(安徽專用)高考數(shù)學(xué)(理)一輪總復(fù)習(xí)計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布

(安徽專用)高考數(shù)學(xué)(理)一輪總復(fù)習(xí)計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布計數(shù)原理概率初步隨機變量及其分布計數(shù)原理在概率中的應(yīng)用概率在解決實際問題中的應(yīng)用隨機變量的數(shù)字特征及其應(yīng)用contents目錄計數(shù)原理01完成一件事有$n$類辦法，在第$1$類辦法中有$m_1$種不同的方法，在第$2$類辦法中有$m_2$種不同的方法，$ldots$，在第$n$類辦法中有$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+ldots+m_n$種不同的方法。加法原理完成一件事有$n$個步驟，第$1$個步驟有$m_1$種不同的方法，第$2$個步驟有依賴于第$1$個步驟的$m_2$種不同的方法，$ldots$，第$n$個步驟有依賴于前面所有步驟的$m_n$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_1timesm_2timesldotstimesm_n$種不同的方法。乘法原理加法原理與乘法原理排列從$n$個不同元素中取出$m(mleqn)$個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從$n$個元素中取出$m$個元素的一個排列。所有這樣的排列的個數(shù)記作$A_n^m$。組合從$n$個不同元素中取出$m(mleqn)$個元素并成一組，叫做從$n$個元素中取出$m$個元素的一個組合。所有這樣的組合的個數(shù)記作$C_n^m$。排列與組合$(a+b)^n=sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$表示組合數(shù)。二項式系數(shù)具有對稱性、增減性與最大值、各二項式系數(shù)的和等于基本二項式的指數(shù)等性質(zhì)。二項式定理二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式定理公式概率初步02概率是刻畫隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，是事件本身所固有的不隨人的主觀意愿而改變的一種屬性。概率的定義概率的取值范圍在0到1之間，包括0和1；必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0；如果兩事件互斥，則兩事件并的概率等于兩事件概率的和。概率的性質(zhì)概率的定義與性質(zhì)條件概率是指在某個條件下，某事件發(fā)生的概率。條件概率的計算公式為P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示A和B同時發(fā)生的概率，P(B)表示B發(fā)生的概率。條件概率如果兩事件的發(fā)生互不影響，即一個事件的發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生概率沒有影響，則稱兩事件是相互獨立的。事件的獨立性條件概率與獨立性事件的運算事件的運算包括并、交、差、對立等。其中，并是指兩個事件中至少有一個發(fā)生；交是指兩個事件同時發(fā)生；差是指第一個事件發(fā)生而第二個事件不發(fā)生；對立是指兩個事件中只有一個發(fā)生。概率公式概率公式包括加法公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式等。其中，加法公式用于計算兩個互斥事件的并的概率；乘法公式用于計算兩個相互獨立事件的交的概率；全概率公式和貝葉斯公式則用于計算復(fù)雜事件的概率。事件的運算及概率公式隨機變量及其分布03隨機變量的概念及分類隨機變量的定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為S={e},X=X{e}是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)。稱X=X{e}為隨機變量。隨機變量的分類根據(jù)隨機變量可能取值的性質(zhì)，可以分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。離散型隨機變量的分布列與期望設(shè)離散型隨機變量X所有可能取的值為$x_1,x_2,...,x_n$，X取各個可能值的概率$P(X=x_k)$為$p_k$，稱表$X,x_1,x_2,...,x_n$；$P,p_1,p_2,...,p_n$為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱X的分布列。分布列的定義離散型隨機變量X的期望E(X)是所有可能取值與其對應(yīng)概率的乘積之和，即$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n$。期望具有線性性質(zhì)，即$E(aX+b)=aE(X)+b$，其中a、b為常數(shù)。期望的定義與性質(zhì)概率密度的定義設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得對于任意實數(shù)x有$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。期望的定義與性質(zhì)連續(xù)型隨機變量X的期望E(X)是其概率密度函數(shù)f(x)與x的乘積在整個實數(shù)范圍內(nèi)的積分，即$E(X)=int_{-infty}^{infty}xf(x)dx$。期望同樣具有線性性質(zhì)。連續(xù)型隨機變量的概率密度與期望計數(shù)原理在概率中的應(yīng)用04每個事件發(fā)生的可能性相同且只有有限個結(jié)果。古典概型定義排列與組合公式典型例題使用排列公式$A_n^m$和組合公式$C_n^m$計算事件發(fā)生的種數(shù)。如擲骰子、摸球等，通過列舉法或計算法求解概率。030201古典概型中的計數(shù)問題每個事件發(fā)生的可能性只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、面積或體積成比例。幾何概型定義利用長度、面積或體積比計算事件發(fā)生的概率。幾何度量法如射箭、隨機投點等，通過幾何圖形和度量求解概率。典型例題幾何概型中的計數(shù)問題

伯努利概型中的計數(shù)問題伯努利概型定義在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行的、各次之間相互獨立的事件。二項式定理在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式。典型例題如拋硬幣、產(chǎn)品抽樣等，通過二項式定理求解概率。概率在解決實際問題中的應(yīng)用05基因型頻率計算利用概率方法，可以計算群體中某種基因型的頻率，進(jìn)而研究基因在群體中的分布和遺傳規(guī)律。預(yù)測遺傳病發(fā)病率通過概率模型，可以預(yù)測某種遺傳病在家族中的發(fā)病率，為遺傳咨詢和優(yōu)生優(yōu)育提供科學(xué)依據(jù)。親子鑒定在親子鑒定中，可以利用概率方法計算親子關(guān)系的可能性，為法律訴訟和家庭糾紛提供證據(jù)。概率在遺傳學(xué)中的應(yīng)用在投資決策、保險精算等領(lǐng)域，概率方法可以幫助評估風(fēng)險，為決策者提供科學(xué)依據(jù)。風(fēng)險評估通過分析歷史數(shù)據(jù)和概率模型，可以預(yù)測市場走勢，為投資者提供參考。市場預(yù)測利用概率方法，可以研究消費者購買行為的規(guī)律和特點，為企業(yè)制定營銷策略提供依據(jù)。消費者行為研究概率在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用123通過概率模型，可以預(yù)測環(huán)境污染物的擴散范圍和影響程度，為環(huán)境保護(hù)和治理提供決策支持。環(huán)境污染預(yù)測利用概率方法，可以評估生態(tài)系統(tǒng)中某種事件發(fā)生的可能性及其對環(huán)境的影響，為生態(tài)保護(hù)和管理提供依據(jù)。生態(tài)風(fēng)險評估概率方法在氣候變化研究中也有廣泛應(yīng)用，如利用概率模型預(yù)測未來氣候變化趨勢、評估氣候變化對生態(tài)系統(tǒng)的影響等。氣候變化研究概率在環(huán)境科學(xué)中的應(yīng)用隨機變量的數(shù)字特征及其應(yīng)用0601方差的概念方差是衡量隨機變量取值分散程度的一個數(shù)字特征，用$D(X)$或$Var(X)$表示。02非負(fù)性$D(X)geq0$，當(dāng)且僅當(dāng)$X$為常數(shù)時，$D(X)=0$。03齊次性$D(aX)=a^2D(X)$，其中$a$為常數(shù)。04可加性若$X$與$Y$相互獨立，則$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。05標(biāo)準(zhǔn)差的概念標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，用$sigma(X)$表示。06標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)差具有與方差相同的性質(zhì)，如非負(fù)性、齊次性和可加性。方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念及性質(zhì)協(xié)方差的概念：協(xié)方差是衡量兩個隨機變量變化趨勢的一個數(shù)字特征，用$Cov(X,Y)$表示。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)VS$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$。線性性質(zhì)$Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)$，其中$a,b,c,d$為常數(shù)。對稱性協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)與方差的關(guān)系$Cov(X,X)=D(X)$。要點一要點二相關(guān)系數(shù)的概念相關(guān)系數(shù)是衡量兩個隨機變量線性相關(guān)程度的一個數(shù)字特征，用$rho_{XY}$表示。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)取值范圍：$-1leqrho_{XY}leq1$。當(dāng)$rho_{XY}=1$時，稱$X$與$Y$完全正相關(guān)；當(dāng)$rho_{XY}=-1$時，稱$X$與$Y$完全負(fù)相關(guān)；當(dāng)$rho_{XY}=0$時，稱$X$與$Y$不相關(guān)。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)在隨機試驗中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率趨于一個穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值就是該事件的概率。大數(shù)定律揭示了隨機現(xiàn)象中的規(guī)律性。設(shè)隨機變量$X_1,X_2,ldots,X_n$相互獨立且服從