2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019課后習(xí)題第五章5-5-1　第3課時　二倍角的正弦余弦正切公式

第3課時二倍角的正弦、余弦、正切公式A級必備知識基礎(chǔ)練1.(多選題)下列各式中,一定成立的有()A.sin8α=2sin4αcos4αB.1sin2α=(sinαcosα)2C.sin2α=1D.tan2α=2tan2.化簡tan14°1-tan2A.12sin28° B.sin28C.2sin28° D.sin14°cos28°3.設(shè)sinα=13,2π<α<3π,則sinα2+cosα2=(A.233 B.233 C.4.已知等腰三角形底角的正弦值為53,則頂角的正弦值是(A.459 B.259 C.5.若sinα+cosαsinα-cosαA.34 B.34 C.436.(2021上海虹口高一期末)已知α∈(0,π),且有12sin2α=cos2α,則cosα=.

7.化簡:2sin2α1+cos2α·8.求下列各式的值:(1)2cos(2)23tan15°+tan215°;(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.B級關(guān)鍵能力提升練9.(2022甘肅天水高一期末)已知tanθ2=23,則1A.23 B.C.32 D.10.已知函數(shù)f(x)=cos2x-1cos2A.函數(shù)f(x)的最大值為3,無最小值B.函數(shù)f(x)的最小值為3,最大值為0C.函數(shù)f(x)的最大值為33,D.函數(shù)f(x)的最小值為3,無最大值11.4sin80°cos10°sin10°=A.3 B.3 C.2 D.22312.若α∈0,π2,且cos2α+cosπ2+2α=3A.12 B.1C.13 D.1313.(多選題)下列各式的值為12的是(A.tan22.B.tan15°cos215°C.33cos2π12-3D.114.(多選題)已知函數(shù)f(x)=|sinx||cosx|,則下列說法正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2B.f(x)的周期為πC.(π,0)是f(x)的圖象的一個對稱中心D.f(x)在區(qū)間π415.若θ∈π4,π2,sin2θ=378,則cos2θ=16.化簡:2+2+2cosα(2π<α<3π)=17.(2021安徽合肥高一檢測)求證:1cos2θtanθtan2θ=18.已知sinα+cosα=355,α∈0,π4,sinβπ4=35(1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.在△ABC中,sinAcosA=sinBcosB,且A≠B.(1)求證:A+B=π2(2)求sinA+sinB的取值范圍;(3)若(sinAsinB)x=sinA+sinB,試確定實數(shù)x的取值范圍.第3課時二倍角的正弦、余弦、正切公式1.AC2.A原式=12tan28°cos28°=12sin28°.故選3.A∵sinα=13,∴sinα2+cosα22=1又2π<α<3π,∴π<α2∴sinα2<0,cosα2<0,∴sinα2+cosα4.A設(shè)底角為θ,則θ∈0,π2,頂角為π∵sinθ=53,∴cosθ=1∴sin(π2θ)=sin2θ=2sinθcosθ=2×535.B等式sinα+cosαsinα-cosα=12左邊分子、分母同時除以cosα(顯然cosα∴tan2α=2tanα6.55由12sin2α=cos2α,得1cos2α=2sin2α即2sin2α=4sinαcosα.又α∈(0,π),所以sinα≠0,所以sinα=2cosα>0.由sin2α+cos2α=(2cosα)2+cos2α=5cos2α=1,解得cosα=557.tan2α原式=2sin2α2cos2α·8.解(1)原式=cos2=cos2=cos2=cos2αcos2α(2)原式=3tan30°(1tan215°)+tan215°=3×33(1tan215°)+tan215°(3)(方法1)sin10°sin30°sin50°sin70°=12cos20°cos40°cos80=2sin20=sin40=sin80=1=116(方法2)令x=sin10°sin50°sin70°,y=cos10°cos50°cos70°.則xy=sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°=12sin20°·12sin100°·12sin=18sin20°sin80°sin40=18cos10°cos50°cos70=18y∵y≠0,∴x=18從而有sin10°sin30°sin50°sin70°=1169.A∵tanθ2∴1=2sinθ2(sinθ2+cos10.D因為f(x)=cos2x-1cos2x-π2=cos2x-1sin2x=-2sin2x11.B4sin80°cos10=2sin20=2(sin30°12.Ccos2α+cosπ2+2α=cos2αsin2α=cos2α2sinαcosα=cos2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=1-2tanαtan2α+1=310,整理得3tan2α+20tan13.ACDA符合,原式=12×2tan22.5°1-tan222.5°=12tan45°=12;B不符合,原式=sin15°·cos15°=12sin30°=1414.AB因為函數(shù)f(x)=|sinx||cosx|=|sinxcosx|=12|sin2x|畫出函數(shù)圖象,如圖所示,由圖可知,f(x)的圖象的對稱軸是直線x=kπ4,k∈所以直線x=π2是f(x)圖象的一條對稱軸,A正確f(x)的最小正周期是π2,所以B正確f(x)是偶函數(shù),其圖象沒有對稱中心,C錯誤;由圖可知,f(x)=12|sin2x|在區(qū)間π4,π15.1834∵∴sinθ>0,2θ∈π2,π,∴cos2θ∴cos2θ=1-sin22又cos2θ=12sin2θ,∴sin2θ=1-∴sinθ=3416.2sinα4∵2π<α<3π∴π<α2∴2+=2-2cosα217.證明1cos2θtanθtan2θ=cosθ-2si18.解(1)由題意得(sinα+cosα)2=95即1+sin2α=95∴sin2α=45,又易知2α∈0∴cos2α=1-∴tan2α=sin2α(2)∵β∈π4,π2,β∴cosβ-∴sin2β-π4=2sinβ又sin2β-π4=cos2β,∴cos2β又易知2β∈π2,π,∴sin2β又cos2α=1+cos2α2=45,∴cosα=255,∴cos(α+2β)=cosαcos2βsinαsin2β=255×19.(1)證明因為sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,解得2A=2B或2A+2B=π,即A=B,或A+B=π2又A≠B,所以A+B=π2(2)解由(1)可知A+B=π2,故sin