初中數(shù)學(xué)-4.第三節(jié) 反比例函數(shù)

第三章函數(shù)第三節(jié)反比例函數(shù)(必考，每年1道，3或9分)考點(diǎn)特訓(xùn)營(yíng)目錄玩轉(zhuǎn)廣東8年中考真題教材改編題【對(duì)接教材】人教：九下第二十六章P1－P22；

北師：九上第六章P148－P162

考點(diǎn)特訓(xùn)營(yíng)【課標(biāo)要求】結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式y(tǒng)＝(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時(shí)，圖象的變化情況；能用反比例函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題．圖象及性質(zhì)系數(shù)k的幾何意義反比例函數(shù)解析式的確定1.待定系數(shù)法2.利用k的幾何意義求解反比例函數(shù)考點(diǎn)精講圖象及性質(zhì)表達(dá)式（k為常數(shù)，k≠0），反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積恒為kk決定函數(shù)圖象所在象限及增減性k_________0k_________0大致圖象＞＜返回思維導(dǎo)圖圖象及性質(zhì)表達(dá)式（k為常數(shù)，k≠0），反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積恒為k所在象限第_________象限（x，y同號(hào)）第_________象限（x，y同號(hào)）增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而_________在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而_________對(duì)稱性關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；關(guān)于直線y＝x，y＝－x成軸對(duì)稱一、三二、四減小增大返回思維導(dǎo)圖系數(shù)k的幾何意義1.系數(shù)k的幾何意義：如圖，過(guò)反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)P（x，y）作x,軸、y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，所得,矩形PMON的面積S＝PN·PM＝|x|·|y|＝,|xy|＝_________,2.常見的反比例函數(shù)圖象中有關(guān)面積的類型見P47微專題類型一|k|返回思維導(dǎo)圖反比例函數(shù)解析式的確定1.待定系數(shù)法：步驟（1）設(shè)出反比例函數(shù)解析式

（k≠0），若題中已給解析式，則不必設(shè)；（2）找出反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)P（a，b）；（3）將點(diǎn)P（a，b）代入解析式得k＝________；（4）確定反比例函數(shù)解析式當(dāng)已知面積時(shí)可考慮用k的幾何意義求反比例函數(shù)的解析式.由圖,形面積得|k|，再結(jié)合圖象所在象限判斷k的正負(fù)，可得k的值，最后,代入解析式即可2.利用k的幾何意義求解：ab返回思維導(dǎo)圖課堂小測(cè)1.反比例函數(shù)y＝

的圖象位于(

)A.第一、三象限B.第二、三象限C.第一、二象限D(zhuǎn).第二、四象限2.已知一次函數(shù)y＝kx和反比例函數(shù)

，則在同一平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖象可能是(

)AB3.如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)

(x＞0)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)B，連接OA.若△AOB的面積為2，則k的值為(

)A.1B.2C.3D.44.已知反比例函數(shù)

(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，－2)，則此函數(shù)的解析式為________．5.已知反比例函數(shù)

(k≠0)，若該函數(shù)圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是________．6.已知一次函數(shù)y＝k1x＋2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，3)，B(m＋2，－1)，反比例函數(shù)

的圖象位于一、三象限，則k1________k2.(填“＞”，“＜”或“＝”)第3題圖Dk＜0＜重難點(diǎn)突破反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)例

已知反比例函數(shù)

(k≠1)．(1)若該函數(shù)圖象在第二、四象限時(shí)，則k的值可以是(

)A.3B.2C.1D.－1(2)若該函數(shù)圖象在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍為________；(3)若點(diǎn)(3，1)在該反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)y<1時(shí)，則x的取值范圍是__________；(4)若點(diǎn)A(2，3)與點(diǎn)B(－2，n)都在該函數(shù)圖象上，則n的值為________；(5)在(4)的條件下，點(diǎn)C(x1，y1)、D(x2，y2)、E(x3，y3)在該函數(shù)圖象上，若x1＜x2＜0＜x3，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為___________；Dk>1x>3或x<0－3y2＜y1＜y3(6)在(4)的條件下，若點(diǎn)P(x，y)是該反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，Q是x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥x軸，則△POQ的面積為________；(7)如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)

圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，與反比例函數(shù)

(x＜0)的圖象交于點(diǎn)B(－3，m)．若AB＝4，求該反比例函數(shù)的解析式；例(7)題圖3(7)解：將點(diǎn)B(－3，m)代入y＝－

中，得m＝－

＝1，∴B(－3，1)，∵AB＝4，且AB∥x軸，∴A(1，1)．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝

中，得1＝

，解得k＝2.∴該反比例函數(shù)的解析式為y＝

；(8)如圖，一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與反比例函數(shù)

(k≠1)在第一象限的圖象交于A(1，a)和B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)P在x軸上，且△APC的面積為5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．例(8)題圖解：把點(diǎn)A(1，a)代入y＝－x＋3，得a＝2，∴A(1，2)把A(1，2)代入反比例函數(shù)y＝

，得k－1＝1×2＝2；∴反比例函數(shù)的解析式為y＝

；∵一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)C，∴C(3，0)，設(shè)P(x，0)，則PC＝|3－x|，∴S△APC＝

|3－x|×2＝5，∴x＝－2或x＝8，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)或(8，0)．玩轉(zhuǎn)廣東8年中考真題反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)(必考，主要與一次函數(shù)結(jié)合考查)命題點(diǎn)11.(2013廣東10題3分)已知k1＜0＜k2，則函數(shù)y＝k1x－1和y＝

的圖象大致是(

)A拓展訓(xùn)練2.(2019海南)如果反比例函數(shù)y＝

(a是常數(shù))的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是(

)A.a<0B.a>0C.a<2D.a>23.(2019廣州8題3分)若點(diǎn)A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函數(shù)y＝

的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是(

)A.y3<y2<y1B.y2<y1<y3C.y1<y3<y2D.y1<y2<y3DC

反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合（8年5考）命題點(diǎn)2類型一反比例函數(shù)與正比例函數(shù)結(jié)合(僅2017考查)4.(2017廣東7題3分)如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝k1x(k1≠0)與雙曲線y＝

(k2≠0)相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A.(－1，－2)B.(－2，－1)C.(－1，－1)D.(－2，－2)A第4題圖類型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用(8年5考)5.(2012廣東17題7分)如圖，直線y＝2x－6與反比例函數(shù)y＝

(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A(4，2)，與x軸交于點(diǎn)B.(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得AC＝AB？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第5題圖解：(1)把點(diǎn)A(4，2)代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝

，得2＝

.解得k＝8.把y＝0代入直線y＝2x－6，得2x－6＝0.解得x＝3.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，0)；(2)存在．如解圖，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，0)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，則點(diǎn)D(4，0)，∴BD＝1，CD＝|m－4|.∵AB＝AC，∴BD＝CD，即|m－4|＝1.解得m1＝5，m2＝3(與點(diǎn)B重合，舍去)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(5，0)．第5題解圖6.(2015廣東23題9分)如圖，反比例函數(shù)y＝

(k≠0，x＞0)的圖象與直線y＝3x相交于點(diǎn)C，過(guò)直線上點(diǎn)A(1，3)作AB⊥x軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D，且AB＝3BD.(1)求k的值；(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和d＝MC＋MD最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．第6題圖解：(1)∵A(1，3)，AB⊥x軸，AB＝3BD，∴AB＝3，BD＝1，∴D(1，1)，把點(diǎn)D(1，1)代入y＝

中，得k＝1；(2)由(1)知反比例函數(shù)的解析式為y＝

，聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得解得

或

(舍去)．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

)；(3)如解圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接CE與y軸交于點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M到C、D兩點(diǎn)距離之和d最小．∵D(1，1)，∴E(－1，1)，設(shè)直線CE的解析式為y＝mx＋n(m≠0)，將點(diǎn)E(－1，1)，C(

)代入，得

解得

∴直線CE的解析式為y＝(2－3)x＋2－2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2－2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，2－2)．第6題解圖7.(2014廣東23題9分)如圖，已知A(－4，

)，B(－1，2)是一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)與反比例函數(shù)y＝

(m≠0，x＜0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥y軸于點(diǎn)D.(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？(2)求一次函數(shù)的解析式及m的值；(3)P是線段AB上一點(diǎn)，連接PC，PD，若△PCA和△PDB的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．第7題圖解：(1)當(dāng)－4＜x＜－1時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；(2)把點(diǎn)A(－4，

)，B(－1，2)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx＋b，得

解得∴一次函數(shù)的解析式為y＝

x＋

；把點(diǎn)B(－1，2)代入y＝

，得m＝－2；(3)如解圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，

x＋

)．由△PCA和△PDB面積相等，得

×

·(x＋4)＝

×1×(2－

x－

)．解得x＝－

.∴y＝

x＋

＝

.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)．第7題解圖8.(2019廣東23題9分)如圖，一次函數(shù)y＝k1x＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝

的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，n)．(1)根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x＋b＞

的x的取值范圍；(2)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；(3)點(diǎn)P在線段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．第8題圖解：(1)x<－1或0<x<4；(2)∵點(diǎn)A(－1，4)在y＝

的圖象上，∴4＝

，解得k2＝－4，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝－

.∵點(diǎn)B(4，n)在反比例函數(shù)y＝－

的圖象上，∴n＝－

＝－1，∴點(diǎn)B(4，－1)，∵一次函數(shù)的圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)，∴

解得∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x＋3；(3)如解圖，連接OP、OA、OB，設(shè)直線y＝－x＋3與x軸交于點(diǎn)C，∵當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)．∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，∴S△AOB＝

×3×4＋

×3×1＝

.∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，∴S△BOP＝

S△AOB＝

＝5.∵點(diǎn)P在線段AB上，設(shè)P的坐標(biāo)為(m，－m＋3)，S△POB＝S△POC＋S△BOC，∴S△BOP＝

×3·(－m＋3)＋

×3×1＝5，∴解得m＝

，∴－m＋3＝－

＋3＝

，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)．第8題解圖教材改編題1.(人教九下P7例4改編)已知反比例函數(shù)y＝

(m為常數(shù))的圖象在第一、三象限．(1)求m的取值范圍；(2)如圖①，若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)?ABOD的頂點(diǎn)D，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，3)，(－2，0)，求該反比例函數(shù)的解析式；(3)如圖②，反比例函數(shù)y＝

經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，AC∥y軸，BC∥x軸．點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，BC＝3，點(diǎn)O與點(diǎn)C的距離為，求m的值；(4)如圖③，直線l與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比