shù)分別是20,16,x,20人.已知這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

27.某個(gè)學(xué)生參加軍訓(xùn)，進(jìn)行打靶訓(xùn)練，必須射擊10次，在第6次、第7次，第8次，

第9次射擊中，分別得到9.0環(huán)、8.4環(huán)、8.1環(huán)、9.3環(huán)，他的前9次射擊所得平均環(huán)

數(shù)高于前5次射擊所得平均環(huán)數(shù)，如果要使10次射擊的平均環(huán)數(shù)超過(guò)8.8環(huán)，那么他

第10次射擊至少要得多少環(huán)？（每次射擊環(huán)數(shù)精確到0.1環(huán)）

28.已知三個(gè)非負(fù)數(shù)a,b,c,滿足3a+?+c=5和2a+b—3c=1.若機(jī)=3a+b-7c,

求”的最大值和最小值.

29.今有濃度為5%,8%,9%的甲、乙、丙三種鹽水分別為60g,60g,47g,現(xiàn)要配制成濃

度為7%的鹽水100g.間甲鹽水最多可用多少克?最少可用多少克？

30.大學(xué)生小明列出了在一個(gè)學(xué)年度（從2009年3月到2010年1月，其中8月份放暑

假外出打工除外）每月零用錢數(shù)目及平均數(shù)和方差，并且作了兩點(diǎn)說(shuō)明.

月份3456791011121平均數(shù)X方差/

支出（元）904590304575X156045n765

說(shuō)明：（1）每學(xué)期開(kāi)學(xué)（3月和9月）因買學(xué)習(xí)參考書(shū)多用了一點(diǎn)錢；

（2）5月和10月因外出旅游用錢較多.

回家后拿出來(lái)正準(zhǔn)備給父母看的時(shí)候才發(fā)現(xiàn)，由于不小心10月份的數(shù)據(jù)及平均數(shù)被墨

水污染了，無(wú)法看清，在一旁玩的讀初三的鄰居小華看了說(shuō)：“沒(méi)關(guān)系，我可以將這2

個(gè)數(shù)算出來(lái)父母要小華去算，他果真算出來(lái)了.請(qǐng)問(wèn)小華是怎樣算的?這兩個(gè)數(shù)各是

多少？

31.某學(xué)校為了了解學(xué)生環(huán)保情況，對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行一次環(huán)保知識(shí)測(cè)試（分?jǐn)?shù)為整數(shù),

滿分為100分），根據(jù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)（最低53分）分別繪制如下統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖：

分?jǐn)?shù)59.5分以下59.5分以上69.5分以上79.5分以上89.5分以上

人數(shù)34232208

人數(shù)

▲

10..............—

8.........................——

7........——

5..............................——

3-—I-----

52.560.568.576.584.592.5100.5分?jǐn)?shù)

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖回答以下問(wèn)題：

(1)這次參加測(cè)驗(yàn)的總?cè)藬?shù)是多少？

(2)在76.5?84.5這一小組內(nèi)的人數(shù)為多少？

(3)這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的中位數(shù)落在哪個(gè)小組？

(4)成績(jī)?cè)?4.5~89.5之間的人數(shù)為多少？

'2015<%<2025

32.求滿足，20154x+)，+z<2025的不同的有序整數(shù)組(x,y,z)的個(gè)數(shù).

2015<x+2y+4z<2025

33.實(shí)際問(wèn)題：

各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為31的三角形有多少個(gè)？

問(wèn)題建模：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型。

在1?w這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)(可重復(fù))，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于〃，有

多少種不同的取法？

為了找到解決問(wèn)題的方法，我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化.

探究一：

在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)(可重復(fù))，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于4,有

多少種不同的取法？

第一步：在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

4,根據(jù)題意，有下列取法：1+4,2+3,2+4,3+2,3+4,4+1,4+2,4+3；而1+4與

4+1,2+3與3+2,…是同一種取法，所有上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有

土2+2土3=4='種不同的取法.

44

第二步：在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)相同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

4,有下列取法：3+3,4+4,因此有2種不同的取法.

綜上所述，在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)(可重復(fù))，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和

大于4,有土+2種不同的取法.

試卷第6頁(yè)，共10頁(yè)

探究二：

在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于5,有

多少種不同的取法？

第一步：在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

5,根據(jù)題意，有下列取法：1+5,2+4,2+5,3+4,3+5,4+2,4+3,4+5,5+1,5+2,

5+3,5+4；而1+5與5+1,2+4與4+2,…是同一種取法，所有上述每一種取法都重復(fù)

過(guò)一次，因此共有"2+2+3+2=6=口種不同的取法.

44

第二步：在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)相同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

5,有下列取法：3+3,4+4,5+5因此有3種不同的取法.

綜上所述，在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和

大于5,有^~^+3種不同的取法.

4

探究三：

在1?6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6,有

多少種不同的取法？（仿照探究二寫(xiě)出探究過(guò)程）

探究四：

在1?7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7,有

種不同的取法.

探究五：

在1?”（〃為偶數(shù)）這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于"，有種不同的取法.

探究六：

在1?”（〃為奇數(shù)）這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于〃，有種不同的取法.

問(wèn)題解決：

①各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為20的三角形有個(gè)；

②各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為31的三角形有個(gè).

34.已知直線//：y=-2x+10交y軸于點(diǎn)4,交x軸于點(diǎn)8,二次函數(shù)的圖象過(guò)A,B

兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)C,BC—4,且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)P/（xi,yi）,

P2（.X2,”），當(dāng)時(shí)，總有

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若直線，2：y=mx+n（n#10）,求證：當(dāng),〃=—2時(shí)，hllln

(3)E為線段BC上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線h：y=-2x+q過(guò)點(diǎn)C且交直線4E于點(diǎn)F,

求△A8E與面積之和的最小值.

35.己知矩形ABCZ)的邊AB=21,8c=19,r是給定的小于1的正實(shí)數(shù).

(1)在矩形ABC。內(nèi)任意放入114個(gè)直徑為1的圓.證明：在矩形A8C。內(nèi)一定還可以

放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這114個(gè)圓都沒(méi)有交點(diǎn)(也不在某個(gè)圓的內(nèi)部)：

(2)在矩形ABC。內(nèi)任意放入95個(gè)單位正方形(邊長(zhǎng)為1的正方形).證明：在矩形ABC。

內(nèi)一定還可以放入一個(gè)直徑為r的圓，它和這95個(gè)正方形都沒(méi)有交點(diǎn)(也不在某個(gè)正

方形的內(nèi)部).

36.將1,2,3...16這16個(gè)數(shù)分成8組(q，bt),(a2,3)，…，(如3)，若

14—卜----引=62.求(囚—仇尸+(/-4)"+-4)2的最小值.

必要時(shí)可以利用排序不等式(又稱排序原理)：設(shè)王工々4…4%,…4y，為兩

組實(shí)數(shù)，Z14Z24…4z”是％…4外的任一排列，貝IJ

%%+/力-1+…+x2z2+--x?zn<xly,+x2y2+---x?yn.

37.一個(gè)多位數(shù)N(NNIO)乘以11,得到一個(gè)新的數(shù)，我們把這個(gè)新數(shù)的首位和末位上

的數(shù)字去掉后剩下的數(shù)叫做多位數(shù)N的“留守?cái)?shù)”，如果兩個(gè)多位數(shù)的“留守?cái)?shù)”的數(shù)字相

同或之和相等，我們稱這兩個(gè)多位數(shù)為“攣生數(shù)如：???21x11=231,67x11=737,.,.21

和67的“留守?cái)?shù)”均為3(3=3),所以21和67是“攣生數(shù)”；再如：：36x11=396,

108x11=1188,...36的留守?cái)?shù)是9,108的“留守?cái)?shù)”的數(shù)字之和為9,9=1+8,所以36

和108是“李生數(shù)”.

(1)42的“留守?cái)?shù)”是_；42與2021_“攣生數(shù)”(填“是”或“不是”)；

(2)如果兩個(gè)兩位數(shù)”和N是“李生數(shù)”(MHN),其中M=10〃+A,N=Wc+d,且

3a+b=ll(a>b),c+d<10其中。，c均為1到9之間的整數(shù)，b,d均為0到9之間

的整數(shù)，求出所有符合條件的兩位數(shù)N.

38.某班期中考試結(jié)束后，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)分別是22人、

18人、20人，其中語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)有8人，語(yǔ)文和英語(yǔ)兩

科都獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)有9人，數(shù)學(xué)和英語(yǔ)兩科都獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)有

7人，并且語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科都沒(méi)有獲得90分以上的學(xué)生人數(shù)有5人.問(wèn)這個(gè)班

最少有幾個(gè)學(xué)生？最多有幾個(gè)學(xué)生.

39.某年級(jí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三門課程，期中考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：至少一門課上90分

的有200人，語(yǔ)文上90分的有122人，數(shù)學(xué)上90分的有82人，英語(yǔ)上90分的有90

試卷第8頁(yè)，共10頁(yè)

人,語(yǔ)文與數(shù)學(xué)兩科上90分的有48人，數(shù)學(xué)與英語(yǔ)兩科上90分的有28人，英語(yǔ)與語(yǔ)

文兩科上90分的有23人，問(wèn)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)三科都上90分的有幾人？

40.20人分為2組，每組10人，并且每組選出正、副組長(zhǎng)各一人，共有多少種不同的

方法？

41.(1)6本書(shū)分給2個(gè)人，每人3本，有多少種不同的分法？

(2)6本書(shū)分成2堆，每堆3本，有多少種不同的分法？

(3)6本書(shū)分成3堆，每堆的書(shū)本數(shù)分別是3,2,1,有多少種不同的分法？

(4)6本書(shū)分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分法？

42.(1)從10本不同的書(shū)中取3本書(shū)，分別送給3位朋友，每人恰好一本，共有多少

種不同的方法？

(2)從10本不同的書(shū)中任取3本書(shū)送給1位朋友，共有多少種不同的方法？

43.利用123,4,5,6共可組成

(1)多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？

(2)多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)？

(3)多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的4的倍數(shù)？

44.360可以被多少個(gè)不同的正整數(shù)整除(包括1和360在內(nèi))？

45.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為中心而為半徑的圓的內(nèi)部共有多少個(gè)格點(diǎn)？(格

點(diǎn)指的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))

46.現(xiàn)有2〃X2N的正方形方格棋盤，在其中任意的3〃個(gè)方格中各放一枚棋子，求證：

可以選出〃行和n列，使得3〃枚棋子都在這〃行和"列中.

47.設(shè)4，&，4,4，4，4是平面上6個(gè)點(diǎn)，其中任意3點(diǎn)不共線.

(1)如果這些點(diǎn)之間至少連有13條線段，證明：必存在4點(diǎn)，它們每?jī)牲c(diǎn)之間都有線

段連接；

(2)如果這些點(diǎn)之間只連有12條線段，證明(1)的結(jié)論不成立.

48.平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)(x,y)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，那么稱該點(diǎn)為整點(diǎn).證明：

在直角坐標(biāo)平面上不存在正27)邊形，使其各頂點(diǎn)都是整點(diǎn).

49.甲、兩人在畫(huà)有99x99個(gè)方格的場(chǎng)上玩游戲：甲先在場(chǎng)地中(不是四角)的一個(gè)方

格內(nèi)畫(huà)一個(gè)星號(hào)，乙則在畫(huà)有星號(hào)的圓周挨著的8個(gè)方格中任選一格畫(huà)上1個(gè)圓圈，然

后甲再在某個(gè)與己畫(huà)有星號(hào)的格子挨著的空格中畫(huà)一個(gè)星號(hào)，并一直繼續(xù)下去.如果甲

能成功地將星號(hào)畫(huà)入場(chǎng)地四角的任何一個(gè)角上的方格中，就算他獲勝.求證：不論乙怎

樣做，甲總能獲勝.

50.在，“x"的矩形方格表的每一個(gè)方格內(nèi)都寫(xiě)上一個(gè)+i或_i,每步操作允許改變?nèi)绫?/p>

所示兩種圖形之一的7個(gè)方格中所有數(shù)的符號(hào).問(wèn)：對(duì)怎樣的，”和〃可組合通過(guò)有限次

操作，使得表中所有的數(shù)都改變符號(hào)？

GFAC

EE

二J

51.將2011塊玻璃片，每塊染有紅、黃、三色之一，進(jìn)行下列操作：將不同顏色的兩

塊玻璃片干凈，然后涂上第三種顏色.求證：

(1)無(wú)論開(kāi)始時(shí)，紅、黃、藍(lán)色玻璃片各自多少塊，總可以經(jīng)過(guò)有限次操作而使所有

玻璃片涂有同一種顏色；

(2)最后變成哪一種顏色與操作順序無(wú)關(guān).

52.在8x8或7x7的棋盤上的一枚棋子每次只能向上或向右或向左下方走一格.問(wèn)這枚

棋子能否從棋盤左下角的方格出發(fā)走遍所有方格恰好一次？

試卷第10頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案:

1.(l)y=x2-2x-3

(3)①〃=—(3-，〃)2,

4

②3-2逐4機(jī)41或者54，w43+2石

【解析】

【分析】

(1)先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OB=OC,即可求出機(jī)的值，

則問(wèn)題得解；

(2)用待定系數(shù)法求出直線。C、3c的解析式，設(shè)OC交x軸于T點(diǎn)，作直線E尸于拋物線

相切，切點(diǎn)為M,且EFHBC,EF交x軸于E點(diǎn)，交y軸于F點(diǎn)，即可得到T點(diǎn)坐標(biāo)，則

△OC8的面積可求，四邊形BOCM的面積S等于△OCB的面積加上△BCM的面積，要求S

的最大值即轉(zhuǎn)變?yōu)橐骬BCA/的面積最大值，根據(jù)瓦7/以及直線8C的解析式為

y=x-3,設(shè)直線EF的解析式為y=x+力，再根據(jù)兩線相切的性質(zhì)，根據(jù)聯(lián)立直線EF

與拋物線方程即可得到直線EF的解析式，即可求出M點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)ABCM的面積最大，

根據(jù)平行的性質(zhì)可知△BCM的面積等于△8CE的面積，則△8cM的面積可求,即問(wèn)題得解；

(3)①先用待定系數(shù)法求解出直線CP的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)得到直線CP的解析

式，聯(lián)立直線C'P和拋物線的解析式即可得到一個(gè)含加、〃的一元二次方程，根據(jù)直線和拋

物線相切可知該一元二次方程有兩個(gè)相同的根，即判別式△=(),即可求求解；②根據(jù)①的

結(jié)果和n的取值范圍，即可得到關(guān)于m的一元二次不等式，解該不等式即可求解.

(1)

由y=x?-(，〃+3)x+3，〃可得：y=(x-3)(x-m),

當(dāng))=0時(shí)有m3或者m,

則拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(3,0)、(見(jiàn)0)

：A點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，

點(diǎn)坐標(biāo)為(九0),8點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

：.OB=3,

答案第1頁(yè)，共39頁(yè)

,..△OBC是等腰直角三角形，

/.OC=OB=3,

，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),

???c點(diǎn)在拋物線上，則代入C點(diǎn)坐標(biāo),

可得3〃?=-3,得m=-\,

拋物線的解析式為：y=--2x—3；

(2)

在(1)的條件下，

VD(-2,5),C(0,-3),

.,.設(shè)直線OC的解析式為丫=去+3

-2k+b=5k=-4

??有：b=-3，解得

b=-3‘

則設(shè)直線DC的解析式為y=Tx-3,

同理可求得設(shè)直線BC的解析式為y=x-3,

如圖，設(shè)0c交x軸于T點(diǎn)，作直線環(huán)于拋物線相切，切點(diǎn)為M,且EF也BC,EF交x軸

于E點(diǎn)，交y軸于/點(diǎn)，

VEFIIBC,直線的解析式為＞=x—3,

???設(shè)直線EF的解析式為尸=x+Z,

???直線DC的解析式為y=-4x-3,

3

???。。與x軸的交點(diǎn)7坐標(biāo)易求得為

4

3315

.?.0T=-,即BT=0TWB=一+3=—,

444

.?.△ACB的面積為：SzxDCB=；x8Tx(%-yc)=gx?x(5+3)=15,

/.四邊形BDCM的面積S等于△DCB的面積加上ABCM的面積，

答案第2頁(yè)，共39頁(yè)

,..△OC8的面積為定值15,

二要求S的最大值即轉(zhuǎn)變?yōu)橐?BCM的面積最大值，

當(dāng)EF與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)為M此時(shí)所作的△8C/的面積最大,

y=x+t

聯(lián)立:

y=x2-2x-3

得：x2—3x—3—t=0,

與拋物線相切，

二x2-3x-3-f=0有兩個(gè)相同的根，

71

AA=(-3)2-4xlx(-3-r)=0,解得七一丁，

則直線EF的解析式為y=x-m，

4

2121

???可求得E點(diǎn)坐標(biāo)為：(二,0),即。/二,

44

219

：.BE=OE-OB=--3=-

44

連接CE,

EFIIBC,

...△BCM的面積等于△8CE的面積,

二四邊形BDCM的面積S的最大值為S=SgcM+S^=—+^=—,

BCDoo

3

r2O1x=—

聯(lián)立：)V=X---4,解得：聯(lián)立：7t,

y=x2-2x-3——

3is

則M點(diǎn)的坐標(biāo)為U，9),

24

即最大面積為14彳7，M點(diǎn)的坐標(biāo)為弓3,15當(dāng)：

o24

(3)

①根據(jù)拋物線對(duì)稱軸x=-二可得x=-4?="口

2a22

???P的坐標(biāo)為('字,-9),

答案第3頁(yè)，共39頁(yè)

令x=0,得產(chǎn)3小，

???C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3〃?),

設(shè)直線CP的解析式為：y=2b,

桃+3,,八

.------k+b=-9k=-6

則mI有2,解得

b=3m

b=3m

則直線CP的解析式為：>=-6犬+3”,

???根據(jù)平移的性質(zhì)可知，直線CP的解析式為：y=-6x+36-小

y=x2一(〃2+3)%+3加

聯(lián)立:

y=-6x+3m-n

得方程：f+(3一/%)/+〃=。,

直線CP與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

:.f+(3-m)x+〃=0有兩個(gè)相同的根,

，△=(3—機(jī)產(chǎn)-4〃=0,即(3—加了一4〃=0,

/.n=—(3-m)2,

4

Vn>0,

/./熾3,

即〃=』(3￥,加#3,

4

②?:l<n<5,

Al<-(3-m)2<5,

4

A2<|3-/7?|<2>/5,

二243-根42百或者24機(jī)一342后,

???3-2石4機(jī)41或者54機(jī)43+2后,

二切的取值范圍為：3-2后或者54〃?43+26.

【點(diǎn)睛】

本題是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合題，主要考查了拋物線的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解函數(shù)

解析式、平行的性質(zhì)、拋物線與直線相切的性質(zhì)、根據(jù)根的情況求利用一元二次方程的判別

答案第4頁(yè)，共39頁(yè)

式求系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次不等式的知識(shí)，熟練掌握拋物線的性質(zhì)以及拋物線與直線相

切的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

2.(1)6

(2)-1<47<1

(3)產(chǎn)1或產(chǎn)-2,畫(huà)圖見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意給出的公式即可求出答案；

(2)根據(jù)題意給出的公式列出不等式后即可求出?的取值范圍；

(3)根據(jù)題意給出的等量關(guān)系列出等式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)

解:6/(A,B)=|2-(-3)|+|l-0|=5+l=6;

⑵

解：根據(jù)題意得：J(C,￡>)=|2-0|+|0-?|<3

得2+時(shí)43

解得—；

(3)

解：d(P,M)=W+|y—2|,d(P,N)=W+|y+3]

由題意可得：收-2|一1+3||=3

當(dāng)y<-3時(shí)，等式的左邊=5,此時(shí)不滿足題意

當(dāng)-3vy<2時(shí)，等式的左邊=|2y+l|

故|2y+l|=3

解得v=l或y=-2

當(dāng)y>2時(shí)，等式的左邊=5,此時(shí)不滿足題意

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,l)或(x,-2)

畫(huà)圖如下：

答案第5頁(yè)，共39頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，新定義，解題的關(guān)鍵是正確理解題意給出的公式.

3.(1)2,6

⑵①WGH=4-，〃；1,5；5<m<l

【解析】

【分析】

(1)由對(duì)稱的性質(zhì)求得C、。點(diǎn)的坐標(biāo)即可知明0=6.

(2)由對(duì)稱的性質(zhì)求得G點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4-機(jī))，，點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2-m)

①因?yàn)椋?lt;0,故4-機(jī)>2-機(jī)>0,則叫H=4-"?

②需分類討論|4-詞和|2-討的值大小，且需要將所求m值進(jìn)行驗(yàn)證.

③需分類討論，當(dāng)|4一叫>|2-時(shí)，則34|4-司45且12rH43,當(dāng)R-時(shí)<|2-討，貝U

3<|2-w|<5JL|4-W|<3,再取公共部分即可.

(1)

線段A8上所有的點(diǎn)到x軸的最大距離是2,則線段AB的界值％B=2

線段AB關(guān)于直線y=2對(duì)稱后得到線段CO,C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,6),。點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),線

段C。上所有的點(diǎn)到x軸的最大距離是6,則線段8的界值以。=6

(2)

設(shè)G點(diǎn)縱坐標(biāo)為〃，“點(diǎn)縱坐標(biāo)為〃

答案第6頁(yè)，共39頁(yè)

,口。+相cb+m+2C

由題意有:一=2,---=2

22

解得〃二4-加，b=2-m

故G點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4-m)，〃點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2-/7?)

①當(dāng)"2<0,4-機(jī)>2-6>0

故叱7,=4-/77

②若|4-時(shí)＞|2—川,貝“4一川=3

即m=［或加=7

當(dāng)初=1時(shí)，|4一同=3,|2-訓(xùn)=1,符合題意

當(dāng)機(jī)=7時(shí)，|4一同二3,|2-詞=5,|4-詞＜|2-詞，不符合題意，故舍去.

若［4一詞＜|2—耳，則|2—詞=3

HPm=-1或m=5

當(dāng)初二-1時(shí)，|4—討=5,|2—何=3,|4—時(shí)＞|2—詞，不符合題意，故舍去

當(dāng)，片5時(shí)，|4—時(shí)=1,|2—叫=3,符合題意.

則%/=3時(shí)，機(jī)的值為1或5.

③當(dāng)14—討>|2_討,則344_川W5且|2-討W3

故有3?|4-時(shí),

解得帆￡1,m>l

|4-同(5,

解得一14根49

故一1?加(1,7<m<9

|2-小3

解得-14〃?<5

故-1<m<\

當(dāng)|4_刑<|2_m|,plij3<|2-A7?|<5K|4-A?/|<3

故有342—對(duì)，

答案第7頁(yè)，共39頁(yè)

解得加工一1,m>5

|2-/?z|<5,

解得一34加工7

Ai-3<m<-l,5<m<7

|4-77?|<3

解得\<m<l

5<m<7

綜上所述，當(dāng)34叱汨<5時(shí)、m的取值范圍為一14機(jī)<1和5（“（7.

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)軸中對(duì)稱變化和含絕對(duì)值的不等式，本題不但要分類討論4-/H和2-m的大小

關(guān)系，還有去絕對(duì)值的情況是解題的關(guān)鍵.|x|〈a的解集為-“4x4a,|乂2。的解集為x4-a,

x^a.

4.（1）y=-10x+780；（2）50,w最大為i960元；（3）當(dāng)62WxW66時(shí)，銷售利潤(rùn)不低

于1920元.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法可找出〉關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）利用產(chǎn)品的成本單價(jià)=銷售單價(jià)-每個(gè)的利潤(rùn)可求出產(chǎn)品的成本單價(jià)，由日銷售利潤(rùn)

=日銷售量x（銷售單價(jià)-成本單價(jià)）列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；

（3）根據(jù)銷售利潤(rùn)不低于1920元列出關(guān)于x的一元二次不等式，解不等式即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)》關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為丫=履+以

把（60,180）,（65,130）代入得:

j60k+b=180

[65k+b=130'

解得：|fbk=7-81。0’

關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=-10x+780；

答案第8頁(yè)，共39頁(yè)

（2）由表中數(shù)據(jù)知，當(dāng)x=60時(shí)，y=180,卬=1800,

...該產(chǎn)品的成本價(jià)為60-1800+180=50（元八個(gè)）,

故答案為：50；

根據(jù)題意得，w=（x-50）（-10x+780）,

Aw=\Ox2+1280x-39000=-10（x-64y+1960,

，當(dāng)x=64時(shí)，w最大為1960元；

（3）由題意得：-10（x-64）2+196021920,

BP-10（X-64）2>-40,

解得：62<x<66>

.?.當(dāng)624尤466時(shí),銷售利潤(rùn)不低于1920元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次不等式的應(yīng)用，解

題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出二次函數(shù)解析式；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元二次不等式.

5.這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)可能是42,43,44,45,46,47,48.

【解析】

【分析】

【詳解】

解設(shè)3項(xiàng)活動(dòng)都參加了的學(xué)生有"人，于是由容斥原理/知至少參加了一項(xiàng)活動(dòng)人數(shù)為

22+20+19—（9+6+8）+〃=38+〃.

所以，這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)為38+"+4=42+〃.

另一方面參加了兩項(xiàng)活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)分別是9,6,8,所以

故42442+7448.

綜上所述，這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)可能是42,43,44,45,46,47,48.

6.第10次最少要得9.9環(huán).

【解析】

【分析】

【詳解】

答案第9頁(yè)，共39頁(yè)

9.設(shè)前5次射擊所得平均環(huán)數(shù)為a,第10次擊中x環(huán)，依題意

5a+9.0+8.4+8.1+9.3

a<9，

cc5a+9.0+8.4+8.1+9.3+x

8.8<------------------------.

10

②

由①得av8.7,從而5a<5x8.7-0.1=43.4.

由②得x>88—34.8—5aN53.2—43.4=9.8,所以x29.9,即第10次最少要得9.9環(huán).

7.見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)x=[x]+a,y=[y]+;?=〃+A，其中04a,￡<1,相，”為整數(shù).

(1)若04a<g,04夕<:，則042夕<1,042/<1,040+夕<1.這時(shí)有

[2x]+[2y]=[2m+2a]+[2m+2j3]=2m+2n,

[x]+[x+y]+[y]

=[m+a]+[(m+n)+(a+jS)]+In+/7]

=m+(tn+〃)+n=2m+2n,

所以[2x]+[2y]=[幻+[x+y]+[y].

(2)若g4a<l,g4〃<l,則1W2a<2,1W2/<2,14a+A<2.這時(shí)有

[2x]+[2y]=[2m+2a]+[2n+2J3]=2m+1+2n+1

=2m+2〃+2,

[x]+[x+y]+[y]=[/n+a]+[(機(jī)+〃)+(a+/?)]+[n+/?]

=tn+(m+n)+l+n=2m+2〃+1.

所以[2x]+[2y]>[x]+[x+y]+[y].

(3)若04a(；4a<1,046的情況類似)，這時(shí)有042a<1,

13

1<2^<2,-<a+y0<1,這時(shí)有

[2x]+[2y]=\2m+2a]+[2n+2J3]=2/n+2n+l,

答案第10頁(yè)，共39頁(yè)

[x]+[x+)[+[)]=〃?+[(，”+〃)+(4+/?)]+〃，2m+2n+l.

綜上所述，不論何種情況，都有

[2x]+[2y]<[x]+[x+y]+[y].

8.賓館的底樓有客房10間

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)底樓有x間客房，則2樓有(x+5)間客房.

4元<48

5x>48

簡(jiǎn)L八依題意4可得不等式組

3(x+5)<48

4"+5)>48

解不等式組得9.6<x<ll.又x為正整數(shù)，所以x=10.

答：賓館的底樓有客房10間.

9.這座大樓最多有5層

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)大樓有w層，則樓層對(duì)的個(gè)數(shù)為與2每架電梯停3層，有等=3個(gè)樓層對(duì)，

所以4x34若?，〃(〃一1)<24,且〃為正整數(shù)，所以〃45.設(shè)置4部電梯使它們停靠的樓

層分別為

(1,4,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3)滿足題目要求，故這座大樓最多有5層.

4

10.x=T或不

【解析】

【分析】

【詳解】

原方程中顯然XHO,故原方程可化為11+(2)2]-2=上又

l+(-)2l-2=l+[(-)21-2=f(-)2Ll,

答案第11頁(yè)，共39頁(yè)

故原方程可化為[(2)2],+1,

XX

所以上4為整數(shù)，設(shè)4(〃為整數(shù))，原方程又化為[上]=〃+1.

xx4

幾2

于是774-1<—<〃+2,

4

即卜：-4〃-4*0,卜<2(1-揚(yáng)或"±2(1；"=2(1一君)4”<2(1-a)

[?--4/7-8<0l2(l-V3)<n<2(1+73)

或.2(1+播)<“<2(1+及.

.,、、4

又〃為整數(shù)，所以〃=-1或%=5,故x=-4或不

11.見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)a=x-[x],則04〃41,于是存在小于"的正整數(shù)r,使34a<￡

nn

故[%]-----<x<[x]-\—,

nn

故當(dāng)0K左<〃一r時(shí)，[xl[x]H-----WxH—<[x]H---1-----=[xl—1,

nnnn

故x+—=[x](0<Z:<z?-r)

當(dāng)"一〃一1時(shí)，

r1.r-1r-17?-r4-l%「1廠n-\「].r-1「】1

lxl+1=1x1+---+-------<x+—<|x|+-+----=x+1+----<xl+1

nnnnnn

k

故x+—=[x]+1(/?-/?+1<Z:</?-1),

1n-\/「i1n-r.n-r+\

于是［幻+x+—+…+x+----=(x+x+—+…+x+----)x+(x++

nnnnn

n—r+2f2—|

x+-------+???+xd-----)=(n-r+l)[x]+(r-l)([x]+l)=n[x]+r-1(1).

n

又因?yàn)?nxV〃[x]+r,所以[nx]=n[x]+r-l(2).

由①及②便知要證等式成立.

12.見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

答案第12頁(yè)，共39頁(yè)

【詳解】

因如一)<佇(詈)=；,同理業(yè)(1-勿<|,Jc(l-c)<1三式平方后相乘得

“(1-力3(1-c)?c(l-/4(；)3故—。)力(1—c),c(l—a)中至少有一個(gè)不大于;.

13.見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

因k'=(a+x)S+y)(c+z)=ahc+xyz+ay(c+z)+bz(a+x)+cx(h+y)

-abc+xyz+k^ay+bz+cx)>k(ay+bx+ex).

又%>0,所以ay+hz+cxcZ?.

14.見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

因而:=10,故a,b,c都不為零.又(a+/?+c尸=/+6?+c?+2(M+〃c+ca)=0且

,?,，LL,、，.，八▼口111he+ca+ah-

a+b~+c2>0，所以aZ>+8c+aa<0,于是一+:+—=----；-------<0.

abcabc

15.見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

利用不等式，石W竽(a20力20)得

x_xj(x+y)(x+z)H(x+y)+(x+z)]_1(v?x)①

J(x+y)(x+z)(x+y)(x+z)*2(x+y)(x+z)2x+yx+z'

\j(y+x)(y+z)2y+xy+z

z1zz

"(z+x)(z+y)③由①+②+③即得要證不等式?

16.(1)50；(2)60%；(3)15人；(4)正確

答案第13頁(yè)，共39頁(yè)

【解析】

【分析】

【詳解】

(1)職工人數(shù)=4+7+9+11+10+6+3=50；

(2)年齡不小于38但小于44歲職工人數(shù)占職工總數(shù)的百分比為竺?3x100%=60%；

(3)年齡在42歲以上職工人數(shù)=(10+6+3)-4=15(人)；

(4)設(shè)該廠職工的年齡平均值為7,則

X

n>^(34x4+36x7+38x9+40x11+42x10+44x6+46x3)=

1992=39.84>39且

51O

n<^(36x4+38x7+40x9+42x11+44x10+46x6+48x3)=

5O2092=41.84<42,故所作

的估計(jì)是正確的.

17.2支玫瑰的價(jià)格高于3支百合的價(jià)格.

【解析】

【分析】

【詳解】

解設(shè)玫瑰每支x元，百合每支y元，依題意得

]6x+3y>24①

(4工+5)，=24-2②

②x3-①x2得9y<18,故y<2.

①x5-②x3得18x>54,故x>3.

答：2支玫瑰的價(jià)格高于