小學(xué)數(shù)學(xué)所有概念、定律、公式、單位換算、典型應(yīng)用題

小學(xué)教學(xué)概念、定律、公式、問(wèn)麻靴換算

方程、代數(shù)與等式

等式:等號(hào)左邊的數(shù)值與等號(hào)右邊的數(shù)值相等的式子叫做等式。

等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)相同的數(shù)，等式仍然

成立。

方程式:含有未知數(shù)的等式叫方程式。

一元一次方程式:含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的等式叫做

一元一次方程式。學(xué)會(huì)一元一次方程式的例法及計(jì)算。即例出代有X的算

式并計(jì)算。

代數(shù):代數(shù)就是用字母代替數(shù)。

代數(shù)式:用字母表示的式子叫做代數(shù)式。如：3x=ab+c

分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù):把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數(shù)，叫做分

數(shù)。

分?jǐn)?shù)大小的比較:同分母的分?jǐn)?shù)相比較，分子大的大，分子小的小。異分

母的分?jǐn)?shù)相比較，先通分然后再比較；若分子相同，分母大的反而小。

分?jǐn)?shù)的加減法則:同分母的分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異

分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后再加減。

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。

分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。

分?jǐn)?shù)的加、減法則:同分母的分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

異分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后再加減。

倒數(shù)的概念：如果兩個(gè)數(shù)乘積是1,我們稱一個(gè)是另一個(gè)的倒數(shù)。這兩個(gè)數(shù)互

為倒數(shù)。I的倒數(shù)是I,0沒有倒數(shù)。

分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），分

數(shù)的大小。

分?jǐn)?shù)的除法則：除以一個(gè)數(shù)（0除外），等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。

真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或

等于1。

帶分?jǐn)?shù)：把假分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的形式，叫做帶分?jǐn)?shù)。

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），分

數(shù)的大小不變。

比

什么叫比:兩個(gè)數(shù)相除就叫做兩個(gè)數(shù)的比。如：2+5或3:6或1/3比的前

項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），比值不變。

什么叫比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。如3:6=9:18

比例的基本性質(zhì):在比例里，兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積。

解比例:求比例中的未知項(xiàng),叫做解比例。如3:x=9:18

正比例:兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著化，如果這兩種

量中相對(duì)應(yīng)的的比值（也就是商k）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，

它們的關(guān)系就叫做正比例關(guān)系。如：y/x=k（k一定）或kx=y

反比例:兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩

種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的

關(guān)系就叫做反比例關(guān)系。如：xXy=k（k一定）或k/x=y

百分?jǐn)?shù)

百分?jǐn)?shù):表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)也

叫做百分率或百分比。

把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分

號(hào)。其實(shí)，把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，只要把這個(gè)小數(shù)乘以100%就行了。把百分

數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。

把分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)，通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位

小數(shù)），再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。其實(shí)，把分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)，要先把分?jǐn)?shù)化

成小數(shù)后，再乘以100%就行了。

把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù),先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù),能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

要學(xué)會(huì)把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)和把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的化發(fā)。

倍數(shù)與約數(shù)

最大公約數(shù):幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這兒個(gè)數(shù)的公約數(shù)。公因數(shù)有有限

個(gè)。其中最大的一個(gè)叫做這兒個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最小公倍數(shù):幾個(gè)數(shù)公

有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)有無(wú)限個(gè)。其中最小的一個(gè)叫

做這兒個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

互質(zhì)數(shù):公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。相臨的兩個(gè)數(shù)一定互質(zhì)。

兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)一定互質(zhì)。1和任何數(shù)互質(zhì)。

通分:把異分母分?jǐn)?shù)的分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母的分?jǐn)?shù)，叫做通

分。（通分用最小公倍數(shù)）

約分:把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以公約數(shù)，分?jǐn)?shù)值不變，這個(gè)過(guò)程

叫約分。

最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù):分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)計(jì)算到最后,

得數(shù)必須化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)

數(shù)（或素?cái)?shù)）。

合數(shù):一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。1

不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

質(zhì)因數(shù):如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)就是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因

數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù):把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相成的方式表示出來(lái)叫做分解質(zhì)因數(shù)。

倍數(shù)特征:

2的倍數(shù)的特征:各位是0,2,4,6,8o

3（或9）的倍數(shù)的特征:各個(gè)數(shù)位上的數(shù)之和是3（或9）的倍數(shù)。

5的倍數(shù)的特征:各位是0,5O

4（或25）的倍數(shù)的特征:末2位是4（或25）的倍數(shù)。

8（或125）的倍數(shù)的特征:末3位是8（或125）的倍數(shù)。

7（11或13）的倍數(shù)的特征:末3位與其余各位之差（大-小）是7（11

或13）的倍數(shù)。

17（或59）的倍數(shù)的特征:末3位與其余各位3倍之差（大-小）是17

（或59）的倍數(shù)。

19（或53）的倍數(shù)的特征:末3位與其余各位7倍之差（大-小）是19

（或53）的倍數(shù)。

23（或29）的倍數(shù)的特征:末4位與其余各位5倍之差（大-小）是23

（或29）的倍數(shù)。

倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，最大公約數(shù)為較小數(shù)，最小公倍數(shù)為較大數(shù)。

互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，最大公約數(shù)為1,最小公倍數(shù)為乘積。

兩個(gè)數(shù)分別除以他們的最大公約數(shù)，所得商互質(zhì)。

兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的約數(shù)。

1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

用6去除大于3的質(zhì)數(shù)，結(jié)果一定是1或5。

奇數(shù)與偶數(shù)

偶數(shù):個(gè)位是0,2,4,6,8的數(shù)。

奇數(shù):個(gè)位不是0,2,4,6,8的數(shù)。

偶數(shù)土偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)土奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)土偶數(shù)=奇數(shù)

偶數(shù)個(gè)偶數(shù)相加是偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加是奇數(shù)。

偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)義奇數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

相臨兩個(gè)自然數(shù)之和為奇數(shù)，相臨自然數(shù)之積為偶數(shù)。

如果乘式中有一個(gè)數(shù)為偶數(shù)，那么乘積一定是偶數(shù)。

奇數(shù)W偶數(shù)

整除

如果cIa,cIb,那么cI(a±b)

如果，那么bIa,cIa

如果b|a,c|a,且(b,c)=l,那么beIa

如果c|b,b|a,那么c|a

小數(shù)

自然數(shù):用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的整數(shù)，叫做自然數(shù)。0也是自然數(shù)。

純小數(shù):個(gè)位是0的小數(shù)。

帶小數(shù):各位大于。的小數(shù)。

循環(huán)小數(shù):一個(gè)小數(shù)，從小數(shù)部分的某一位起，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次

不斷的重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。如3.141414

不循環(huán)小數(shù):一個(gè)小數(shù)，從小數(shù)部分起，沒有一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字依次不

斷的重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做不循環(huán)小數(shù)。如3.141592654

無(wú)限循環(huán)小數(shù):一個(gè)小數(shù)，從小數(shù)部分到無(wú)限位數(shù)，一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字

依次不斷的重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做無(wú)限循環(huán)小數(shù)。如3.141414……

無(wú)限不循環(huán)小數(shù):一個(gè)小數(shù)，從小數(shù)部分起到無(wú)限位數(shù)，沒有一個(gè)數(shù)字或

兒個(gè)數(shù)字依次不斷的重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。如

3.141592654.......

算術(shù)定律

1、加法交換律：兩數(shù)相加交換加數(shù)的位置，和不變。

2、加法結(jié)合律:a+b=b+a

3、乘法交換律:aXb=bXa

4、乘法結(jié)合律:aXbXc=aX(bXc)

5、乘法分配律:aXb+aXc=aXb+c

6、除法的性質(zhì):a4-b4-c=a4-(bXc)

7、除法的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù),

商不變。0除以任何不是。的數(shù)都得0。

8、簡(jiǎn)便乘法：被乘數(shù)、乘數(shù)末尾有。的乘法，可以先把。前面的相乘，0

不參加運(yùn)算，有兒個(gè)。都落下，添在積的末尾。

9、有余數(shù)的除法：被除數(shù)=商乂除數(shù)+余數(shù)

四則運(yùn)算規(guī)則

1.加法交換律：

兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+ao

2.加法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)

相加,再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。

3.乘法交換律：

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即aXb=bXa。

4.乘法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)

相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變，即(aXb)Xc=aX(bXc)。

5.乘法分配律：

兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)

積相加,(a+b)Xc=aXc+bXc。

6.減法的性質(zhì)：

從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去兒個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不

變，即a-b-c=a-(b+c)。

7.除法的運(yùn)算性質(zhì)：

一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的積，等于這個(gè)數(shù)依次除以積的兩個(gè)因數(shù)。即a-(bXc)

=a4-b4-c

數(shù)量關(guān)系計(jì)算公式

1、每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)總數(shù)+每份數(shù)=份數(shù)總數(shù)+份數(shù)=每份數(shù)

2、1倍數(shù)X倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù)倍數(shù)=倍數(shù)幾倍數(shù)+倍數(shù)=1倍

數(shù)

3、速度X時(shí)間=路程路程+速度=時(shí)間路程?時(shí)間=速度

4、單價(jià)X數(shù)量=總價(jià)總價(jià)+單價(jià)=數(shù)量總價(jià)+數(shù)量=單價(jià)

5、工作效率X工作時(shí)間=工作總量工作總量+工作效率=工作時(shí)間

工作總量+工作時(shí)間=工作效率

6、加數(shù)+加數(shù)=和和---個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)

7、被減數(shù)一減數(shù)=差被減數(shù)一差=減數(shù)差+減數(shù)=被減數(shù)

8、因數(shù)X因數(shù)=積積—一個(gè)因數(shù)=另一個(gè)因數(shù)

9、被除數(shù)+除數(shù)=商被除數(shù)+商=除數(shù)商X除數(shù)=被除數(shù)

數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式

1、正方形

C：周長(zhǎng)S：面積a：邊長(zhǎng)

1)周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)X4C=4a

2)面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)S=aXa

2、正方體

V：體積a：棱長(zhǎng)

1）表面積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X6$表=a*@*6

2）體積=棱長(zhǎng)義棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)V=aXaXa

3、長(zhǎng)方形

C：周長(zhǎng)S：面積a：邊長(zhǎng)

1）周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）X2C=2（a+b）

2）面積=長(zhǎng)乂寬S=ab

4、長(zhǎng)方體

V：體積s：面積a：長(zhǎng)b：寬h：[Wj

1）表面積（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬X高）X2S=2（ab+ah+bh）

2）體積=長(zhǎng)乂寬乂高V=abh

5、三角形

S：面積a：底h：I^J

面積=底*圖+2S=ah4-2

三角形高=面積X2?底

三角形底=面積X2+高

6、平行四邊形

S：面積a：底h：IWJ

面積=底乂高S=ah

7、梯形

S：面積a：上底b：下底h：1W1

面積=(上底+下底)X高+2S=(a+b)Xh+2

8、圓形

S：面積C：周長(zhǎng)€1=直徑廠半徑

周長(zhǎng)=直徑Xn=2XJIX半徑C=nd=2nr

面積=半徑X半徑義nS=Jir2

9、圓柱體

V：體積h：高S；底面積r：底面半徑c：底面周長(zhǎng)

1)側(cè)面積=底面周長(zhǎng)X高S=ch

2)表面積=側(cè)面積+底面積X2S=2JIr+2nrh=2(d4-2)+2n

(d+2)h=2n(C4-24-Ji)+Ch

3)體積=底面積X高V=Jirh=Ji(d4-2)h=Ji(C4-24-JI)h

4)體積=側(cè)面積+2X半徑

10、圓錐體

V：體積h：高S：底面積r：底面半徑

體積=底面積X高+3V=Sh+3="rh+3=兀（d+2）h:3=n（C+2+n）

h+3

和差問(wèn)題

（和+差）+2=大數(shù)

（和一差）+2=小數(shù)

和倍問(wèn)題

和土（倍數(shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

（或者和一小數(shù)=大數(shù)）

差倍問(wèn)題

差?（倍數(shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

（或小數(shù)+差=大數(shù)）

植樹問(wèn)題

1.非封閉線路上的植樹問(wèn)題主要可分為以下三種情形：

（1）、如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么：

株數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)七株距一1

全長(zhǎng)=株距x（株數(shù)一1）

株距=全長(zhǎng)?。ㄖ陻?shù)一1）

⑵、如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)十株距

全長(zhǎng)=株距X株數(shù)

株距=全長(zhǎng)+株數(shù)

⑶、如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么：

株數(shù)=段數(shù)一1=全長(zhǎng)七株距一1

全長(zhǎng)=株距x（株數(shù)+1）

株距=全長(zhǎng)+（株數(shù)+1）

2.封閉線路上的植樹問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如下

株數(shù)=段數(shù)=全長(zhǎng)七株距

全長(zhǎng)=株距X株數(shù)

株距=全長(zhǎng)+株數(shù)

盈虧問(wèn)題

（盈+虧）+兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

（大盈一小盈）：兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

（大虧一小虧）?兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)

相遇問(wèn)題

相遇路程=速度和X相遇時(shí)間

相遇時(shí)間=相遇路程4-速度和

速度和=相遇路程4-相遇時(shí)間

追及問(wèn)題

追及距離=速度差X追及時(shí)間

追及時(shí)間=追及距離?速度差

速度差=追及距離小追及時(shí)間

流水問(wèn)題

順流速度=靜水速度+水流速度

逆流速度=靜水速度一水流速度

靜水速度=（順流速度+逆流速度）+2

水流速度=（順流速度一逆流速度）+2

濃度問(wèn)題

溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量

溶質(zhì)的重量：溶液的重量X100%=濃度

溶液的重量X濃度=溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量?濃度=溶液的重量

利潤(rùn)與折扣問(wèn)題

利潤(rùn)=售出價(jià)一成本

利潤(rùn)率=利潤(rùn)+成本X100%=（售出價(jià)?成本—1）X100%

漲跌金額=本金X漲跌百分比

折扣=實(shí)際售價(jià)+原售價(jià)*100%（折扣＜1）

利息=本金X利率X時(shí)間

稅后利息=本金X利率X時(shí)間義（1—20%）

*時(shí)間:一般以年或月為單位，應(yīng)與利率的單位相對(duì)應(yīng)）

*利率:利息與本金的比值叫做利率。一年的利息與本金的比值叫做年利

率。一月的利息與本金的比值叫做月利率。

長(zhǎng)度單位換算

（一）、什么是長(zhǎng)度

長(zhǎng)度是一維空間的度量。

（二）、長(zhǎng)度常用單位

*公里（km）*米加）*分米（dm）*厘米（cm）*毫米（mm）*微米（um）

（三）、單位之間的換算

1千米=1000米1米=10分米1米=100厘米1分米=10厘米

1厘米=10毫米

面積單位換算

（一）、什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對(duì)立體物體的表面的多少的測(cè)量一般稱

表面積。

（二）、常用的面積單位

*平方毫米*平方厘米*平方分米*平方米*平方千米

（三）、面積單位的換算

1平方千米=100公頃1公頃=10000平方米

1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米

1平方厘米=100平方毫米

體（容）積單位換算

（一）、什么是體積、容積

體積，就是物體所占空間的大小。

容積，箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

（二）、常用單位

1、體積單位

*立方米*立方分米*立方厘米

2、容積單位*升*毫升

（三）、單位換算

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米

1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升

重量單位換算

（一）、什么是重量重量，就是表示表示物體有多重。

（二）、常用單位*噸t*千克kg*克g

（三）、常用換算1噸=1000千克1千克=1000克

1千克=1公斤

人民幣單位換算

（一）什么是貨幣

貨幣是充當(dāng)一切商品的等價(jià)物的特殊商品。貨幣是價(jià)值的一般代表，可以

購(gòu)買任何別的商品。

（二）常用單位*元*角*分

（三）單位換算1元=10角1角=10分1元=100分

時(shí)間單位換算

（一）什么是時(shí)間

是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間

（二）常用單位

世紀(jì)、年、月、日、時(shí)、分、秒

（三）單位換算

1世紀(jì)=100年1年=12月

大月（31天）有:1\3\5\7\8\10\12月

小月（30天）的有月\6\9\H月

平年2月28天，閏年2月29天

平年全年365天，閏年全年366天

1日=24小時(shí)1時(shí)=60分

1分=60秒1時(shí)=3600秒

小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題

一、歸一問(wèn)題

例1、買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？

解（1）買1支鉛筆多少錢？0.6+5=0.12（元）

（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12X16=1.92（元）

列成綜合算式0.6+5X16=0.12X16=1.92（元）

答：需要1.92兀。

【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，

求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量+份數(shù)=1份數(shù)量1份數(shù)量X所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量

另一總量+（總量+份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。

例2、3臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公

頃？

解（1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？

（2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？

列成綜合算式_________________________________

答:5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地

例3、5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸

鋼材，需要運(yùn)幾次？

解(1)1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？

(2)7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？

(3)105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？

列成綜合算式

答:需要運(yùn)_________________________

練習(xí)1.2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)6時(shí)可耕地多

少公頃？

2.4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)兒小時(shí)才能織布24960

米？

3.一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。問(wèn)：48秒鐘可以放映多少?gòu)?/p>

片子？

4.3臺(tái)抽水機(jī)8時(shí)灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺(tái)同樣的抽水機(jī)6

時(shí)可以灌溉水田多小公頃？

5.平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5時(shí)，6天可以完成任務(wù)。

由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問(wèn)：每天要工作兒小時(shí)一？

6.食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)買雞蛋，原計(jì)劃按每千克3.00元買35千克。

結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問(wèn)：雞蛋價(jià)格下調(diào)后

是每千克多少元？

7.鍋爐房按照每天4.5噸的用量?jī)?chǔ)備了120天的供暖煤。供暖40天后，

由于進(jìn)行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問(wèn)：這些煤共可以供暖多少天？

二、歸總問(wèn)題

例1、服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8

米。原來(lái)做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？

解（1）這批布總共有多少米？3.2X791=2531.2（米）

（2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.24-2.8=904（套）

列成綜合算式3.2X791+2.8=904（套）

答：現(xiàn)在可以做904套。

【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)

題，叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作

量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。

【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量X份數(shù)=總量總量+1份數(shù)量=份數(shù)

總量+另一份數(shù)=另一每份數(shù)量

【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例2、小華每天讀24頁(yè)書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁(yè)書，

幾天可以讀完《紅巖》？

解（1）《紅巖》這本書總共多少頁(yè)？

（2）小明兒天可以讀完《紅巖》？

列成綜合算式______________________________

答：小明天可以讀完《紅巖》。

例3、食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。

后來(lái)根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？_

解（1）這批蔬菜共有多少千克？

（2）這批蔬菜可以吃多少天？______________________________

列成綜合算式______________________________________

答：這批蔬菜可以吃天。

三、和差問(wèn)題

例1、甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？

解甲班人數(shù)=（98+6）+2=52（人）

乙班人數(shù)=（98-6）+2=46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差

問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)=（和+差）+2小數(shù)=（和一差）4-2

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公

式。

例2、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的面積。

解長(zhǎng)=（厘米）寬=（厘米）

長(zhǎng)方形的面積=（平方厘米）

答：長(zhǎng)方形的面積為平方厘米。

例3、有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲

丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多千克，且甲是大數(shù)，

丙是小數(shù)。由此可知

甲袋化肥重量=_____________________________

丙袋化肥重量=_____________________________

乙袋化肥重量=________________________________

答：甲袋化肥重千克，乙袋化肥重________千克，丙袋化肥重

千克。

例4、甲乙兩車原來(lái)共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車

比乙車還多3筐，兩車原來(lái)各裝蘋果多少筐？

解“從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說(shuō)明甲車

是大數(shù),乙車是小數(shù)，甲與乙的差是，甲與乙的和是97,因此甲車

筐數(shù)=（筐）

乙車筐數(shù)=___________________

答：甲車原來(lái)裝蘋果—筐，乙車原來(lái)裝蘋果一筐。

四、和倍問(wèn)題

例1、果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃

樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？248+（3+1）=62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62X3=186（棵）

答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），

要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總和+（幾倍+1）=較小的數(shù)總和一較小的數(shù)=較大的數(shù)

較小的數(shù)義幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例2、東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩

庫(kù)各存糧多少噸？

解（1）西庫(kù)存糧數(shù)=____________________________

（2）東庫(kù)存糧數(shù)=______________________________

答：東庫(kù)存糧噸，西庫(kù)存糧噸。

例3、甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從

乙站開往甲站24輛，兒天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？

解：每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開

往乙站（28—24）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛

數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52+32）就相當(dāng)于（2+1）倍，那么，幾天

以后甲站的車輛數(shù)減少為

所求天數(shù)為___________________________

答:____________________________

例4、甲乙丙三數(shù)之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)

各是多少？

解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。

因?yàn)橐冶燃椎?倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；

又因?yàn)楸燃椎?倍多6,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；

這時(shí)（170+4—6）就相當(dāng)于（1+2+3）倍。那么，

甲數(shù)=__________________

乙數(shù)二____________________

丙數(shù)二______________________

答：甲數(shù)是,乙數(shù)是—，丙數(shù)是—O

五、差倍問(wèn)題

例1、果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、

桃樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？124+（3-1）=62（棵）

（2）桃樹有多少棵？62X3=186（棵）

答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。

【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），

要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差+（幾倍-1）=較小的數(shù)

較小的數(shù)義幾倍=較大的數(shù)

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例2、爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人

今年各是多少歲？

解（1）兒子年齡=

（2）爸爸年齡=__________________

答：父子二人今年的年齡分別是—和。

例3、商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬(wàn)元，又

知本月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬(wàn)元？

解如果把上月盈利作為1倍量，則（30—12）萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的倍,

因此上月盈利=________________

本月盈利=________________________

答：上月盈利是萬(wàn)元，本月盈利是萬(wàn)元。

例4、糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問(wèn)

兒天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量

差o把兒天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量,

那么，就相當(dāng)于倍，因此

剩下的小麥數(shù)量;_____________________

運(yùn)出的小麥數(shù)量;______________________

運(yùn)糧的天數(shù)=___________________

答:天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

六、倍比問(wèn)題

例1、100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油

多少？

解（1）3700千克是100千克的多少倍？37004-100=37（倍）

（2）可以榨油多少千克？40X37=1480（千克）

列成綜合算式40X（37004-100）=1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

【含義】有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求

出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】總量+一個(gè)數(shù)量=倍數(shù)另一個(gè)數(shù)量X倍數(shù)=另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。

例2、今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣

48000名師生共植樹多少棵？

解（1）48000名是300名的多少倍？

（2）共植樹多少棵？

列成綜合算式：______________________

答:全縣48000名師生共植樹棵。

例3、鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這

樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？

解（1）800畝是4畝的幾倍？

（2）800畝收入多少元?

(3)16000畝是800畝的兒倍？

(4)16000畝收入多少元？_________________________

答:全鄉(xiāng)800畝果園共收入元，全縣16000畝果園共收入元。

七、相遇問(wèn)題

例1、南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，

從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過(guò)兒

小時(shí)兩船相遇？

解392+(28+21)=8(小時(shí))

答：經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題

叫做相遇問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間=總路程+(甲速+乙速)

總路程=(甲速+乙速)義相遇時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公

式。

例2、小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小

劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到

第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？

解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為:

相遇時(shí)間:________________________

答：二人從出發(fā)到第二次相遇需秒時(shí)間。

例3、甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)

行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。

解“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲

騎得快，乙騎得慢，甲過(guò)了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說(shuō)甲比乙多走

的路程是千米，因此：

相遇時(shí)間:______________________

兩地距離:______________________

答：兩地距離是千米。

八、追及問(wèn)題

例1、好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天

能追上劣馬？

解（1）劣馬先走12天能走多少千米？75X12=900（千米）

（2）好馬幾天追上劣馬?9004-（120-75）=20（天）

列成綜合算式75X12+（120-75）=9004-45=20（天）

答：好馬20天能追上劣馬。

【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā),

或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，

在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類

應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】追及時(shí)間=追及路程+（快速一慢速）

追及路程=（快速一慢速）X追及時(shí)間

【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。

例2、小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一

地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度

是每秒多少米。

解:小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米,此時(shí)小亮跑了米,

要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200

米用40秒，則跑500米用秒，

所以小亮的速度是

答：小亮的速度是每秒一米。

例3、我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小

時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速

度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上

敵人？

解敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑

的路程是千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時(shí)間：_______________________

答：解放軍在小時(shí)后可以追上敵人。

例4、一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往

甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距

離。

解這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車落后于貨車

千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間，

這個(gè)時(shí)間為______________

所以兩站間的距離為

列成綜合算式_______________________

答：甲乙兩站的距離是千米。

例5兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥

到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹

相遇。問(wèn)他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

解要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間

（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比妹妹多走（180X2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠?/p>

鐘多走米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為：

家離學(xué)校的距離為:_____________________

答:家離學(xué)校有米遠(yuǎn)。

例6孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)一4千米的速度從家步行去學(xué)校,

當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好

準(zhǔn)時(shí)上課。后來(lái)算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來(lái)步行早9分

鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。

解手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到

分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說(shuō)明后段路程跑比走少用了分鐘。

如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步

行少用分鐘。所以

步行1千米所用時(shí)間為

跑步1千米所用時(shí)間為

跑步速度為每小時(shí)__________________

答:孫亮跑步速度為每小時(shí)一千米。

九、植樹問(wèn)題

例1、一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂

柳？

解136+2+1=68+1=69（棵）

答：一共要栽69棵垂柳。

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的

兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)=距離+棵距+1

環(huán)形植樹棵數(shù)=距離+棵距

方形植樹棵數(shù)=距離七棵距-4

三角形植樹棵數(shù)=距離+棵距-3

面積植樹棵數(shù)=面積+（棵距X行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹問(wèn)題的類型，然后可以利用公式。

例2、一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽

多少棵白楊樹？

解:_____________________

答：一共能栽棵白楊樹。

例3、一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共

可以安裝多少個(gè)照明燈？

解_____________________________

答：一共可以安裝個(gè)照明燈。

例4、給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板石專的長(zhǎng)和寬分別是

60厘米和40厘米，問(wèn)至少需要多少塊地板石專？

解____________________________

答：至少需要塊地板磚。

例5一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電

桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？

解(1)橋的一邊有多少個(gè)電桿？

(2)橋的兩邊有多少個(gè)電桿？_____________________________

(3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈？

答：大橋兩邊一共可以安裝一盞路燈。

十、年齡問(wèn)題

例1、爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的兒倍？明年呢？

解35+5=7(倍)(35+1)4-(5+1)=6(倍)

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

【含義】這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不

變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化。

【數(shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系，尤其與差

倍問(wèn)題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法。

例2、母親今年37歲，女兒今年7歲，兒年后母親的年齡是女兒的4倍？

解(1)母親比女兒的年齡大多少歲？

(2)兒年后母親的年齡是女兒的4倍？

列成綜合算式_________________________

答：一年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3、3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子

今年各多少歲？

解今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加歲,今年二人的年齡和為

把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于一倍，因此，今年兒

子年齡為

今年父親年齡為_______________________

答:今年父親年齡是—?dú)q，兒子年齡是一歲。

例4、甲對(duì)乙說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”。乙對(duì)甲

說(shuō)：“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)

各是多少？

解:這里涉及到三個(gè)年份：過(guò)去某一年、今年、將來(lái)某一年。列表分析：

過(guò)去某一年今年將來(lái)某一年

甲□歲△歲61歲

乙4歲口歲△歲

表中兩個(gè)“口”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)表示同一個(gè)數(shù)。

因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：口—4=△—口=61—△,也就是4,□,△,61

成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，因此二人年齡差為

甲今年的歲數(shù)為_______________

乙今年的歲數(shù)為________________

答：甲今年的歲數(shù)是歲，乙今年的歲數(shù)是歲。

H^―?、行船問(wèn)題

例1、一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船

逆水行這段路程需用幾小時(shí)？

解由條件知，順?biāo)?船速+水速=320+8,而水速為每小時(shí)15千米，所以,

船速為每小時(shí)320+8—15=25（千米）

船的逆水速為25-15=10（千米）

船逆水行這段路程的時(shí)間為320+10=32（小時(shí)）

答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。

【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速與水速,

船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的

速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與

水速之差。

【數(shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣?逆水速度）+2=船速

（順?biāo)俣纫荒嫠俣龋?2=水速

順?biāo)?船速X2一逆水速=逆水速+水速X2

逆水速=船速X2—順?biāo)?順?biāo)僖凰賆2

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例2、甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣

一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？

解由題意得甲船速+水速=__________________________

甲船速一水速=____________________________

可見相當(dāng)于水速的2倍，

所以，水速為每小時(shí)

又因?yàn)?，乙船速一水?

所以，乙船速為________________________

乙船順?biāo)贋開_______________

所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要

答：乙船返回原地需要一小時(shí)，

例3、一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí)一576千米，風(fēng)速為

每小時(shí)24千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要兒小時(shí)？

解這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。

（1）兩城相距多少千米？______________________

（2）順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？

列成綜合算式__________________________

答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要一小時(shí)，

十二、列車問(wèn)題

例1、一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車頭

開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？

解火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。

（1）火車3分鐘行多少米？900X3=2700（米）

（2）這列火車長(zhǎng)多少米?2700—2400=300（米）

列成綜合算式900X3—2400=300（米）

答：這列火車長(zhǎng)300米。

【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。

【數(shù)量關(guān)系】火車過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間=（車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)）+車速

火車追及：追及時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）+（甲車速一乙車速）

火車相遇：相遇時(shí)間=（甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離）+（甲車速+乙車速）

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例2、一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度通過(guò)一座大橋，用了2分5秒鐘

時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？

解火車過(guò)橋所用的時(shí)間是2分5秒=—秒，所走的路程是米，這段路

程就是（200米+橋長(zhǎng)），所以，橋長(zhǎng)為

答：大橋的長(zhǎng)度是米。

例3、一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米的快車以每

秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過(guò)慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？

解從追上到追過(guò)，快車比慢車要多行米，而快車比慢車每秒多行

米，因此，所求的時(shí)間為

答：需要秒。

例4、一列長(zhǎng)150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3

米的速度迎面走來(lái)，那么，火車從工人身旁駛過(guò)需要多少時(shí)間？

解如果把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問(wèn)題。

答：火車從工人身旁駛過(guò)需要秒鐘。

例5一列火車穿越一條長(zhǎng)2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過(guò)一條長(zhǎng)

1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長(zhǎng)度各是多少？

解車速和車長(zhǎng)都沒有變，但通過(guò)隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却?/p>

橋長(zhǎng)。可知火車在秒的時(shí)間內(nèi)行駛了米的路程，因此，火車的

車速為每秒

進(jìn)而可知，車長(zhǎng)和橋長(zhǎng)的和為米，因此，車長(zhǎng)為

答：這列火車的車速是每秒一米，車身長(zhǎng)米。

十三、時(shí)鐘問(wèn)題

例1、從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？

解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走

5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)=11/12

格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

分針追上時(shí)針的時(shí)間為20+(1-1/12)=2(分鐘)

答：再經(jīng)過(guò)2分鐘時(shí)針正好與分針重合。

【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合、兩針垂直、兩

針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類比。

【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為11/12。

通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算。

【解題思路和方法】變通為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。

例2、四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？

解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格(包

括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況)。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(5X4)

格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走格,

如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走格。再根

據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走格就可以求出二針成直角的時(shí)間。

答：及時(shí)兩針成直角。

例3、六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？

解六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)

針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問(wèn)題。

答：的時(shí)候分針與時(shí)針重合。

十四、盈虧問(wèn)題

例1、給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1

個(gè)。問(wèn)有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？

解按照“參加分配的總?cè)藬?shù)=（盈+虧）+分配差”的數(shù)量關(guān)系：

（1）有小朋友多少人？（11+1）4-（4-3）=12（人）

（2）有多少個(gè)蘋果？3X12+11=47（個(gè)）

答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。

【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈）,

一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用

題叫做盈虧問(wèn)題。

【數(shù)量關(guān)系】一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)=（盈+虧）+分配差

如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總?cè)藬?shù)=（大盈一小盈）?分配差

參加分配總?cè)藬?shù)=（大虧一小虧）+分配差

【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

例2、修一條公路，如果每天修260米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng)8天；如果每天修

300米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4天。這條路全長(zhǎng)多少米？

解題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分

配的總?cè)藬?shù)=（大虧一小虧）小分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知

原定完成任務(wù)的天數(shù)為___________________________________

這條路全長(zhǎng)為__________________________________

答：這條路全長(zhǎng)米。

例3、學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45

人，就剛好坐完。問(wèn)有多少車？多少人？

解本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有

(1)有多少車？___________________________________

(2)有多少人？____________________________

答：有輛車，有人。

十五、工程問(wèn)題

例