2024年2月第二屆“魚塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題卷（含答案）

年2月第二屆“魚塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校?考號(hào)（即QQ號(hào)后6位）填寫在答題卡上.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案見解析.答案不能答在試卷上.最終請(qǐng)按照要求在“雨課堂”直接選中您作答的選項(xiàng)或直接在指定位置填寫選項(xiàng)答案.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.最終請(qǐng)逐題按照要求上傳至“雨課堂”的指定位置，要求字跡工整?清晰.4.請(qǐng)認(rèn)準(zhǔn)“魚塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí)官方信息發(fā)布群778435509，后續(xù)閱卷申訴?獎(jiǎng)金頒發(fā)和獲獎(jiǎng)名單公示都在此群內(nèi)進(jìn)行.本聯(lián)考活動(dòng)最終解釋權(quán)歸魚塘杯聯(lián)考命題組所有.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A.-3B.3C.D.2.如果可導(dǎo)曲線在點(diǎn)的切線方程為，其中，則（）A.B.C.D.無(wú)法確定3.設(shè)銳角滿足，則數(shù)據(jù)的極差是（）A.B.C.D.4.設(shè)焦距相同的橢圓和雙曲線相交于分別位于第一象限?第二象限的兩點(diǎn)，兩圓錐曲線的公共左焦點(diǎn)為，則的值是（）A.B.C.D.5.已知公比與首項(xiàng)均不為0的等比數(shù)列，則“單調(diào)遞增”是“”的（）A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件6.已知三棱錐底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是底面上一點(diǎn)，三棱錐體積.則對(duì)的最小值是（）A.1B.3C.D.7.設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)為，橢圓上一點(diǎn)和平面一點(diǎn)滿足，則的最大值與最小值之和是（）A.48B.50C.52D.548.已知是定義在上單調(diào)遞增且圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，且有，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)是樣本空間，是隨機(jī)事件，是樣本點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.10.設(shè)全集為，設(shè)是兩個(gè)集合，定義集合，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其中代表不超過(guò)的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列滿足：是在上最大值，數(shù)列滿足：且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.最小值為-2B.在有個(gè)極值點(diǎn)C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若底面邊長(zhǎng)為2的正六棱柱存在內(nèi)切球，則其外接球體積是__________.13.小魚和A，B，C，D，E共六個(gè)好友在圓桌上用餐，則A坐在小魚對(duì)面且B和C不相對(duì)的坐法的種數(shù)是__________.如果圓桌可以旋轉(zhuǎn)后重合，則記為同一種排列方式.14.如果是離散型隨機(jī)變量，則在事件下的期望滿足其中是所有可能取值的集合.已知某獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的成功概率為，進(jìn)行次試驗(yàn)，求第次試驗(yàn)恰好是第二次成功的條件下，第一次成功的試驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）設(shè)數(shù)列滿足：，且對(duì)成立.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求和的通項(xiàng)公式.16.（15分）在四面體中，為中點(diǎn)，為外接球的球心，且.（1）證明：；（2）若，求四面體體積的最大值.17.（15分）設(shè)的外接圓半徑是均為銳角，且.（1）證明：不是銳角三角形；（2）證明：在的外接圓上存在唯一的一點(diǎn)，滿足對(duì)平面上任意一點(diǎn)，有.18.（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是為為圓心，為半徑的圓.直線是過(guò)上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)的的切線，切點(diǎn)為.（1）求的最大值；（2）求的最大值.19.（17分）請(qǐng)?jiān)谙铝蓄}目中任選一題作答，將選擇題目的序號(hào)（粗體大寫英文字母）寫在答題卡醒目位置.如果選擇多題，則按所選擇的第一題計(jì)分.（A）稱是的一個(gè)向往集合，當(dāng)且僅當(dāng)其滿足如下兩條性質(zhì)：（1）任意，；（2）任意和，有.任取，稱包含的最小向往集合稱為的生成向往集合，記為.（1）求滿足的正整數(shù)的值；（2）對(duì)兩個(gè)向往集合，定義集合.（i）證明：仍然是向往集合，并求正整數(shù)，滿足；（ii）證明：如果，則.（B）對(duì)三次函數(shù)，如果其存在三個(gè)實(shí)根，則有.稱為三次方程根與系數(shù)關(guān)系.（1）對(duì)三次函數(shù)，設(shè)，存在，滿足.證明：存在，使得；（2）稱是上的廣義正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在極值點(diǎn)，使得.在平面直角坐標(biāo)系中，是第一象限上一點(diǎn)，設(shè).已知在上有兩根.（i）證明：在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件是；（ii）求點(diǎn)組成的點(diǎn)集，滿足是上的廣義正弦函數(shù).（C）設(shè)有兩個(gè)集合，如果對(duì)任意，存在唯一的，滿足，那么稱是一個(gè)的函數(shù).設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，那么是的函數(shù)，稱為和的復(fù)合，記為.如果兩個(gè)的函數(shù)對(duì)任意，都有，則稱.（1）對(duì)，分別求一個(gè)，使得對(duì)全體恒成立；（2）設(shè)集合和的函數(shù)以及的函數(shù).（i）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足；（ii）對(duì)，構(gòu)造的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，并且如果存在其它的集合滿足存在的函數(shù)以及的函數(shù)，滿足，則存在唯一的的函數(shù)滿足.（D）對(duì)集合，定義其特征函數(shù)考慮集合和正實(shí)數(shù)，定義為和式函數(shù).設(shè)，則為閉區(qū)間列；如果集合對(duì)任意，有，則稱是無(wú)交集合列，設(shè)集合.（1）證明：L和式函數(shù)的值域?yàn)橛邢藜?；?）設(shè)為閉區(qū)間列，是定義在上的函數(shù).已知存在唯一的正整數(shù)，各項(xiàng)不同的非零實(shí)數(shù)，和無(wú)交集合列使得，并且，稱為和式函數(shù)的典范形式.設(shè)為的典范數(shù).（i）設(shè)，證明：；（ii）給定正整數(shù)，任取正實(shí)數(shù)和閉區(qū)間列，判斷的典范數(shù)最大值的存在性.如果存在，給出最大值；如果不存在，說(shuō)明理由.2024年2月第二屆“魚塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)本參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)共10頁(yè)，19小題，滿分150分.注意事項(xiàng)：1.本參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第I卷部分提供了答案和解析，第II卷部分提供了標(biāo)準(zhǔn)解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).2.第II卷部分每一題只給出了一種解答提供閱卷參考，如果出現(xiàn)新的解答，按照本參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神，劃定步驟分評(píng)分.3.如果考生發(fā)現(xiàn)自己的改卷結(jié)果和本參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)不一致，可在官方QQ群中@任意一個(gè)管理員進(jìn)行申訴，申訴時(shí)需要提供準(zhǔn)考證號(hào)和自己的解答拍照.4.本聯(lián)考活動(dòng)最終解釋權(quán)歸魚塘杯聯(lián)考命題組所有.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.本題主要考察基本知識(shí)和基本方法.1.【答案】A【解析】注意到，那么，其虛部為-3.2.【答案】C【解析】切線方程的斜截式為，斜率，所以.3.【答案】B【解析】因?yàn)?，并且是銳角，所以，四個(gè)數(shù)據(jù)分別為，所以極差為.4.【答案】D【解析】橢圓的半焦距為，所以有，所以，設(shè)右焦點(diǎn)，則.5.【答案】D【解析】考慮時(shí)，單調(diào)遞增的充要條件是，所以單調(diào)遞增”是“”的既不充分也不必要條件.6.【答案】B【解析】表示到平面上任意一點(diǎn)的距離，故最小值為.7.【答案】B【解析】可以設(shè)，因?yàn)?，得到，所以，那么，所以，最小值和最大值之和?8.【答案】D【解析】得到，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以不恒等于，故.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故..若存在，則，則恒等于1，與單調(diào)遞增矛盾，故.若存在，因?yàn)檫B續(xù)，，故存在，與上述第三條結(jié)論矛盾，故.對(duì)于本題，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因?yàn)閱握{(diào)遞增，故不取等..容易證明時(shí)，為增函數(shù)，，所以.綜上所述.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.本題主要考察基本知識(shí)和基本方法的適當(dāng)擴(kuò)展.9.【答案】BC【解析】對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其所有可能的結(jié)果的集合稱為樣本空間，樣本空間的元素稱為樣本點(diǎn)或基本事件，隨機(jī)事件是樣本空間的一個(gè)子集.所以有和.10.【答案】ABD【解析】對(duì)而言，，所以；因?yàn)?，且，所以，且，所?11.【答案】BCD【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，故，不取等.時(shí)令..計(jì)算可知在上有個(gè)極值點(diǎn)，同理可算得上有個(gè)極值點(diǎn).時(shí)時(shí)，故是一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述在上有個(gè)極值點(diǎn).時(shí)，因?yàn)?，所以在最大值僅可能在取得；同理在上的最大值僅可能在取得.對(duì)，有成立，故最大值在取得，即，故不是上的最大值點(diǎn)，是上的最大值，故.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.本題主要考察基本知識(shí)和基本方法的適當(dāng)擴(kuò)展.12.【答案】.【解析】邊長(zhǎng)為2的正六棱柱與其側(cè)面均相切的球半徑，若該球與其8個(gè)面均相切，則正六棱柱的高為.其外接球半徑為，則其體積為.13.【答案】16.【解析】在小魚和和相對(duì)位置確定后，有四種選擇，的每種選擇確定下有兩種選擇，確定的情況下剩余兩人有兩種排列方式，故總坐法有種.14.【答案】.【解析】設(shè)隨機(jī)變量分別代表第一?第二次成功對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)次數(shù)，則，以及，所以，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.本題主要考察數(shù)列的基本知識(shí)和基本方法.考察等比數(shù)列的定義和判定以及求通項(xiàng)公式的相關(guān)方法.【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】（1）移項(xiàng)得到相加得所以因?yàn)?，所以是首?xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到另外有，所以對(duì)成立所以對(duì)成立所以通項(xiàng)公式為和.16.本題主要考察立體幾何的基本定理基本方法.考察四面體體積的相關(guān)求解方法和直線與直線垂直的判定定理.【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】（1）因?yàn)?，所以是的外心，又因?yàn)槭撬拿骟w的外接球球心，有.在中，為中點(diǎn)，互補(bǔ)，所以，所以.因?yàn)槭切边呏悬c(diǎn)，有所以根據(jù)勾股定理的逆定理，所以平面，又因?yàn)槠矫妫校?）因?yàn)槠矫?，有設(shè)，根據(jù)，得到，所以，同理作，根據(jù)，得到，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【備注】和的長(zhǎng)度用表示，寫出一個(gè)得1分，寫出兩個(gè)得3分.17.本題主要考察三角恒等變換?解三角形和向量的基本知識(shí).考察不等式的相關(guān)應(yīng)用和向量的相關(guān)應(yīng)用.【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】（1）記在中，所對(duì)的邊分別長(zhǎng)度為.根據(jù)正弦定理，有，所以.根據(jù)，有，得到因?yàn)槎际卿J角，根據(jù)的單調(diào)性得到，所以，所以，所以不是銳角三角形（2）因?yàn)?，所以所以，所以，得到設(shè)外接圓圓心為，則有得到對(duì)平面上所有成立，必須有，根據(jù)是直角和平面幾何知識(shí)（必須有，否則扣2分）得到在外接圓上，并且根據(jù)平面向量基本定理得到唯一【備注】在外接圓上和唯一性的證明，少一個(gè)扣2分.18.【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】（1）根據(jù)題意，可以很快求出設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，因?yàn)樵谇€上，在處導(dǎo)數(shù)為，所以的方程是存在使得等價(jià)于到的距離不大于1，所以，解得，所以（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的另一條切線與相切于，由（1）同理可得，又因?yàn)榉謩e在上，所以先證明，有.聯(lián)立和，得到是方程的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，，代入得到，所以又因?yàn)樗裕?，時(shí)等號(hào)成立.19.（17分）請(qǐng)?jiān)谙铝蓄}目中任選一題作答，將選擇題目的序號(hào)（粗體大寫英文字母）寫在答題卡醒目位置.如果選擇多題，則按所選擇的第一題計(jì)分.本題主要考察新情境新設(shè)問下的邏輯推理能力和概念理解能力.考察數(shù)學(xué)證明和論證的綜合素養(yǎng).（A）【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】（1）設(shè).注意到，所以，又，所以注意到集合，并且是向往集合，根據(jù)生成向往集合的最小性，有因?yàn)?，所以，另一方面，容易證明，因?yàn)橹腥际?的倍數(shù)，所以，綜上所述（2）（i）用和（1）類似的方法可以得到，且.所以所以，又因?yàn)樯上蛲系淖钚⌒?，有下面證明是向往集合.任取，寫出表示成有限和的形式，則也可以寫成有限和的形式，容易證明其次，任意取，只需要把中的替換為即可，綜上所述是向往集合（ii）因?yàn)椋驗(yàn)?，所以存在，有任取，有和，所以進(jìn)而根據(jù)向往集合的性質(zhì)（1），有任意取，有，因?yàn)?，有，所以（B）【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】本題為全卷最難一題，為了增加解析的神秘感，以及吸引更多的人觀看試卷講解，這里略去其解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，也與2023年8月第一屆“魚塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題卷一脈相承，相關(guān)答案和解析請(qǐng)期待講評(píng)現(xiàn)場(chǎng).（C）【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】（1）顯然有對(duì)所有成立（2）（i）考慮以及兩個(gè)函數(shù)對(duì)任意，因?yàn)?，所以（ii）我們可以繼續(xù)使用（i）的構(gòu)造任意取，因?yàn)?，所以所以，因此存在滿足條件如果存在兩個(gè)，則根據(jù)的定義得到【備注】寫出一個(gè)得2分，寫出兩個(gè)得3分.（D）【解析和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】（1）因?yàn)楸磉_(dá)式中恒定，所以的取值只和有關(guān)則當(dāng)都相同的時(shí)候相同注意到最多只