多屬性綜合評價教材

多屬性決策李健行健學院jian1049@126.com例1.1某航空公司在國際市場上購買飛機，按6個決策指標對不同型號的飛機進行綜合評價，這6個指標是：最大速度、最大范圍、最大負載、價格、可靠性、靈敏度?，F(xiàn)在4種型號的飛機可供選擇，具體指標值見表1-1。試給出該航空公司的一個決策方案。指標機型最大速度（馬赫）最大范圍（千米）最大負載（千克）費用（百萬元）可靠性靈敏度2.01500200005.5一般很高2.52700180006.5低一般1.82000210004.5高高2.21800200005.0一般一般多屬性決策方法

社會經(jīng)濟系統(tǒng)的決策問題，往往涉及多個不同屬性。一般來說，多屬性綜合評價有兩個顯著特點，第一，指標間不可公度性，即屬性之間沒有統(tǒng)一量綱，難以用同一標準進行度量。第二，某些指標之間存在一定的矛盾性，某一方案提高了某個指標值，卻可能降低另一指標值。因此，克服指標間不可公度的困難，協(xié)調指標間的矛盾性，是多屬性綜合評價要解決的主要問題。1.1多屬性決策方法

設有個備選方案（1

），個決策指標(1)，個方案個指標構成的矩陣

=（）稱為決策矩陣?；趥€指標值，如何選擇最優(yōu)方案？多屬性決策問題主要涉及三個步驟：一，決策指標的標準化；二，確定各個指標權重的大小。三，基于標準化數(shù)據(jù)確定最優(yōu)的決策方案。一、決策指標的標準化

由于指標體系中指標不同的量綱，例如，產(chǎn)值的單位為萬元，產(chǎn)量的單位為萬噸，投資回收期的單位為年等，這給綜合評價帶來許多困難。將不同的量綱的指標通過適當?shù)淖儞Q，轉化為無量綱的標準化指標，稱為決策指標的標準化。決策指標根據(jù)指標變化方向，大致可以分為四類，即效益型（正向）指標、成本型（逆向）指標、居中型和區(qū)間型。效益型指標具有越大越優(yōu)的性質，成本型指標具有越小越優(yōu)的性質。居中型指標具有越居中越優(yōu)的性質，區(qū)間型指標具有越接近區(qū)間越優(yōu)的性質。1.定性指標量化處理方法

在多屬性決策指標體系中，有些指標是定性指標，只能作為定性描述，例如“可靠性”、“靈敏度”、“員工素質”等。對定性指標作量化處理，常用的方法是將這些指標依問題性質劃分為若干級別，分別賦以不同的量值。一般可劃分為5個級別，最優(yōu)值10分，最劣值0分，其余級別賦以適當分值。具體分值見表1-1:

定性標度很低低一般高很高正向指標13579逆向指標975312、指標的標準化（量綱的統(tǒng)一、指標統(tǒng)一）

（1）線性比例變化法

在中，對正向指標，取，則

=

對于逆向指標，取=，則

＝

=稱為線性比例標準化矩陣，經(jīng)過線性比例變換后，標準化指標滿足，并且正、逆向指標均化為正向指標，最優(yōu)值為1，最劣值為0。（2）極差變化法

對正向指標，取，則

對逆向指標，取，，則

矩陣稱為極差變換標準化矩陣。經(jīng)過極差變換之后，均有，并且正、逆向指標均化為正向指標。

對于居中型指標,令

其中：和分別為指標允許下界和上界．

對于區(qū)間型指標．令

其中：為指標的最佳值區(qū)間；和分別為的允許下界和上界．例1.1某航空公司在國際市場上購買飛機，按6個決策指標對不同型號的飛機進行綜合評價，這6個指標是：最大速度、最大范圍、最大負載、價格、可靠性、靈敏度?，F(xiàn)在4種型號的飛機可供選擇，具體指標值見表1-1。指標機型最大速度（馬赫）最大范圍（千米）最大負載（千克）費用（百萬元）可靠性靈敏度2.01500200005.5一般很高2.52700180006.5低一般1.82000210004.5高高2.21800200005.0一般一般解：在決策指標中，、、是正向指標，是逆向指標，、是定性指標。按照表1-1的分級量化值，將、作量化處理，得到?jīng)Q策矩陣根據(jù)不同的方法作標準化處理。極差變換法。標準化矩陣為線性比例變換法。標準化矩陣為二.指標權重的確定

1.專家咨詢法

a)一個專家:b)K個專家:第i個專家

2.相對比較法

對個標,按三級比例標度兩兩相對比

較評分.

顯然:例1..購機問題進行決策

購買飛機問題中,用相對比較法確定6個決策指標的權重.

最大速度（馬赫）最大范圍（公里）最大負載（千克）費用（百萬美元）可靠性靈敏性評分總計權重最大速度（馬赫）0.51110.5040.22最大范圍（公里）00.50.50.5001.50.08最大負載（千克）00.50.50.5001.50.08費用（百萬美元）00.50.50.5001.50.08可靠性0.51110.5040.22靈敏性111110.55.50.313.判斷矩陣法:

個指標兩兩比較.

比同等重要稍微重要明顯重要強烈重要極端重要對應以上兩相鄰判斷中間賦值135792,4,6,8得判斷矩陣:若設,則互反性:

中待定元素的個數(shù)為個.一致性:

但由于人的判斷往往很難滿足一致性(特別較大時),因此,在利用求權重時,需判斷具有滿意的一致性.

若則于是對于具有滿意一致性的判斷矩陣

且的最大特值具有滿意一致性的判斷判斷矩陣求A最大特征值計算一致性比率查表得平均隨機一致性指標R.I計算一致性指標平均隨機一致性指標m1234567R.I000.520.891.121.261.36m891011121314R.I1.141.461.491.521.541.561.591)幾何均值法:

設判斷矩陣

具有滿意的一致性,則令

(若,則,則上式成立.)2)代數(shù)平均值法:

設判斷矩陣具有滿意的一致性,則令

3)最大特征向量法:

若則,且的最大特值于是對于具有滿意一致性的判斷矩陣求其最大特征值,則所對應的單位特征向量即為

三.評價模型(1)線性加權法:

方案的綜合評價值為:

特征:1)線性補償性.

2)突出”較大”指標值或權值的作用.

3)計算簡單.

4)較適用于各指標間相互獨立的場合.

很強”互補性”;一俊遮百丑(一見鐘情).用線性加權法對例1.1的購機問題進行決策。解：設購機問題中，6個決策指標的權重向量為用線性比例變換法，將決策矩陣標準化，標準化矩陣為：計算各方案的綜合指標值因此，最優(yōu)方案是即=購機問題各方案的排序結果是。(2)非線性加權法:

方案的綜合評價值為:

特征:1)強調指標值大小的一致性,

即:”木桶原理”.一丑遮百俊(一票否決).

2)對取值較小的評價指標反應敏感;

對取值較大的評價指標反應遲鈍.

注:

(3)逼近理想點法（1）

理想點=

方案與理想點

的加權距離:

顯然

值越小越好.理想解方法（2）確定了理想解和負理想解，還需確定一種測度方法，表示各方案目標值靠近理想解和遠離理想解的程度。設方案對應到理想解和負理想解的距離分別為

方案與理想解、負理想解的相對貼近度定義為容易看出，相對貼近度滿足01。當=時，即方案為理想方案時，則=1；當=時，即方案為負理想方案時，則=0。當時，即方案逼近理想解而遠離負理想解時，則1。因此，相對貼近度是理想解排序的判據(jù)。

用理想解法對例1.1的購機問題進行決策。解：求得的標準矩陣；設指標權重向量為計算加權標準化矩陣，求得分別確定理想解和負理想解為，={0.1168，0.0659，0.0531，0.0414，0.1347，0.2012},

={0.0841，0.0366，0.0455，0.0598，0.0577，0.1118}。

各方案到理想解和負理想解的距離分別是

=0.0545，=0.1197，=0.0580，=0.1009，

=0.0983，