《高等數(shù)學(xué)》同濟(jì)六版教學(xué)課件第1章函數(shù)與極限

《高等數(shù)學(xué)》同濟(jì)六版教學(xué)課件第1章函數(shù)與極限目錄函數(shù)極限函數(shù)的連續(xù)性導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)的單調(diào)性與極值CONTENTS01函數(shù)CHAPTER函數(shù)的定義與性質(zhì)總結(jié)詞理解函數(shù)的基本定義，掌握函數(shù)的性質(zhì)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。詳細(xì)描述函數(shù)是數(shù)學(xué)中描述兩個(gè)數(shù)集之間關(guān)系的一種工具，通常表示為y=f(x)。函數(shù)的性質(zhì)包括奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性等，這些性質(zhì)對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)非常重要。了解并掌握函數(shù)的多種表示方法是深入理解函數(shù)的關(guān)鍵?？偨Y(jié)詞函數(shù)的表示方法有多種，如解析法、表格法、圖象法等。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，可以幫助我們更好地理解函數(shù)的特性。例如，圖象法可以直觀地展示函數(shù)的形態(tài)和變化趨勢(shì)，解析法則可以明確地表達(dá)函數(shù)的關(guān)系式。詳細(xì)描述函數(shù)的表示方法總結(jié)詞掌握函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的必要條件。詳細(xì)描述函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)包括加法、減法、乘法、除法等運(yùn)算的規(guī)則和性質(zhì)。例如，函數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，乘法滿足分配律等。這些性質(zhì)在后續(xù)的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到，如求導(dǎo)數(shù)、積分等都需要用到這些運(yùn)算性質(zhì)。函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)02極限CHAPTER極限的定義極限是描述函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)概念。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，如果當(dāng)$x$趨近于某個(gè)值$a$時(shí)，$f(x)$的值趨近于一個(gè)確定的常數(shù)$L$，則稱$L$為$f(x)$在點(diǎn)$a$處的極限。極限的性質(zhì)極限具有唯一性、有界性、局部保號(hào)性、局部不等式性質(zhì)等性質(zhì)。這些性質(zhì)在解決極限問(wèn)題時(shí)具有重要的作用。極限的定義與性質(zhì)極限的四則運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的極限，如果存在，則分別等于各自極限的和、差、積、商。極限的復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于復(fù)合函數(shù)的極限，如果內(nèi)層函數(shù)的極限存在，則外層函數(shù)的極限也存在，且等于內(nèi)層函數(shù)極限與外層函數(shù)在極限點(diǎn)的函數(shù)值的乘積。極限的常數(shù)倍性質(zhì)對(duì)于常數(shù)倍的函數(shù)，其極限等于常數(shù)與原函數(shù)極限的乘積。極限的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)一個(gè)變量趨近于0時(shí)，該變量可以視為無(wú)窮小量。在極限運(yùn)算中，無(wú)窮小量可以用來(lái)化簡(jiǎn)復(fù)雜的表達(dá)式。無(wú)窮小量當(dāng)一個(gè)變量趨近于無(wú)窮大時(shí)，該變量可以視為無(wú)窮大量。在解決極限問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要利用無(wú)窮大量的性質(zhì)來(lái)化簡(jiǎn)問(wèn)題。無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量03函數(shù)的連續(xù)性CHAPTER連續(xù)性的定義與性質(zhì)連續(xù)性的定義是函數(shù)在某點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)，連續(xù)性具有一些重要性質(zhì)，如極限性質(zhì)和可微性等?？偨Y(jié)詞連續(xù)性的定義是函數(shù)在某一點(diǎn)或某一區(qū)間內(nèi)沒(méi)有間斷，即函數(shù)在該點(diǎn)或該區(qū)間內(nèi)的極限值等于函數(shù)值。連續(xù)性具有一些重要的性質(zhì)，如極限性質(zhì)和可微性等。極限性質(zhì)表明，如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。可微性則表明，如果函數(shù)在某點(diǎn)可微，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。詳細(xì)描述連續(xù)函數(shù)具有一些重要的運(yùn)算性質(zhì)，如加減乘除和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性等?？偨Y(jié)詞連續(xù)函數(shù)具有一些重要的運(yùn)算性質(zhì)。首先，兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積和商仍然是連續(xù)函數(shù)。其次，復(fù)合函數(shù)在一定條件下也是連續(xù)的。這些性質(zhì)對(duì)于理解函數(shù)的極限和可微性非常重要，也是高等數(shù)學(xué)中處理函數(shù)的重要工具。詳細(xì)描述連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)函數(shù)的間斷點(diǎn)是指函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)的點(diǎn)，間斷點(diǎn)可以分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)兩類?？偨Y(jié)詞函數(shù)的間斷點(diǎn)是指函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)的點(diǎn)。根據(jù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處的左右極限是否存在和是否相等，可以將間斷點(diǎn)分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)兩類。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)，它們的左右極限存在但不相等；第二類間斷點(diǎn)包括無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn)，它們的左右極限不存在或相等。了解函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類對(duì)于理解函數(shù)的連續(xù)性和可微性非常重要。詳細(xì)描述函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類04導(dǎo)數(shù)與微分CHAPTER導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化率，是函數(shù)值的斜率。導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)性、可加性、可乘性和鏈?zhǔn)椒▌t等性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的商，其導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)商的公式來(lái)計(jì)算。商的導(dǎo)數(shù)對(duì)于冪函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)冪的導(dǎo)數(shù)公式來(lái)計(jì)算。冪的導(dǎo)數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)計(jì)算。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)微分是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小增量，是函數(shù)改變量的線性部分。微分的定義微分具有線性性、可加性和可乘性等性質(zhì)。微分的性質(zhì)微分是導(dǎo)數(shù)的幾何解釋，即當(dāng)切線的斜率為0時(shí)，切線就是函數(shù)的切線。微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分的定義與性質(zhì)05函數(shù)的單調(diào)性與極值CHAPTERVS單調(diào)性是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的增減性。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則稱該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)具有單調(diào)性。性質(zhì)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，它只與函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)有關(guān)。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)大于等于零；反之，如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間內(nèi)小于等于零。定義單調(diào)性的定義與性質(zhì)極值是指函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)或由負(fù)變正的點(diǎn)。也就是說(shuō)，極值點(diǎn)是函數(shù)在其附近變化速率最大的點(diǎn)。極值點(diǎn)處的函數(shù)值是局部最大或最小的，但它不是整體最大或最小的。極值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為零，但二階導(dǎo)數(shù)可能為正或負(fù)。此外，極值點(diǎn)處的函數(shù)值必須大于或小于其鄰近點(diǎn)的函數(shù)值。定義性質(zhì)極值的定義與性質(zhì)最值的定義函數(shù)的最值是指在整個(gè)定義域內(nèi)的最大值和最小值。對(duì)于連續(xù)函數(shù)，最值點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)為零；對(duì)于離