河南省焦作市2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

焦作市普通高中20222023學(xué)年高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粒貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z，可得其共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)模的計(jì)算可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)，故，所以，故選：C2.已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】聯(lián)立和，求得，即可求得其子集個(gè)數(shù).【詳解】由已知集合，聯(lián)立和，可得或或，則，故集合子集個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：D3.某大型企業(yè)開發(fā)了一款新產(chǎn)品，投放市場后供不應(yīng)求，為了達(dá)到產(chǎn)量最大化，決定增加生產(chǎn)線．經(jīng)過一段時(shí)間的生產(chǎn)，統(tǒng)計(jì)得該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線條數(shù)與月產(chǎn)量（件）之間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：4681030406070由數(shù)據(jù)可知，線性相關(guān)，且滿足回歸直線方程，則當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為（）A.73件 B.79件 C.85件 D.90件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出樣本中心點(diǎn)，再代入回歸直線方程，即可求出參數(shù)的值，從而得到回歸直線方程，最后將代入計(jì)算可得.【詳解】解：依題意可得，，因?yàn)榛貧w直線方程必過樣本中心點(diǎn)，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)該款新產(chǎn)品的生產(chǎn)線為12條時(shí)，預(yù)計(jì)月產(chǎn)量為85件.故選：C4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性排除A，利用特殊值和圖象變化趨勢排除B,D.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，故排除A；因?yàn)?，所以排除B；因?yàn)?，所以排除D；故選：C.5.若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則正整數(shù)的值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】首先寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，依題意可得且，即可排除B、C，再將A、D代入驗(yàn)證即可.【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，所以且，顯然且為整數(shù)，即為的倍數(shù)，故排除B、C，又為的因數(shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)符合題意.故選：A6.設(shè)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，再根據(jù)兩角和的余弦公式及誘導(dǎo)公式得到，再根據(jù)、的范圍判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，即，即，因?yàn)?，所以，所以，?故選：D7.已知圓柱的下底面圓的內(nèi)接正三角形ABC的邊長為6，P為圓柱上底面圓上任意—點(diǎn)，若三棱錐的體積為，則圓柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出底面內(nèi)接正三角形外接圓的半徑及的面積，設(shè)圓柱的母線長為，根據(jù)圓錐的體積公式求出，則圓柱外接球的半徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】解：如圖，因?yàn)槭沁呴L為的正三角形，則其外接圓的半徑，解得，又，設(shè)圓柱的母線長為，則，解得，所以圓柱的外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故選：B8.在直三棱柱中，，且，若直線與側(cè)面所成的角為，則異面直線與所成的角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用線面角的向量求法求出的值，再求異面直線所成角即可.【詳解】因?yàn)橹比庵?，所以底面，又因?yàn)椋詢蓛纱怪?，以為軸建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，解得，所以直線與側(cè)面所成的角的正弦值，解得，所以，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，所以異面直線與所成的角的正弦值為.故選：D9.已知為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)幾何意義即可求解.【詳解】作出圖形，如圖所示，根據(jù)題意可知:點(diǎn)，，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則，如圖（當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號）因?yàn)?，所以的最小值為，故選：.10.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，，，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，由此作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，因?yàn)榍遥瑒t由圖可知，所以.故選：A.11.分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)、作平行直線、，直線、在軸上方分別與交于、兩點(diǎn)，若與之間的距離為，且（表示面積，為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，從而得到，設(shè)，則，在、中利用余弦定理求出、，由可得，即可得解.【詳解】解：由題意知直線、的斜率一定存在，設(shè)、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意知，，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，即，解得，同理在中利用余弦定理可得，因?yàn)?，所以，即，即，所以故選：A12.已知函數(shù)與的圖象沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目條件列出方程，然后同構(gòu)變形，借助，即可求得本題答案.【詳解】若函數(shù)與的圖象沒有公共點(diǎn)，即相當(dāng)于無解，變形得，，令，則，令，則在上為增函數(shù)，而，，故唯一解，，且，，化簡得，，即，設(shè)，則，故在為增函數(shù)，故，所以，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)無解，即.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正六邊形幾何性質(zhì)，求出向量的模長以及夾角，利用平面向量的定義式，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：在正六邊形中，易知，，，，則與的夾角為，即，在中，，.故答案為：.14.已知圓，的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內(nèi)切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．【答案】【解析】【分析】依題意求出圓心的橫坐標(biāo)與半徑，即可得解.【詳解】解：依題意可知圓心的橫坐標(biāo)為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.15.已知為奇函數(shù)，若對任意，存在，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，再根據(jù)題意推得的關(guān)系式，結(jié)合的范圍，即可求得答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，即，由于,故，則，由于，故，所以，由，可得，即或，對任意，存在，滿足，故，則,，，k取負(fù)值，則只能，此時(shí)，或，則，則,綜合可得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：16.如圖，已知，分別為兩邊上的點(diǎn)，，，過點(diǎn)，作圓弧，為的中點(diǎn)，且則線段長度的最大值為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，在中由正弦定理可得，在由余弦定理求出、，在中由余弦定理表示出，再結(jié)合三角恒等變換公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可得解.【詳解】解：設(shè)，則，在中，由正弦定理知，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，則，在中由余弦定理，解得，在中，，由余弦定理可得所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的得最大值.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，求正整數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，即可得到，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可得到方程，解得即可.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又時(shí)也符合上式，所以.【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，所以，所以，則，解得.18.某出租車公司為推動駕駛員服務(wù)意識和服務(wù)水平大提升，對出租車駕駛員從駕駛技術(shù)和服務(wù)水平兩個(gè)方面進(jìn)行了考核，并從中隨機(jī)抽取了100名駕駛員，這100名駕駛員的駕駛技術(shù)與性別的2×2列聯(lián)表和服務(wù)水平評分的頻率分布直力圖如下，已知所有駕駛員的服務(wù)水平評分均在區(qū)間內(nèi).（1）判斷能否有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）從服務(wù)水平評分在區(qū)間內(nèi)的駕駛員中用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取4人，記X為4人中評分落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.100.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）不能有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的解題步驟，可得答案；（2）根據(jù)分層抽樣明確各個(gè)區(qū)間抽取的人數(shù)，根據(jù)超幾何分別求解分布列和數(shù)學(xué)期望的步驟，可得答案.【小問1詳解】由題意可知：，則，即，故不能有95%的把握認(rèn)為駕駛員的駕駛技術(shù)是否優(yōu)秀與性別有關(guān).【小問2詳解】，解得，由頻率分布直方圖，則服務(wù)水平評分在區(qū)間內(nèi)駕駛員的頻率分別為，即其比為，因此，分層抽樣的12人在區(qū)間內(nèi)駕駛員人數(shù)分別為，故的可能取值為，，，，，，則其分布列如下表：.19.在如圖所示的六面體中，平面平面，，，.（1）求證：平面；（2）若兩兩互相垂直，，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)分別為，連接，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明四邊形，，為平行四邊形，即可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)分別為，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，，，同理可得四邊形為平行四邊形，，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪?，以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，解得，設(shè)平面的法向量，則，解得，所以，由圖可知所求角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且的面積為6．（1）求C的方程；（2）若過點(diǎn)且斜率為k的直線l交雙曲線C的右支于兩點(diǎn)，Q為x軸上一點(diǎn)，滿足，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，解得其值，可得雙曲線方程；（2）設(shè)出直線l的方程。聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)題意求出的垂直平分線的方程，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求得，再求得弦長，利用雙曲線定義可推出，化簡，即可證明其為定值.【小問1詳解】由題意點(diǎn)在C上，且的面積為6，可得且，則，又，解得，故雙曲線方程為；【小問2詳解】證明：由（1）知，故設(shè)斜率為k的直線l為，由于直線l交雙曲線C的右支于兩點(diǎn)，故，聯(lián)立，可得，當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線漸近線平行，此時(shí)直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；故，此時(shí)，設(shè)，則，則，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)镼為x軸上一點(diǎn)，滿足，故Q為的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，的垂直平分線的方程為：，令，則得，即,所以,又，又因?yàn)樵陔p曲線的右支上，故,故，即,故，即為定值.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：證明為定值時(shí)，關(guān)鍵是要結(jié)合雙曲線定義化簡，同時(shí)結(jié)合，利用的垂直平分線的方程求出，求得，因此難點(diǎn)就在于求雙曲線弦長以及時(shí)，計(jì)算比較復(fù)雜且計(jì)算量較大，要求十分細(xì)心.21.已知函數(shù).（1）若的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求a的值；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出的圖象在點(diǎn)處的切線，進(jìn)而求出切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，表示出三角形面積，求出a的值；（2）利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求出a的取值范圍.【小問1詳解】，，，則的圖象在點(diǎn)處的切線為，由題意可知，令得，令得，則，解得.【小問2詳解】令，即，令，則與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由題意可知，，則是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，同時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，同時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，根據(jù)圖像可知，與有三個(gè)不同的交點(diǎn)需要滿足或者，即a的取值范圍.【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).（二）選考題：共10分.請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是．（1）求l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)l與C相交于點(diǎn)A，B，求的值．【答案】（1）直線的普通方程為，;（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)