中考數(shù)學(xué)專題練-7四邊形

中考數(shù)學(xué)專題練——7四邊形一．選擇題（共8小題）1．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知菱形ABCD與菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①經(jīng)過1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；②經(jīng)過1次平移和1次翻折；③經(jīng)過1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點共有3個．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，P是正方形ABCD的邊AD上一點，連接PB，PC，則tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.83．（2022?鼓樓區(qū)一模）要判斷一個四邊形的窗框是否為矩形，可行的測量方案是（）A．測量兩組對邊是否相等 B．測量對角線是否相等 C．測量對角線是否互相平分 D．測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等4．（2022?南京一模）已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是（）A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD5．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件中，不能判斷這個平行四邊形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD6．（2021?秦淮區(qū)二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，則AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，則BC＝CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④7．（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，若CD＝3，DE＝5，則AD的長是（）A．6 B．7 C．8 D．108．（2021?鼓樓區(qū)二模）如果一個正多邊形的每一個外角都是36°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．13二．填空題（共10小題）9．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BA，BC的中點．若BD＝2，則EF的長是．10．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)．若AB＝a，CF＝b，則BE的長為．（用含a，b的代數(shù)式表示）11．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，菱形ABCD和正五邊形AEFGH，F(xiàn)，G分別在BC，CD上，則∠1﹣∠2＝°．12．（2022?南京二模）在平面直角坐標系中，?ABCD的頂點坐標為A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），則點D的坐標是13．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，正六邊形ABCDEF與平行四邊形GHMN的位置如圖所示，若∠ABG＝19°，則∠NMD的度數(shù)是°．14．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點O，E是CD的中點，連接OE．若OE＝5，BD＝12，則AC＝．15．（2022?南京一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為．16．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD與正方形AEFG中，點E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，則∠C＝°．17．（2021?建鄴區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，菱形DEFG頂點D、E在邊AB上，F(xiàn)、G分別在邊BC、AC上，則DE的取值范圍是．18．（2021?建鄴區(qū)二模）如圖，直線l將正九邊形ABCDEFGHI分為兩個區(qū)域，且分別與AB、FG相交于P點、Q點．若∠APQ＝85°，則∠PQF＝°．三．解答題（共9小題）19．（2022?南京二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，對角線AC、BD交于點O，過點B作BE∥CD交AC于點E，連接DE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形；（2）若AB＝5，E為AC的中點，當(dāng)BC的長為時，四邊形BCDE為正方形．20．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至點F，使EF＝DE，連接AF，CF，AD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）要使四邊形ADCF是菱形，△ABC的邊需要滿足的條件是．21．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，連接CE并延長，與BA的延長線交于點F．（1）求證EF＝EC；（2）連接AC，DF，若AC平分∠FCB，求證：四邊形ACDF為矩形．22．（2022?南京一模）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE＝CF．直線EF分別交BA，DC的延長線于點G，H．（1）求證：四邊形BHDG是平行四邊形；（2）若AB＝4，BC＝8，當(dāng)AE的長為時，四邊形BHDG是菱形．23．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝53，∠B＝90°．點M在邊AD上，AM＝2，點N是邊BC上一動點．以MN為斜邊作Rt△MNP，若點P在四邊形ABCD的邊上，則稱點P是線段MN的“勾股點”．（1）如圖①，線段MN的中點O到BC的距離是．A．3B．5C．3D．23（2）如圖②，當(dāng)AP＝2時，求BN的長度．（3）是否存在點N，使線段MN恰好有兩個“勾股點”？若存在，請直接寫出BN的長度或取值范圍；若不存在，請說明理由．24．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為．25．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個替換（1）中的“AD∥BC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是（填寫滿足要求的所有條件的序號）．26．（2022?南京一模）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．（1）證明：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）當(dāng)?ABCD具備怎樣的條件時，四邊形EHFG是菱形？請直接寫出條件，無需說明理由．27．（2022?玄武區(qū)一模）在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接BF，DE，M，N分別是BF，DE的中點，連接EM，F(xiàn)N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，則四邊形ABCD的面積為．

中考數(shù)學(xué)專題練——7四邊形參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知菱形ABCD與菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD經(jīng)過怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①經(jīng)過1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；②經(jīng)過1次平移和1次翻折；③經(jīng)過1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點共有3個．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：①如圖1，先將菱形ABCD向右平移，再繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG，故①正確；②如圖2，將菱形ABCD先平移，再沿直線l翻折可得菱形AEFG，故②正確；③如圖3，經(jīng)過1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有A和G，共有2個，故③不正確；故選：A．2．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，P是正方形ABCD的邊AD上一點，連接PB，PC，則tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.8【解答】解：點P在正方形邊AD上運動，當(dāng)P與點A或點D重合時，∠BPC最小，此時tan∠BPC的值也最小，此時tan∠BPC＝tan45°＝1；當(dāng)P運動到AD中點時，∠BPC最大，此時tan∠BPC的值也最大，如圖，取AD中點P′，連接BP′，CP′，過點B作BE⊥CP′于點E，設(shè)正方形的邊長為1，則AP′＝DP′=1∴BP′=A同理CP′=C∵BE⊥CP′，∴∠BEC＝∠CDP′＝90°，∵∠BCE+∠DCP′＝DCP′+∠CP′D＝90°，∴∠BCE＝∠CP′D，∴△BCE∽△CP′D，∴BCCP'∴15∴BE=255，∴P′E＝CP′﹣CE=5∴tan∠BP′C=BE∴1≤tan∠BPC≤4∴tan∠BPC的值可能是1.2，故選B．3．（2022?鼓樓區(qū)一模）要判斷一個四邊形的窗框是否為矩形，可行的測量方案是（）A．測量兩組對邊是否相等 B．測量對角線是否相等 C．測量對角線是否互相平分 D．測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等【解答】解：A、測量兩組對邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項A不符合題意；B、測量對角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項B不符合題意；C、測量對角線是否互相平分，可以判定為平行四邊形，故選項C不符合題意；D、測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等，可以判定為矩形，故選項D符合題意；故選：D．4．（2022?南京一模）已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個條件可以是（）A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD【解答】解：在四邊形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四邊形ABCD為矩形，而判斷矩形是正方形的判定定理為：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D正確，故選：D．5．（2022?雨花臺區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件中，不能判斷這個平行四邊形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【解答】解：A、鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A選項不符合題意；B、對角線平分對角的平行四邊形是菱形，故B選項不符合題意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能夠判斷這個平行四邊形是菱形，故C選項符合題意；D、對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形，故D選項不符合題意．故選：C．6．（2021?秦淮區(qū)二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，則AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，則BC＝CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【解答】解：①連接AC并延長至點E，∵∠BCE為△ABC的外角，∴∠BCE＝∠BAC+∠B，∵∠DCE為△DAC的外角，∴∠DCE＝∠CAD+∠D，∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D．故①正確，符合題意．②連接AC，BD，在△ABC和△ACD中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ACD（SSS）．∴∠BAC＝∠DAC，又∵AB＝AD，∴△ABD為等腰三角形，∴AC⊥BD，故②正確，符合題意．③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，不能得出BC＝CD．故③錯誤，不符合題意．④連接BD，假設(shè)存在凹四邊形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC，則在△ABD和△CDB中，AB=CDAD=BC∴△ABD≌△CDB（SSS）．∴∠A＝∠BCD，又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D，故④錯誤，不符合題意．故選：A．7．（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，若CD＝3，DE＝5，則AD的長是（）A．6 B．7 C．8 D．10【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∵ED＝5，CD＝3，∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，∴CE＝4，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝CD＝3，∴BC＝BE+EC＝7，∴AD＝7，故選：B．8．（2021?鼓樓區(qū)二模）如果一個正多邊形的每一個外角都是36°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：∵一個多邊形的每個外角都是36°，∴n＝360°÷36°＝10，故選：A．二．填空題（共10小題）9．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BA，BC的中點．若BD＝2，則EF的長是1．【解答】解：連接AC，如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形．∴AC＝BD＝2．∵E，F(xiàn)分別是BA，BC的中點．∴EF是△ABC的中位線．∴EF=12AC故答案為：1．10．（2022?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點E，F(xiàn)．若AB＝a，CF＝b，則BE的長為4a2?b2【解答】解：過點E作EH∥AB交BC于H，連接AH，AH交BE于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠AEB＝∠EBH，四邊形ABHE是平行四邊形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBH，∴AB＝AE，∴四邊形ABHE是菱形，∴AH⊥BE，OB＝OE，OA＝OH，AH平分∠BAD，∴∠AHB＝∠HAD=12∠∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=12∠∴∠AHB＝∠FCB，∴AH∥CF，∴四邊形AHCF是平行四邊形，∴AH＝CF＝b，∴OA=12AH在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=A∴BE＝2OB=4故答案為：4a11．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，菱形ABCD和正五邊形AEFGH，F(xiàn)，G分別在BC，CD上，則∠1﹣∠2＝36°．【解答】解：如圖，過M作EM∥BC，∵五邊形AEFGH是正五邊形，∴∠AEF＝∠EAH=1∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AD∥EM，∴∠AEM+∠DAE＝180°，即∠AEM+∠2+∠EAH＝180°，∴∠2＝180°﹣∠AEM﹣∠EAH＝180°﹣∠AEM﹣108°＝72°﹣∠AEM，∵EM∥BC，∴∠1+∠AEM＝108°，∴∠1＝108°﹣∠AEM，∴∠1﹣∠2＝108°﹣∠AEM﹣（72°﹣∠AEM）＝108°﹣∠AEN﹣72°+∠AEM＝36°，故答案為：36．12．（2022?南京二模）在平面直角坐標系中，?ABCD的頂點坐標為A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），則點D的坐標是（5，6）【解答】解：∵?ABCD的頂點坐標為A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），∴點D的坐標是（5，6），故答案為：（5，6）．13．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，正六邊形ABCDEF與平行四邊形GHMN的位置如圖所示，若∠ABG＝19°，則∠NMD的度數(shù)是41°．【解答】解：∵四邊形GHMN是平行四邊形，∴GH∥MN，∴∠NMD＝∠H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝（6﹣2）×180°×1∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝60°，∵∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣19°＝101°，∴∠H＝∠GBC﹣∠BCH＝101°﹣60°＝41°，∴∠NMD＝41°，故答案為：41．14．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點O，E是CD的中點，連接OE．若OE＝5，BD＝12，則AC＝16．【解答】解：∵菱形ABCD對角線AC與BD交于點O，∴DO⊥CO，DO＝BO=12∵E是DC邊上的中點，∴OE=12∴DC＝10，∴OC=D∴AC＝2OC＝16，故答案為：16．15．（2022?南京一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為455【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC=AC2∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴COBC∴22∴OP′=2∴則PQ的最小值為2OP′=4故答案為：4516．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD與正方形AEFG中，點E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，則∠C＝115°．【解答】解：∵四邊形AEFG為正方形，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠CEF＝90°﹣13°＝77°，∵∠B+∠BAE+∠BEA＝180°，∴∠B＝180°﹣38°﹣77°＝65°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B＝115°，故答案為：115．17．（2021?建鄴區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，菱形DEFG頂點D、E在邊AB上，F(xiàn)、G分別在邊BC、AC上，則DE的取值范圍是6037≤DE≤【解答】解：如圖1，當(dāng)DEFG為正方形時，亦為菱形，∵GF∥AB．∴sinA＝sin∠CGF=BCAB=35，sin設(shè)DE＝x，則由題意可得AB=A∴CF=35x，CG=45∵CF+BF＝BC，∴35x+54如圖2，當(dāng)點E與點B重合時，即當(dāng)DBFG為菱形時，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CFCB∴3?BF3=BF5即DE=15如圖3，當(dāng)點D與點A重合時，即當(dāng)GAEF為菱形時，設(shè)菱形邊長為y，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CGCA∴4?y4=y5由于6037綜上所述，DE的取值范圍為6037≤DE故答案為：6037≤DE18．（2021?建鄴區(qū)二模）如圖，直線l將正九邊形ABCDEFGHI分為兩個區(qū)域，且分別與AB、FG相交于P點、Q點．若∠APQ＝85°，則∠PQF＝105°．【解答】解：正九邊形的內(nèi)角和＝（9﹣2）×180°＝1260°，每個內(nèi)角的度數(shù)為：1260°÷9＝140°，六邊形APQGHI的內(nèi)角和為（6﹣2）×180°＝720°，∴∠PQG＝720°﹣140°×4﹣85°＝75°,∴∠PQF＝180°﹣∠PQG＝180°﹣75°＝105°,故答案為：105．三．解答題（共9小題）19．（2022?南京二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，對角線AC、BD交于點O，過點B作BE∥CD交AC于點E，連接DE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形；（2）若AB＝5，E為AC的中點，當(dāng)BC的長為5時，四邊形BCDE為正方形．【解答】（1）證明：∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC為BD的垂直平分線，即AC⊥BD，OB＝OD，∵BE∥CD，∴∠EBO＝∠CDO，在△EOB和△COD中，∠EBO=∠CDO∠BOE=∠DOC∴△EOB≌△COD（ASA），∴EO＝CO，∴四邊形BCDE為平行四邊形．∵CB＝CD，∴四邊形BCDE是菱形；（2）解：設(shè)OB＝x，∵四邊形BCDE是菱形，∴當(dāng)OE＝OB＝x時，四邊形BCDE是正方形，此時BC=2x∵E為AC的中點，∴AE＝CE＝2x，在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，∴x2+（3x）2＝52，解得x1=102，x2∴BC=2即當(dāng)BC的長為5時，四邊形BCDE為正方形．20．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，DE是△ABC的中位線，延長DE至點F，使EF＝DE，連接AF，CF，AD．（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；（2）要使四邊形ADCF是菱形，△ABC的邊需要滿足的條件是AB2+AC2＝BC2．【解答】（1）證明：∵DE是△ABC的中位線，∴AE＝EC，DE∥AB，∵EF＝DE，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形；（2）解：AB2+AC2＝BC2，四邊形ADCF是菱形，∵AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝90°，∴DF⊥AC，∵四邊形ADCF是平行四邊形，∴平行四邊形ADCF是菱形．故答案為：AB2+AC2＝BC2．21．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，連接CE并延長，與BA的延長線交于點F．（1）求證EF＝EC；（2）連接AC，DF，若AC平分∠FCB，求證：四邊形ACDF為矩形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAF＝∠EDC，∵E是AD中點，∴AE＝DE，∵AE＝DE，∠FEA＝∠DEC，∠FAE＝∠EDC，∴△EAF≌△DEC（ASA），∴EF＝EC；（2）如圖，∵EF＝EC，AE＝DE，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∵AC平分∠FCB，∴∠ACE＝∠ECA，∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠ACE＝∠EAC，∴AE＝CE，即AD＝FC，∴四邊形ACDF為矩形．22．（2022?南京一模）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE＝CF．直線EF分別交BA，DC的延長線于點G，H．（1）求證：四邊形BHDG是平行四邊形；（2）若AB＝4，BC＝8，當(dāng)AE的長為3時，四邊形BHDG是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠AGE＝∠CHF，∵∠BAD+∠GAE＝∠BCD+∠HCF＝180°，∴∠GAE＝∠HCF＝90°，在△AGE和△CHF中，∠AGE=∠CHF∠GAE=∠HCF=90°∴△AGE≌△CHF（AAS），∴AG＝CH，∴AB+AG＝CD+CH，即BG＝DH，∵AB∥CD∴四邊形BHDG是平行四邊形；（2）∵四邊形BHDG是菱形，∴BH＝DH，∵BH2＝BC2+CH2，∴BH2＝64+（BH﹣4）2，∴BH＝10＝DH，∴CH＝6，∵AB∥CD，∴△BGF∽△CHF，∴CHBG∴610∴CF＝3，故答案為：3．23．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝53，∠B＝90°．點M在邊AD上，AM＝2，點N是邊BC上一動點．以MN為斜邊作Rt△MNP，若點P在四邊形ABCD的邊上，則稱點P是線段MN的“勾股點”．（1）如圖①，線段MN的中點O到BC的距離是C．A．3B．5C．3D．23（2）如圖②，當(dāng)AP＝2時，求BN的長度．（3）是否存在點N，使線段MN恰好有兩個“勾股點”？若存在，請直接寫出BN的長度或取值范圍；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，過點M作MQ⊥AB交BA的延長線于點Q，過點O作OE⊥BC，垂足為E，過點M作MF⊥BC于點F，連接AC，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B＝90°，∵AD＝5，DC＝53，∴AC=A∴∠DAC＝∠BAC＝∠QAM＝60°，∠DCA＝∠BCA＝∠QMA＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝∠BCA＝30°，∴QA＝1，QM=3∵MQ⊥AB，OE⊥BC，∠B＝90°，∴四邊形MQBF是矩形，∴MF＝QB＝AB+QA＝5+1＝6，∵MF⊥CB，OE⊥BC，∴OE∥MF，∴ONOM∵OM＝ON，∴NE＝EF，∴OE=12故選：C；（2）過點M作MQ⊥AB交BA的延長線于點Q，∵點P是線段MN的“勾股點”，∴∠MPN＝90°，∴∠QPM＝∠BNP，又∵∠Q＝∠B＝90°，∴△QPM∽△BNP，∴QPBN∴3BN∴BN＝33；（3）①如圖，以MN為直徑的圓經(jīng)過點A時，此時線段MN恰好有兩個“勾股點”，∵∠NAM＝∠D＝90°，∴AN∥CD，∴∠C＝∠BNM＝60°，∴BN=AB如圖，當(dāng)BN=3時，線段MN∴當(dāng)0＜BN＜533且BN≠②如圖，當(dāng)以MN為直徑的圓經(jīng)過點C和D時，此時線段MN恰好有兩個“勾股點”，∴BN＝BC＝53．綜上所述，當(dāng)0＜BN＜533且BN≠3或BN＝524．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為3．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，∵E、F分別是BC、DC的中點．∴BE=12BC，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE；（2）解：連接AC交EF于H，連接BD交AC于點O，∵菱形ABCD的面積為8，∴S△ABC＝S△ADC＝4，AO＝CO，AC⊥BD，∵E、F分別是BC、DC的中點．∴S△ACE＝S△ACF＝2，EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴CHCO∴CO＝2CH，∴AC＝4CH，∴S△AEH=34S△AEC=32，S△AFH=3∴S△AEF＝3，故答案為：3．25．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝C