工程數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)(第4版)王元明

工程數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)(第4版)王元明目錄CONTENTS緒論數(shù)學(xué)物理方程基礎(chǔ)知識(shí)特殊函數(shù)及其性質(zhì)典型數(shù)學(xué)物理方程求解方法數(shù)值計(jì)算方法在工程數(shù)學(xué)中應(yīng)用工程領(lǐng)域中數(shù)學(xué)物理方程應(yīng)用案例01緒論03數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)的關(guān)系特殊函數(shù)是數(shù)學(xué)物理方程求解的重要工具，而數(shù)學(xué)物理方程的研究也推動(dòng)了特殊函數(shù)的發(fā)展。01數(shù)學(xué)物理方程描述物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)偏微分方程、積分方程等形式表達(dá)。02特殊函數(shù)在數(shù)學(xué)物理方程求解過(guò)程中出現(xiàn)的具有特殊性質(zhì)的函數(shù)，如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)概述發(fā)展歷程研究現(xiàn)狀發(fā)展歷程及研究現(xiàn)狀目前，數(shù)學(xué)物理方程的研究已經(jīng)滲透到各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，包括力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)、量子力學(xué)等。同時(shí)，隨著非線性科學(xué)的發(fā)展，非線性數(shù)學(xué)物理方程的研究也受到了廣泛關(guān)注。在特殊函數(shù)方面，隨著新的數(shù)學(xué)工具和方法的發(fā)展，不斷有新的特殊函數(shù)被發(fā)現(xiàn)和研究。從17世紀(jì)牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分開(kāi)始，數(shù)學(xué)物理方程逐漸發(fā)展并應(yīng)用于各種物理領(lǐng)域。19世紀(jì)，隨著電磁學(xué)、熱力學(xué)等學(xué)科的興起，數(shù)學(xué)物理方程的研究進(jìn)入高峰期。20世紀(jì)以來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)物理方程的數(shù)值解法得到了廣泛應(yīng)用。本書(shū)系統(tǒng)介紹了數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)的基本理論和方法，包括常微分方程、偏微分方程、積分方程、變分法、復(fù)變函數(shù)、特殊函數(shù)等。同時(shí)，結(jié)合大量實(shí)例和習(xí)題，幫助讀者深入理解和掌握相關(guān)知識(shí)和技能。內(nèi)容本書(shū)共分為十章，第一章為緒論，簡(jiǎn)要介紹數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)的概念、發(fā)展歷程和研究現(xiàn)狀；第二至四章介紹常微分方程的基本理論和方法；第五至七章介紹偏微分方程的基本理論和方法；第八至九章介紹積分方程和變分法的基本理論和方法；第十章介紹復(fù)變函數(shù)和特殊函數(shù)的基本理論和方法。結(jié)構(gòu)安排本書(shū)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)安排02數(shù)學(xué)物理方程基礎(chǔ)知識(shí)微分方程是描述未知函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的方程，根據(jù)未知函數(shù)的最高階數(shù)，可分為一階、二階及高階微分方程。微分方程的定義微分方程的解是滿(mǎn)足該方程的函數(shù)，根據(jù)解的性質(zhì)可分為通解和特解。通解是包含任意常數(shù)的解，特解是滿(mǎn)足特定條件的解。微分方程的解根據(jù)微分方程的形式，可分為線性微分方程和非線性微分方程。線性微分方程具有疊加性質(zhì)，而非線性微分方程則不滿(mǎn)足疊加原理。微分方程的分類(lèi)微分方程基本概念與分類(lèi)偏微分方程的基本概念偏微分方程是包含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，用于描述物理現(xiàn)象中的空間和時(shí)間變化。定解問(wèn)題的提法定解問(wèn)題是在一定條件下求解偏微分方程的問(wèn)題，通常包括初始條件和邊界條件。初始條件指定了函數(shù)在某一時(shí)刻的狀態(tài)，而邊界條件則描述了函數(shù)在區(qū)域邊界上的行為。定解問(wèn)題的分類(lèi)根據(jù)定解問(wèn)題的性質(zhì)，可分為初值問(wèn)題和邊值問(wèn)題。初值問(wèn)題關(guān)注函數(shù)在某一時(shí)刻的狀態(tài)，而邊值問(wèn)題則關(guān)注函數(shù)在區(qū)域邊界上的行為。偏微分方程定解問(wèn)題分離變量法分離變量法是一種求解偏微分方程的常用方法，通過(guò)將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解。該方法適用于具有特定形式的偏微分方程，如波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程等。變量代換法變量代換法是一種通過(guò)引入新變量簡(jiǎn)化偏微分方程的方法。通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，可以將復(fù)雜的偏微分方程轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式，從而方便求解。常見(jiàn)的變量代換包括極坐標(biāo)代換、球坐標(biāo)代換等。分離變量法與變量代換法03特殊函數(shù)及其性質(zhì)伽馬函數(shù)與貝塔函數(shù)伽馬函數(shù)定義及性質(zhì)伽馬函數(shù)是一類(lèi)具有特殊性質(zhì)的函數(shù)，其定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集，值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集。它具有遞推關(guān)系、乘積表示、無(wú)窮乘積表示等性質(zhì)，并且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是單調(diào)增加的。貝塔函數(shù)定義及性質(zhì)貝塔函數(shù)是與伽馬函數(shù)密切相關(guān)的一類(lèi)特殊函數(shù)，其定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集，值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集。它具有對(duì)稱(chēng)性、遞推關(guān)系、積分表示等性質(zhì)，并且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是單調(diào)減少的。誤差函數(shù)是一種特殊函數(shù)，它與正態(tài)分布的概率密度函數(shù)密切相關(guān)。誤差函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)?0,1)。它具有對(duì)稱(chēng)性、可微性、單調(diào)性等性質(zhì)，并且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是單調(diào)增加的。誤差函數(shù)定義及性質(zhì)菲涅爾積分是一種與波動(dòng)現(xiàn)象相關(guān)的特殊函數(shù)，它在光學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。菲涅爾積分的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閺?fù)數(shù)集。它具有周期性、可積性、收斂性等性質(zhì)，并且可以通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)等方法進(jìn)行計(jì)算。菲涅爾積分定義及性質(zhì)誤差函數(shù)與菲涅爾積分勒讓德多項(xiàng)式定義及性質(zhì)勒讓德多項(xiàng)式是一類(lèi)正交多項(xiàng)式，它在數(shù)學(xué)物理方程中有廣泛應(yīng)用。勒讓德多項(xiàng)式的定義域?yàn)閇-1,1]，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。它具有正交性、遞推關(guān)系、零點(diǎn)性質(zhì)等性質(zhì)，并且可以通過(guò)羅德里格斯公式等方法進(jìn)行求解。切比雪夫多項(xiàng)式定義及性質(zhì)切比雪夫多項(xiàng)式是一類(lèi)具有特殊性質(zhì)的正交多項(xiàng)式，它在數(shù)值分析等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。切比雪夫多項(xiàng)式的定義域?yàn)閇-1,1]，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。它具有極值性質(zhì)、遞推關(guān)系、零點(diǎn)性質(zhì)等性質(zhì)，并且可以通過(guò)切比雪夫定理等方法進(jìn)行求解。勒讓德多項(xiàng)式與切比雪夫多項(xiàng)式04典型數(shù)學(xué)物理方程求解方法分離變量法通過(guò)分離時(shí)間和空間變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解。特征線法利用特征線的概念，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，沿特征線進(jìn)行求解。積分變換法通過(guò)傅里葉變換或拉普拉斯變換等方法，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程進(jìn)行求解。一維波動(dòng)方程求解方法030201分離變量法同樣適用于熱傳導(dǎo)方程，通過(guò)分離變量將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解。格林函數(shù)法利用格林函數(shù)的性質(zhì)，將熱傳導(dǎo)方程轉(zhuǎn)化為積分方程進(jìn)行求解。有限差分法通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法，將熱傳導(dǎo)方程離散化為差分方程進(jìn)行求解。熱傳導(dǎo)方程求解方法拉普拉斯方程是橢圓型偏微分方程，同樣可以通過(guò)分離變量法進(jìn)行求解。分離變量法利用格林函數(shù)的性質(zhì)，將拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為積分方程進(jìn)行求解。格林函數(shù)法通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法，將拉普拉斯方程離散化為有限元方程進(jìn)行求解。有限元素法拉普拉斯方程求解方法05數(shù)值計(jì)算方法在工程數(shù)學(xué)中應(yīng)用VS將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，通過(guò)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)等方法，將控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。應(yīng)用舉例在流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域中，有限差分法被廣泛應(yīng)用于求解偏微分方程。例如，在求解一維熱傳導(dǎo)方程時(shí)，可以將空間和時(shí)間區(qū)域劃分為均勻的網(wǎng)格，利用有限差分法將偏微分方程離散化為線性方程組進(jìn)行求解。有限差分法原理有限差分法原理及應(yīng)用舉例將連續(xù)的求解域離散為一組有限個(gè)、且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。有限元法在結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。例如，在求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布時(shí)，可以將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)小單元，對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行分析并建立剛度矩陣，然后通過(guò)組裝得到整體剛度矩陣并求解得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。有限元法原理應(yīng)用舉例有限元法原理及應(yīng)用舉例譜方法原理及應(yīng)用舉例譜方法是一種全局方法，它將問(wèn)題的解近似表示為某些光滑函數(shù)（如多項(xiàng)式、三角函數(shù)等）的線性組合，這些光滑函數(shù)被稱(chēng)為基函數(shù)或試探函數(shù)。通過(guò)選擇合適的基函數(shù)和權(quán)函數(shù)，可以構(gòu)造出高精度的近似解。譜方法原理譜方法在流體力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。例如，在求解流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以利用譜方法將速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)表示為傅里葉級(jí)數(shù)或切比雪夫多項(xiàng)式的形式，并通過(guò)求解相應(yīng)的代數(shù)方程組得到問(wèn)題的數(shù)值解。應(yīng)用舉例06工程領(lǐng)域中數(shù)學(xué)物理方程應(yīng)用案例123通過(guò)引入應(yīng)力函數(shù)，將平面應(yīng)力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解雙調(diào)和方程，進(jìn)而得到應(yīng)力分量的解析表達(dá)式。平面應(yīng)力問(wèn)題利用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程，建立平面應(yīng)變問(wèn)題的基本方程，通過(guò)求解得到位移和應(yīng)變的解析表達(dá)式。平面應(yīng)變問(wèn)題將薄板彎曲問(wèn)題簡(jiǎn)化為求解四階偏微分方程，即Kirchhoff板方程，通過(guò)分離變量法等方法得到問(wèn)題的解析解。薄板彎曲問(wèn)題彈性力學(xué)中平面問(wèn)題求解案例管道流動(dòng)問(wèn)題邊界層流動(dòng)問(wèn)題水波問(wèn)題流體力學(xué)中定常流動(dòng)問(wèn)題求解案例通過(guò)建立管道流動(dòng)的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程，得到管道內(nèi)流體的速度、壓力和溫度等參數(shù)的分布規(guī)律。利用邊界層理論，將粘性流體的流動(dòng)問(wèn)題簡(jiǎn)化為求解邊界層內(nèi)的流動(dòng)控制方程，如Prandtl邊界層方程，進(jìn)而得到流動(dòng)特性的解析解。將水波問(wèn)題簡(jiǎn)化為求解波動(dòng)方程或Stokes方程，通過(guò)分離變量法或有限差分法等方法得到水波傳播規(guī)律的解析解或數(shù)值解。氫原子問(wèn)題利用球坐標(biāo)系下的薛