初中數(shù)學(xué)-1.4 角平分線（備課件）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列（北師大版）

北師大版

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一章

三角形的證明

1.4

角平分線如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O問(wèn)題引入1

在一個(gè)三角形居住區(qū)內(nèi)修有一個(gè)學(xué)校P，P到AB、BC、CA三邊的距離都相等,請(qǐng)?jiān)谌切尉幼^(qū)內(nèi)標(biāo)出學(xué)校P的位置,P在何處？ABC問(wèn)題引入2探究1角平分線的性質(zhì)定理操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：

觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論：_____

PD

PE

第一次第二次第三次

COBAPD=PEPDE實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn).猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.一、角平分線的性質(zhì)定理已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.求證：PD=PE.驗(yàn)證猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)定理結(jié)論應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.BADOPEC定理的作用：

證明線段相等.幾何語(yǔ)言：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE.推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè).PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等BDCD×BADC例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典型例題例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用探究2角平分線的判定定理PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．思考：交換角平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論？這個(gè)新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？逆命題二、角平分線的判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.驗(yàn)證：BADOPE證明：

∴OP平分∠AOB.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOPBADOPE在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.角平分線的判定定理結(jié)論應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.BADOPEC定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)總結(jié)：例3:如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC.∴FG＝FM.又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFED┑┑┑典型例題例4如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉(cāng)庫(kù)，希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉(cāng)庫(kù)P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出你的設(shè)計(jì)．(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)ONMABONMABP方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.解：如圖所示：活動(dòng)1

分別畫(huà)出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).三、三角形的內(nèi)角平分線活動(dòng)2

分別過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線段相等.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找出每個(gè)角的角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論？與同伴交流．結(jié)論：三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).

怎樣證明這個(gè)結(jié)論呢?試一試點(diǎn)撥：要證明三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上即可.思路可表示如下：試試看，你會(huì)寫(xiě)出證明過(guò)程嗎？AP是∠BAC的平分線BP是∠ABC的平分線PI=PHPG=PIPH=PG點(diǎn)P在∠BCA的平分線上A

B

C

P

F

H

DEIG已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明結(jié)論證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

想一想：點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？點(diǎn)P在∠A的平分線上.

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

在一塊三角形的草坪上建一座涼亭,要使涼亭到草坪三邊的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在(

)A.三角形的三條中線的交點(diǎn)處B.三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處C.三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處D.三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)處C做一做：如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分別平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,試求線段OD的長(zhǎng)度.例5解：連接OB,過(guò)O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,∴OE=OD=OF,設(shè)OE=OF=OD=R,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理得:AC=6,典型例題∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,∴AC·BC=

AB·OE+

AC·OD+

BC·OF，∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2,∴OD的長(zhǎng)為2.

方法總結(jié)1.三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線把原三角形分割成了三個(gè)小三角形,利用三個(gè)小三角形面積之和等于原三角形的面積,即等積法即可求出交點(diǎn)到三邊的距離.2.已知角平分線上的點(diǎn),要利用角平分線性質(zhì)定理尋找線段相等關(guān)系,有時(shí)可結(jié)合全等三角形、直角三角形來(lái)求解.三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的區(qū)別三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形_______一點(diǎn)

交于三角形_______一點(diǎn)

鈍角三角形交于三角形_______一點(diǎn)

直角三角形交于斜邊的_________

交點(diǎn)性質(zhì)到三角形_____________的距離相等

到三角形_________的距離相等

內(nèi)

外

中點(diǎn)

三個(gè)頂點(diǎn)

三邊

總結(jié)：

內(nèi)

２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長(zhǎng)為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于Ｃ．如何用尺規(guī)作角的平分線？AＢＯＭＮＣ作法：

１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射線OC．則射線ＯＣ即為所求．

知識(shí)點(diǎn)補(bǔ)充：尺規(guī)作圖1.如圖，已知點(diǎn)P到△ABC的三條邊所在直線的距離相等，則下列說(shuō)法不正確的是(

)A.點(diǎn)P在∠B的平分線上B.點(diǎn)P在∠ACE的平分線上C.點(diǎn)P在∠DAC的平分線上D.點(diǎn)P在三邊的垂直平分線上2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E.若BC=32，

且BD∶DE=9∶7，則CD的長(zhǎng)為

.D14課堂練習(xí)3．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA＝2，則PQ的最小值為(B)A．1B．2C．3D．44.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于點(diǎn)D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于(C)A.1cmB．2cm

C．3cm

D．4cm5.AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝