陜西省漢中市重點(diǎn)2023學(xué)年高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)。，瓦廠分別為AABC的三邊3c的中點(diǎn)，則EB+FC=()

A.^ADB.XBC.BCD.^BC

X3/7InY

2.已知函數(shù)f(x)=——-3+---------。在區(qū)間(1，”)上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

Inxx

A.(e,3)(3,+<x>)B.[0,e)C.D.(-oo,e){3}

3.如圖是函數(shù)y=4sin(3x+0)(xeR,A>(),O>(),在區(qū)間一￡,于]上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的

I2766

圖象，只需將y=sinx(xeR)的圖象上的所有的點(diǎn)()

1

A.向左平移g個(gè)長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牟?，縱坐標(biāo)不變

32

B.向左平移|?個(gè)長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變

C.向左平移=兀個(gè)長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?不，縱坐標(biāo)不變

62

D.向左平移m個(gè)長度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變

O

4.設(shè)4/為非零向量，貝()“k+0=忖+忖”是"4與〃共線”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5,已知ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=a)°,BD=2DC,AE=EC,則()

11

A.1B.—2C.—D.-----

22

6.如圖，在ABC中，AD1AB,BD=xAB+yAC{x,ye/?),|AD|=2,且AC-AD=12，則2x+y=()

22

7.已知片、工是雙曲線0-馬=1(。＞0力＞0)的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)工與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一

ab

條漸近線于點(diǎn)若點(diǎn)/在以線段片居為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.(2,+oo)B.(73,2)C.(V2,V3)D.(1,&)

8.某公園新購進(jìn)3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現(xiàn)將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊,

任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種

A.96B.120C.48D.72

9.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖，G為B尸的中點(diǎn)，則在原正四面體中,直線EG與直線8C所成角的余弦值為

()

AF______A_E/D

AB

A.且B.逅

33

「右n733

Lza---U■----

66

10.已知函數(shù)/(x)=cosxsin2x,下列結(jié)論不正確的是()

A.y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(九,0)中心對稱B.)，=/(%)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

c.y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=W對稱D.y=/(x)的最大值是孝

,、[a,a..b

11.已知函數(shù)/(x)=2tan(。x)((y>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為乃，若定義max{a,。}={,,

[b,a<b

(437r、

則函數(shù)/?(x)=max"(x),/(x)cosx}在區(qū)間[耳,5-J內(nèi)的圖象是()

12.設(shè)點(diǎn)A(f,O),尸為曲線〉=爐上動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A,尸間距離的最小值為木，則實(shí)數(shù)f的值為()

5In2In3

A?jr5B.-C.2H----D.2T----

222

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知平面向量”，入c滿足|a|=l,仍1=2,a,b的夾角等于不，且()?(方一。)=0,則|d|的取值

范圍是.

14.銳角，A6C中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,若則絲4的取值范圍是.

sinB

15.已知A(—4,0),P(a,a+4),圓0:f+y2=4,直線加，PN分別與圓O相切，切點(diǎn)為M,N,若MR=RN，

貝IIARI的最小值為.

16.將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球,

丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球，且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里，共有種不同的放法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓石：「+’=13>6>0）的離心率為日，且過點(diǎn)（?,1），點(diǎn)P在第一象限，A為左頂點(diǎn),

3為下頂點(diǎn)，24交）'軸于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)O.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若CD//AB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.（12分）已知橢圓C:￡+《=l（a〉?！?。）與拋物線y2=4x有共同的焦點(diǎn)，且離心率為農(nóng)，設(shè)耳，工分別是

a-b~2

A,8為橢圓的上下頂點(diǎn)

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點(diǎn)（0,2）與x軸不垂直的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,當(dāng)弦MN的中點(diǎn)P落在四邊形F,AF2B內(nèi)（含

邊界）時(shí)，求直線/的斜率的取值范圍.

19.（12分）△ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為且sinC=sinB+sin（4-3）.

（1）求角A的大小

（2）若.=A8C的面積S=3叵，求△A8C的周長.

2

20.（12分）已知a，b均為正數(shù)，且成=1.證明：

（1）y/a2+b2>（―+^）；

（2）如2+3?8.

ah

21.（12分）為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認(rèn)識，某市食品安全檢測部門對該市家長進(jìn)行了一次校園食品安

全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長僅有一次參加機(jī)會，現(xiàn)對有效問卷進(jìn)行整理，并隨機(jī)抽取出了200份答卷，統(tǒng)

計(jì)這些答卷的得分(滿分：100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的

得分Z服從正態(tài)分布N(〃,210),其中〃近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表).

(1)請利用正態(tài)分布的知識求P(36<Z479.5)；

(2)該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

①得分不低于〃的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi):

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：

獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)(單位：元)1020

2]_

概率

33

市食品安全檢測部門預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話費(fèi)？

附:①V210°14.5;②若X~N(〃,4)；則P(〃一b<X<〃+b)=0.6827,—2cr<X<〃+2b)=0.9545,

P(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9973.

22.(10分)如圖，/8。。=90,8。=。。=1,43，平面88,乙4。8=60,民尸分別是4。,4￡)上的動(dòng)點(diǎn)，且

AE_AF

AC-AD

(1)若平面BEF與平面BCO的交線為/,求證：EFUh

(2)當(dāng)平面BEE,平面ACD時(shí)，求平面B所與8c。平面所成的二面角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形，根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示：

BC+BA

CB+C4)

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量加法的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

函數(shù)八尤)=上-3+辿丫-。的零點(diǎn)就是方程=匚-3+網(wǎng)吧-。=0的解，設(shè)g(x)=—匚，方程可化為

\nxx\nxxInx

(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由

此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出?的范圍.

【詳解】

X3〃InxX

由題意得——3+----------。=0有四個(gè)大于1的不等實(shí)根，記g(x)=——，則上述方程轉(zhuǎn)化為

InxxInx

(3、

(g(x)-3)+a---1=0,

Ig(x))

即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.

因?yàn)間(無)=黑，，當(dāng)xe(l,e)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(e,4w)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

所以g(x)在x=e處取得最小值，最小值為g(e)=e.因?yàn)?>e,所以g(x)=3有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解，故

X3〃Inx

/*)=——3+---------a在區(qū)間(1,m)上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn)，需a>e且

Inxx

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn).考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本

題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.

3.A

【解析】

由函數(shù)的最大值求出A,根據(jù)周期求出。，由五點(diǎn)畫法中的點(diǎn)坐標(biāo)求出。，進(jìn)而求出丁=Asin(的+。)的解析式，與

y=sinx(xeR)對比結(jié)合坐標(biāo)變換關(guān)系，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知A=l,T=；r,。=2,

又ct)+(p=2kMk￡z),:.(p-2k兀+—(Zwz),

63

「ci乃冗.(c乃、

X0<^<—,:.(p=—9y=sml2x+yI,

??.為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，

只需將y=sinx(xeR)的圖象上的所有向左平移1個(gè)長度單位，

得到y(tǒng)=sin(x+?］的圖象，

再將y=sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅(縱坐標(biāo)不變)即可.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的圖象求解析式，考查函數(shù)圖象間的變換關(guān)系，屬于中檔題.

4.A

【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.

【詳解】

若,+q=忖+忖，則&與｝共線，且方向相同，充分性；

當(dāng)a與〃共線，方向相反時(shí)，卜+@。忖+慟，故不必要.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.

5.C

【解析】

以BA8C為基底，將AR8E用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.

【詳解】

22

BD=2DC,BD=gBC,AD=BD-BA=gBC-BA,

AE=EC,:.BE=gBC+gBA,

ADBE=(^BC-BA)(-BC+-BA)

322

1.911,7

=—BC——BCBA——BA

362

,1c°11

=1——x2x3x—.

622

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

6.C

【解析】

由題可4。?43=(),4。叢。=12,所以將已知式子中的向量用/1￡),484。表示，可得到的乂丁關(guān)系，再由三

點(diǎn)共線，又得到一個(gè)關(guān)于x，N的關(guān)系，從而可求得答案

【詳解】

由3O=xA8+yAC，貝U

AD=(x+l)AB+yAC,AD-AD=AD-[(x+AB+yAC]=(x+\)ADAB+yADAC,即4=12y,所以y=§,

又民O,C共線，則x+l+y=l,x=—；,2x+y=—；.

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識，結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系，屬于中檔題.

7.A

【解析】

22r

雙曲線二-[=1的漸近線方程為y=±-x,

a~"a

不妨設(shè)過點(diǎn)Fi與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=-(x-c),

a

hche

與y=-2x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M(5,-笄)，

a22a

?.?點(diǎn)M在以線段RFi為直徑的圓外，

r252c2

A|OM|>|OFi|,即有一+—->c1,

44?2

:.匚>3,即bi>3al

a~

；.ci-ai>3alBPc>la.

則e=->l.

a

，雙曲線離心率的取值范圍是（1,+8）.

故選：A.

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的

坐標(biāo)的范圍等.

8.B

【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有用閥，扣除郁金香在兩邊有即可求出結(jié)論.

【詳解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A；種，

然后將3盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有用閻，扣除郁金香在兩邊，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2種，

再將3盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有A；,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有2用國，

所以共有國閥-2用禺=120種.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列應(yīng)用問題、分步乘法計(jì)數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

9.C

【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，A廠三點(diǎn)重合，記作。，取。C中點(diǎn)“，連接EG,EH,GH,NEGH即

為EG與直線8C所成的角，表示出三角形EG"的三條邊長，用余弦定理即可求得cosNEG”.

【詳解】

將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中A0,廠三點(diǎn)重合，記作。：

DUE)

則G為8。中點(diǎn)，取。。中點(diǎn)H,連接EG,EH,GH,設(shè)正四面體的棱長均為。，

由中位線定理可得//8C且G"='8C=，。，

22

所以/EGH即為EG與直線8c所成的角,

由余弦定理可得cosZEGH=EG二G"二一E"二

2EGGH

321232

-a+-a--a右

444=g

0百1一6

2x—ci,—a

22

所以直線EG與直線8C所成角的余弦值為立

6

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.D

【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性，函數(shù)的最值判斷選項(xiàng)的正誤即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：A:f(2/r-x)=cos(2^--x)sin2(2TT-X)=-cosxsin2x=-f{x},正確；

B:/(-x)=cos(-x)sin2(-x)=-cos^sin2x=-f(x),為奇函數(shù)，周期函數(shù)，正確；

C:f(7V-x)=cos(乃-x)sin2(萬-x)=cosxsin2x=f(x),正確；

D：y=2sinxcos2x=2sin.r-2sin3x,f=sinX,te[—g(t)=2t-2t3,g'⑺=2-6〃，/e[-l,1],則

一^^<r<時(shí)g'(。>0,-1<r<或1>/>時(shí)g'(r)<0,即g(。在上單調(diào)遞增，在

-1,一亭和[*』)上單調(diào)遞減；

(4\/3/>.(后)4G6

且g-=?g(-i)=o,=?故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值，屬于中檔題.

11.A

【解析】

71

由題知/(，)=233>0),利用T=向求出。，再根據(jù)題給定義，化簡求出〃(X)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和

正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.

【詳解】

根據(jù)題意，/(x)=2tan(的)(口>0)的圖象與直線y=2的相鄰交點(diǎn)間的距離為兀,

所以/(x)=2tan(的)(。>0)的周期為萬，則④=￡=匹=1,

T71

G.(71

2sinX,XG—,7i

所以/z(x)=max{2tanx,2sinx}=<,

.\371

2tanx,xG肛——

、I2J

由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對新定義的理解.

12.C

【解析】

設(shè)P(x,e'),求|AP「，作為x的函數(shù)，其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識求|AP「的最小值.

【詳解】

設(shè)P(x,e'),貝!||A/f=(》—/)2+e2,記8(?=02'+(%一)2,

gXx)=2e2x+2(x-t),易知g'(x)=2e2*+2(x—f)是增函數(shù)，且g'(x)的值域是R,

二g'(x)=O的唯一解X。，且X<Xo時(shí)，g'(x)<0,%時(shí)，g'(x)>0,即g(x)mm=g(x()),

由題意g(x(>)=""+(玉)―/)-=6,而g'(x(>)=2""+2(x?！?)=(),x0—t=,

1o

:./%+e4x()=6，解得e2x°=2，.

t=e2x°+/=2+印.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時(shí)對毛和/的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

—y/3V7+>/3

13.,

22

【解析】

lr-c2+1

計(jì)算得到Ia+8l=J7,C2=^\c\cosa-\,解得cosa=萬］，根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.

【詳解】

_兀

由（a-c）?（b-c）=O可得c?=（〃+/?）?<?—。3=\a-^-b\*\c\cosa-lx2cos—=\a+b1*1c\cosa-1,a為a+b

與C的夾角.

再由+=。2+。2+2。?}=l+4+2xlx2cosg=7可得|。+。|=>/7,

LC2+1

c2=v7lcleosa-1,解得cosa=r-.,

。7同

.??島^41,即向2-4mi+lWO,解得互史W1c3互芭

V0<a<^,:.-l<cosa<l,

A/7c1122

故答案為

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模的范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.

何

14P

132J

【解析】

由余弦定理，正弦定理得出sinA=sin（B-A）,從而得出B=2A,推出A的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出cosA的

范圍，再利用二倍角公式化簡，即可得出答案.

【詳解】

由題意得〃=々2+/_2accosB=a2+ac

:.a=c-2acosB

由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB=sin（A+B）-2sinAcosB

化簡得sin4=sin（3—A）

又ABC為銳角三角形，.?.8=2A

71R

0<8=2A<—,0<C=〃-3A<一

22

71,71

??一<A<一

64

則cosAe,2cosAG(A/2,\/3),—~~13'2)

2cosA

sinA_sinA_sinA_1

9

sin3sin2A2sinAcosA2cosA

故答案為-9_

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.2垃

【解析】

由MR=RN可知R為中點(diǎn)，設(shè)「（毛，%），M（X，y），N（%2,%），由過切點(diǎn)的切線方程即可求得

2

PM:xix+y.y=x,+y^=4,PN:x2x+y2y=4,2(%0，%)代入玉/+>圖=4,Z/+y2yo=4,則

M（±,y）,N（X2，＞2）在直線"o+?o=4上，即可得MN方程為町）+）%=4,將x0=a,y0=a+4,代入化簡

可得a（%+y）+4y-4=0,

則直線MN過定點(diǎn)Q（—1,1）,由OR_LMN則點(diǎn)R在以0Q為直徑的圓T：（x+g）+（丁一；）=；上，則

|ARImin=AT—廠.即可求得.

【詳解】

如圖，由MR=RN可知R為MN的中點(diǎn)，所以O(shè)R上MN,PR1MN,

設(shè)P（%%）,M（%，x）,N（x2,y2）,則切線PM的方程為y-X=-；（x—xJ,

即PM:玉》+yy=x：+）,；=4,同理可得PN:x2x-\-y2y=4,

因?yàn)镻M,PN都過尸（面,%）,所以％/+乂%=4，々/+%%=4,

所以A/（X］，X）,N（X2，%）在直線『+>%=4上，

從而直線MN方程為必）+?o=4,

因?yàn)?=a,%=。+4，所以or+（a+4）y=4na（x+y）+4y-4=0,

即直線MN方程為a（x+y）+4y-4=0,

所以直線MN過定點(diǎn)。（一1,1）,

（1V

所以R在以O(shè)Q為直徑的圓T：x+-

I2）

所以|ARU,=AT——=乎—乎=2加?

故答案為：2近.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查圓的切線方程，定點(diǎn)和圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最值問題，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能

力，難度較難.

16.20

【解析】

討論裝球盒子的個(gè)數(shù)，計(jì)算得到答案.

【詳解】

當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí)：C：=6種；

當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí)：2C；+2C；C；=12種；

當(dāng)兩個(gè)盒子有球時(shí)：&=2種.

故共有20種，

故答案為：2().

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

—?,廣廠內(nèi)

17.(1)--FV'=1;(2)\2,——

4I2J

【解析】

c6

(1)由題意得<2=b2+C,求出力,〃，進(jìn)而可得到橢圓七的方程;

79

--7-I----：

4416b

(2)由(1)知點(diǎn)A,3坐標(biāo)，設(shè)直線AP的方程為y=?x+2),易知0<k<g,可得點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2%),聯(lián)立方

y=攵(x+2)

程f,得到關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用攵表示尸的坐標(biāo)，進(jìn)而由尸,民力三點(diǎn)共線,

一+y

I4

即*=%,可用我表示。的坐標(biāo)，再結(jié)合女°=的8,可建立方程，從而求出Z的值，即可求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】

a2

a2=4

（1）由題意得a2—b~+c2解得

〃=1

79

4a2+16及

2

所以橢圓E的方程為土+丁=1.

4-

(2)由⑴知點(diǎn)A(—2,0),B(0,-1),

由題意可設(shè)直線AP的斜率為左，則0<Z<；,所以直線4尸的方程為y=Mx+2）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2%）,

y=k(x+2)

22222

聯(lián)立方程x,,消去)'得：(l+4k)x+16kx+16k-4=0.

一+曠=1

I4-

16汰2-4,所以x=一爻三

設(shè)。（冗1，、1）,則-2,尤］

1+4/l+4k2

.8K—24kcei、ir>/8左2—24k

所以X=k(------+2)=----,所以P(------彳,----)-

11+4公1+4-71+4%2'1+47

設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為（公,0）,因?yàn)辄c(diǎn)P,民。三點(diǎn)共線，所以kBD=kpB，即

4k,

—+1

11+4公7-4）12-4k

，所以為=,,所以。（由P。）.

8攵2—2

1+4公

2k1

因?yàn)镃D//AB,所以kcD=卜.，即_2二4左一2,

-1+2〃

所以4^2+4左一1=0,解得左=T土及

2

又（）<%<!，所以上=避二1符合題意,

22

Qjt2-2r-4k0

計(jì)算可得一V一=0,

1+4F1+4女2一工-'

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（、反,立）.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難

題.

18.(1)—+/=1(2)+—

222

【解析】

(1)由已知條件得到方程組，解得即可；

(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y="+2,"(.%),NCa%),聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理,

由/>0得到y(tǒng)的范圍，設(shè)弦MN中點(diǎn)坐標(biāo)為2%,%)則%=五歲,%=小7〉0,所以P在X軸上方，只需

乙乙K十1

x-y+1>0

位于A4與工內(nèi)(含邊界)就可以，即滿足《n/°n,八，得到不等式組，解得即可；

島+%-1(0

【詳解】

a=>/2

解：(1)由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),離心率為學(xué),4,

b=1

a2-b2=\

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=1；

(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y="+2,"a，yJ,N(X2，y2)

廠+2V」=29ik6

聯(lián)立《一，消元整理得(2公+1)/+8丘+6=0,.?.玉+/=——；—,x,x2=—；—

y=kx+22k+12k~+1

3

由A=64T-4(2/+1)X6>0,解得公>5

2

設(shè)弦MN中點(diǎn)坐標(biāo)為尸(飛,九)二/=西>0,

2二+1

所以P在x軸上方，只需位于入4耳鳥內(nèi)(含邊界)就可以,

在(超-為+120[2^2-4Z:-l>0

即滿足4,八，即12，

+[2女一+4攵-120

解得人21+如或女4一1一逅

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.(I)A=。；(II)5+V7.

【解析】

試題分析：(D由已知可得5山。=5由(4+8)=$由3+$E(4-8)=2(：054?6$=cosA=2

2

TTS八=—he*sinA.=-----be=6__.

=A=—；(II)依題意得：｛we22=｛人22—n(〃+c)=〃+c+2hc=25

3222b+c=13

a=b」+c-2hccosA

=>Z?+c=5=>a+A+c=5+J7=>AABC的周長為5+J7.

試題解析：(I)???A+8+C=%,???C=〃—(A+8).

:.sinC=sin(A+8)=sin8+sin(A一B),

/.sinA?5besA:osMnB-AB,

A2cosA?BsinA,

:.cosA=L

2

AA=-.

3

(ID依題意得：｛S^c=(兒7皿4=竽

Q?=〃+。2-2/?CCOSA

be=6

“2+C2=13，

：.(b+c)2=b2+c2+2bc=25,

b+c-5，

a+b+c=5+y/l>

...A4BC的周長為5+b.

考點(diǎn)：1、解三角形；2、三角恒等變換.

20.(1)見解析(2)見解析

【解析】

(11A2

(1)由/+從22出?進(jìn)行變換，得到2(/+/)2上+,，兩邊開方并化簡，證得不等式成立.

\ba)

(2)將絲詈+絲產(chǎn)化為(/+。3)+2(4+/)+.+3,然后利用基本不等式，證得不等式成立.

【詳解】

(1)a2+b2>2ab，兩邊加上片+"得審］，即2(/+/)2,當(dāng)且僅當(dāng)

。=匕=1時(shí)取等號,

2ab

(2)

3+3上+竺+L4+即+L3+2(*q)+(_L+3=(/+⑻+

abaaabbbababab')

2(a2+b2)+(a+b)>2y^+4ab+24ab^S.

當(dāng)且僅當(dāng)a=8=1時(shí)取等號.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

21.(1)0.8186；(2)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出looooo元話費(fèi)

【解析】

(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求P(36<Z<79.5)的值.

(2)設(shè)某家長參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)為X元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計(jì)此次活動(dòng)

可能贈(zèng)送出的話費(fèi)數(shù)額.

【詳解】

(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得

〃=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65

又36265-2A/5■而，79.5?65+V210?

所以P(36<ZW79.5)

=-x0.9545+-x0.6827

22

=0.8186；

(2)根據(jù)題意，某家長參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)的可能值X有10,20,30,40元，且每位家長獲得贈(zèng)送1次、2次話費(fèi)

的概率都為

2

121

得10元的情況為低于平均值，概率

233

得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費(fèi);得分不低于平均值，2次均獲贈(zèng)10元話費(fèi)，概率

111227

Pn=-X—+—X—X—=——,

2323318

I212

得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈(zèng)10元話費(fèi)，另一次獲贈(zèng)20元話費(fèi)，其概率為尸

2339

得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機(jī)會均獲20元話費(fèi)，概率為P=1x?xL