高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破(四)

三、應(yīng)用題

1.某種商品每件進(jìn)價(jià)12元，售價(jià)20元，每天可賣出48件。若售價(jià)降低，銷售量可以增加,

且售價(jià)降低x（°〈x48）元時(shí)，每天多賣出的件數(shù)與V+X成正比。已知商品售價(jià)降低3元

時(shí)，一天可多賣出36件。

（1）試將該商品一天的銷售利潤(rùn)表示成》的函數(shù)；

（2）該商品售價(jià)為多少元時(shí)一天的銷售利潤(rùn)最大？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2.商學(xué)院為推進(jìn)后勤社會(huì)化改革，與桃園新區(qū)商定：由該區(qū)向建設(shè)銀行貸款500萬(wàn)元在桃

園新區(qū)為學(xué)院建一棟可容納一千人的學(xué)生公寓，工程于2002年初動(dòng)工，年底竣工并交付使

用，公寓管理處采用收費(fèi)還貸償還建行貸款（年利率5%,按復(fù)利計(jì)算），公寓所收費(fèi)用除

去物業(yè)管理費(fèi)和水電費(fèi)18萬(wàn)元.其余部分全部在年底還建行貸款.

（1）若公寓收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為每生每年800元，問(wèn)到哪一年可償還建行全部貸款；

（2）若公寓管理處要在2010年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是多少

元（精確到元）.（參考數(shù)據(jù)：lgL7343=0.2391,lgl.05=0.0212,=1.4774）

3.（理）某城市2004年末糧食儲(chǔ)備量為100萬(wàn)噸，預(yù)計(jì)此后每年耗用上-年末糧食儲(chǔ)備量

的5%,并且每年新增糧食x萬(wàn)噸。

（1）記2004年末的糧食儲(chǔ)備量為al萬(wàn)噸，此后各年末的糧食儲(chǔ)備量為a2萬(wàn)噸，a3萬(wàn)

噸，...，寫出al,a2,a3和an（nCN*）的表示式；

（2）受條件限制，該城市的糧食儲(chǔ)備量不能超過(guò)150萬(wàn)噸，那么每年新增糧食儲(chǔ)備量不應(yīng)

超過(guò)多少萬(wàn)噸？

20、（文）某地區(qū)預(yù)計(jì)明年從年初開始的前x個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求總量f（x）（萬(wàn)件）與

/(x)=-^—x(x+1)(35-2x)(xeN*,且x<12)

月份x的近似關(guān)系為：150

（1）寫出明年第x個(gè)月的需求量g（x）（萬(wàn)件）與月份x的函數(shù)關(guān)系，并求出哪個(gè)月份的需

求量最大，最大需求量是多少？

（2）如果將該商品每月都投放市場(chǎng)P萬(wàn)件（銷售未完的商品都可以在以后各月銷售），要保

證每月都足量供應(yīng)，問(wèn)P至少為多少萬(wàn)件？

4.7月份，有一款新服裝投入某市場(chǎng)銷售，7月1日該款服裝僅銷售出3件，7月2日售出6

件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，爾后，每天售出的件數(shù)分別遞增3件直到日

銷售量達(dá)到最大（只有1天）后，每天銷售的件數(shù)開始下降，分別遞減2件，至IJ7月31日

剛好售出3件。

（1）問(wèn)7月兒號(hào)該款服裝銷售件數(shù)最多？其最大值是多少？

（2）按規(guī)律，當(dāng)該商場(chǎng)銷售此服裝達(dá)到200件時(shí)，社會(huì)上就開始流行，而日銷售量連續(xù)下

降并低于20件時(shí)，則不再流行，問(wèn)該款服裝在社會(huì)上流行兒天？說(shuō)明理由。

5.如圖，某海濱浴場(chǎng)的岸邊可近似的看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人

求救，救生員沒(méi)有直接從A處游向B處，而沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游向

B處，若救生員在岸邊的行速為6米/秒，在海中的行進(jìn)速度為2米/秒，

⑴分析救生員的選擇是否正確；

⑵在AD上找一點(diǎn)C,是救生員從A到B的時(shí)間為最短，并求出最短時(shí)間。

B

//300米

cD

6.某企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀態(tài)良好的某種消費(fèi)品專賣店以58萬(wàn)元的

優(yōu)惠價(jià)轉(zhuǎn)讓給企業(yè)乙，約定乙用經(jīng)營(yíng)該店的利潤(rùn)償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計(jì)息）。已知經(jīng)營(yíng)

該店的固定成本為6.8萬(wàn)元/月，該消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為16元/件，月銷量q（萬(wàn)件）

與售價(jià)p（元/件）的關(guān)系如圖.

（1）寫出銷量q與售價(jià)P的函數(shù)關(guān)系式；q

（2）當(dāng)售價(jià)p定為多少時(shí)，月利潤(rùn)最多？3

（3）企業(yè)乙最早可望在經(jīng)營(yíng)該專賣店幾2

個(gè)月后還清轉(zhuǎn)讓費(fèi)？

0162025p

7.隨著我國(guó)加入WTO,某企業(yè)決定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)，打入國(guó)際

市場(chǎng)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表（單位：萬(wàn)美元）

目年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價(jià)每年最多生產(chǎn)的

類另、^

件數(shù)

甲產(chǎn)品30a10200

乙產(chǎn)品50818120

其中年固定成本與生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān)，a為常數(shù)，且4<aW8。令外，年銷售x件乙產(chǎn)品時(shí)需

2

上交0.05X-萬(wàn)美元的特別關(guān)稅。

寫出該廠分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)W,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x（xeN）之間

的函數(shù)關(guān)系式；

分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)；

如何決定投資可獲最大年利潤(rùn)。

8,設(shè)某旅游景點(diǎn)每天的固定成本為500元，門票每張為30元，變動(dòng)成本與購(gòu)票進(jìn)入旅游景

點(diǎn)的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比。一天購(gòu)票人數(shù)為25時(shí)，該旅游景點(diǎn)收支平衡；一天購(gòu)票人

數(shù)超過(guò)100時(shí)，該旅游景點(diǎn)須另交保險(xiǎn)費(fèi)200元。設(shè)每天的購(gòu)票人數(shù)為X,盈利額為V。

（I）求）'與》之間的函數(shù)關(guān)系；（II）試用程序框圖描述算法（要求：輸入購(gòu)票人數(shù)，

輸出盈利額）;

（III）該旅游景點(diǎn)希望在人數(shù)達(dá)到20人時(shí)即不出現(xiàn)虧損，若用提高門票價(jià)格的措施，則每

張門票至少要多少元（取整數(shù)）？注：可選用數(shù)據(jù)：72=1.41,73=1.73,75=2.24.

9.已知如圖，某海濱浴場(chǎng)的岸邊可近似地看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有

人求救，救生員尚有直接從A處游向B處，而是沿岸邊自A跑到距離B最近的D處，然后游

向B處，若救生員在岸邊的行進(jìn)速度為6米/秒，在海中的行進(jìn)速度為2米/秒.

（I）分析救生員的選擇是否正確；

（II）有AD上找??點(diǎn)C,使救生員從A到B的時(shí)間為最短，并求出最短時(shí)間.

10.某工廠去年的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬(wàn)只，每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元，固定成本為8

元.今年，工廠第一次投入100萬(wàn)元（科技成本），并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬(wàn)

元（科技成本），預(yù)計(jì)產(chǎn)量年遞增10萬(wàn)只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為

k

=—/==

“〃+l（k>0,k為常數(shù)，且n20）,若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變，第n次投入后

的年利潤(rùn)為/（〃）萬(wàn)元.

(1)求k的值，并求出了(〃)的表達(dá)式；

(2)問(wèn)從今年算起第幾年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

11.己知水渠在過(guò)水?dāng)嗝婷娣e為定值的情況下，過(guò)水濕周越小，其流量越大.

現(xiàn)有以下兩種設(shè)計(jì)，如圖：

圖①的過(guò)水?dāng)嗝鏋榈妊?ABC,AB=BC,過(guò)水濕周L=A8+8C.圖②的過(guò)水?dāng)嗝鏋?/p>

等腰梯形ABCD,AB=CD,AD〃BC,ZBAD=60°,過(guò)水濕周"="8+8C+CO.

若^ABC與梯形ABCD的面積都為S,

(1)分別求4和,2的最小值;

(2)為使流量最大，給出最佳設(shè)計(jì)方案.

12.某漁業(yè)公司今年初用98萬(wàn)購(gòu)進(jìn)一艘漁船用于捕撈.第一年需各種費(fèi)

用12萬(wàn)元，從第二年開始每年包括維修費(fèi)在內(nèi)，所需費(fèi)用均比上一年增加4萬(wàn)元，該

船捕撈總收入預(yù)計(jì)每年50萬(wàn)元.

該船捕撈幾年開始盈利(即總收入減去成本及所有費(fèi)用之差為正)？

該船捕撈若干年后，處理方案有兩種：

①年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26萬(wàn)元的價(jià)格賣出；

②盈利總額達(dá)到最大時(shí)，以8萬(wàn)元的價(jià)格賣出.

問(wèn)哪一種方案較為合算？并說(shuō)明理由.

13.一個(gè)有140名職工的合資企業(yè)投資生產(chǎn)甲、乙兩種不同產(chǎn)品，2000年該企業(yè)生產(chǎn)的甲

產(chǎn)品創(chuàng)外匯32萬(wàn)元，乙產(chǎn)品創(chuàng)外匯216萬(wàn)元，該企業(yè)以后每年所創(chuàng)外匯是甲產(chǎn)品以2.25倍

2

的速度遞增，而生產(chǎn)乙產(chǎn)品的機(jī)器由于老化的原因，每年創(chuàng)外匯為上年的這個(gè)企業(yè)只

要年人均創(chuàng)外匯達(dá)3萬(wàn)元就可以列入國(guó)家重點(diǎn)企業(yè)。若以2000為第一年，問(wèn)：

(I)從哪一年開始，甲產(chǎn)品年創(chuàng)外匯超過(guò)乙產(chǎn)品年創(chuàng)外匯(lg2=0.3010,lg3=0.4771)

(II)該企業(yè)哪一年所創(chuàng)外匯最少？該年甲、乙兩種產(chǎn)品各創(chuàng)外匯多少萬(wàn)元?

(III)該企業(yè)到2003年能否進(jìn)入國(guó)家重點(diǎn)企業(yè)？

14.某地區(qū)預(yù)計(jì)從2005年初的前n個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求總量I(萬(wàn)件)

與月份n的近似關(guān)系為I______________I

(I)求2005年第n個(gè)月的需求量g(n)(萬(wàn)件)與月份n的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪個(gè)月

份的需求量超過(guò)1.4萬(wàn)件。

(II)如果將該商品每月都投放市場(chǎng)P萬(wàn)件，要保持每月都滿足供應(yīng)，則P至少為多少

萬(wàn)件?

15.學(xué)校食堂改建一個(gè)開水房，計(jì)劃用電爐或煤炭燒水，但用煤時(shí)也要用電鼓風(fēng)及時(shí)排氣，

用煤澆開水每噸開水費(fèi)為S元，用電爐燒開水每噸開水費(fèi)為P元.

S=5x+0.2y+5,P=10.2y+20576-y

其中x為每噸煤的價(jià)格，y為每百度電的價(jià)格，如果燒煤時(shí)的費(fèi)用不超過(guò)用電爐時(shí)的費(fèi)

用，則仍用原備的鍋爐燒水，否則就用電爐燒水.

(1)如果兩種方法燒水費(fèi)用相同，試將每噸煤的價(jià)格表示為每百度電價(jià)的函數(shù)；

(2)如果每百度電價(jià)不低于60元，則用煤燒水時(shí)每噸煤的最高價(jià)是多少？

16.某漁業(yè)公司年初用98萬(wàn)元購(gòu)買一艘捕魚船，第一年各種費(fèi)用為12萬(wàn)元，以后每年都增

加4萬(wàn)元，每年捕魚收益50萬(wàn)元.

(1)問(wèn)第幾年開始獲利？

(2)若干年后，有兩種處理方案：

方案一：年平均獲利最大時(shí)，以26萬(wàn)元出售該漁船

方案二：總純收入獲利最大時(shí)，以8萬(wàn)元出售該漁船.問(wèn)哪種方案合算.

17.如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點(diǎn)A處有?個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另

兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B,C分別在A的正東方20km和54km處。某時(shí)■刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目

標(biāo)P的一個(gè)聲波，8s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)A,20s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào)。在當(dāng)時(shí)的氣象條件下,

聲波在水中的傳播速度是1.5km/s.

(1)設(shè)A到P的距離為xkm,用x表示B,C到P的距離，并求x的值；

(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(結(jié)果精確到0.01km)。

18.如圖，?科學(xué)考察船從港口。出發(fā)，沿北偏東a角的射線

OZ方向航行，而在離港口。(a為正常數(shù))海里的北偏東

12

tana=_、cos0=-j=

B角的A處共有一個(gè)供給科考船物資的小島，其中已知3S3.現(xiàn)指揮部

需要緊急征調(diào)沿海岸線港口。正東m海里的B處的補(bǔ)給船，速往小島A裝運(yùn)物資供給科考

船.該船沿BA方向全速追趕科考船，并在C處相遇.經(jīng)測(cè)算當(dāng)兩船運(yùn)行的航線與海岸線0B圍

成的三角形OBC的面積S最小時(shí)，這種補(bǔ)給最適宜.

(I)(本問(wèn)6分)求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式S(m)；

(II)(本問(wèn)6分)應(yīng)征調(diào)m為何值處的船只，補(bǔ)給最適宜？

19.某人上午7時(shí)，乘摩托艇以勻速v海里/時(shí)(44V"20)從人港出發(fā)到距50海里的B港

去，然后乘汽車以勻速0千米/時(shí)(3°40410°)自B港向距300千米的C市駛?cè)?，?yīng)該在

同一天下午4時(shí)至9點(diǎn)到達(dá)C市.設(shè)汽車、摩托艇所需要的時(shí)間分別是x、y小時(shí).

(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；

(2)如果已知所要的經(jīng)費(fèi)P=l00+3?(5_x)+2?(8—y)(元),那么丫、。分別是多

少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)？此時(shí)需花費(fèi)多少元？

20.甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲，由于計(jì)算錯(cuò)誤，在4、8兩個(gè)噴霧器中分別配制成"％和6%

的藥水各10千克，實(shí)際要求兩個(gè)噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的，現(xiàn)在只有兩個(gè)容量為I

千克的藥瓶，他們從4、8兩個(gè)噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入8中，

8中取得的倒入A中，這樣操作進(jìn)行了〃次后，A噴霧器中藥水的濃度為%％,8噴霧器

A

中藥水的濃度為"％.

(I)證明明+""是一個(gè)常數(shù)；

(II)求明與%T的關(guān)系式；

(III)求明的表達(dá)式.

21.某校興趣小組運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)輪船由海上行駛?cè)雰?nèi)陸海灣進(jìn)行了一次模擬試驗(yàn)。如圖，內(nèi)

陸海灣的入口處有暗礁，圖中陰影所示的區(qū)域?yàn)榘到竻^(qū)，其中線段44,83,。6，2。關(guān)

于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對(duì)稱，線段用B的方程為y=x，xe[a，U,過(guò)。有一條航道。有一艘正在

M(----o,0)

海面上航行的輪船準(zhǔn)備進(jìn)入內(nèi)陸海灣，在點(diǎn)2處測(cè)得該船發(fā)出的汽笛聲的時(shí)刻

總晚1s(設(shè)海面上聲速為s〃/s)。若該船沿著當(dāng)前的航線航行(不考慮輪船的體積)

(I)問(wèn)興趣小組觀察到輪船的當(dāng)前的航線所在的曲線方程是什么？

(II)這艘船能否由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸海灣？請(qǐng)說(shuō)明理由。

答案

1.(1)由題意可設(shè)，每天多賣出的件數(shù)為-x2+x),.?.36=乂32+3),...k=3

又每件商品的利潤(rùn)為(20T2-x)元，每天賣出的商品件數(shù)為48+3。2+x)

該商品一天的銷售利潤(rùn)為

/(x)=(8—x)[48+3(x2+x)]=-3X3+21X2-24X+384(0<x<8)

2

(2)由/<x)=-9x+42x-24=-3(x-4)(3x-2)

2

V*—___

令/'(x)=°可得3或x=4

當(dāng)x變化時(shí)，/'(X)、"X)的變化情況如下表:

X0(。,|)2(|,4)48

(4,8)

3

—0+0—

/1(X)

384/極大值432X0

4

fW376-

極小值9

，當(dāng)商品售價(jià)為16元時(shí)，一天銷售利潤(rùn)最大，最大值為432元

2.依題意，公寓2002年底建成，2003年開始使用.

(1)設(shè)公寓投入使用后n年可償還全部貸款，則公寓每年收費(fèi)總額為1000X80(元)

=800000(元)=80萬(wàn)元，扣除18萬(wàn)元，可償還貸款62萬(wàn)元.

依題意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+...+(1+5%嚴(yán)]>500(1+5%嚴(yán).

化簡(jiǎn)得62(1.05M-l)>25xl.05n+l

1.05H>1.7343

lgl.7343_0.2391

n2——11.23

兩邊取對(duì)數(shù)整理得愴105°O212....取『12(年).

/.到2014年底可全部還清貸款.

(2)設(shè)每生和每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為x元，因到2010年底公寓共使用了8年，

依題意有(翳^T8)口+(1+5%)+(1+5%產(chǎn)+…+(1+5%力>500(1+5%)\

[0不一]

(O.lx-18)~->500xl.059

化簡(jiǎn)得L05—1

在仙8+就罟)=叩8+旦罌*)=10x(18+81.2)=992

(元)

故每生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為992元.

3.(理)(1)a1=100,a2=0.95xl00+x,a3=0.95a2+x=0.952xl00+0.95x+x

對(duì)n>2有：an=0.95an—l+x=0.952an—2+(x+0.95x)=#"=0.95n—lai+x(l+0.95+…+0.95n—2)

]_n

0.95"-'xl00+—?x=20x+(100-20x)?0.95,,_|

0.05

(2)當(dāng)100-20x20,即xW5時(shí)

an+}<an<--?<a2<a]=100

lim”“=lim[20x+(io。-20x)-O.95"T]=20%

當(dāng)100-20x<0,即x>5時(shí),

此時(shí)｛an｝逐項(xiàng)增加，可任意接近20x

依題意可知：/"15°即20x<150,；.x<7.5

...每年新增糧食儲(chǔ)備量不應(yīng)超過(guò)7.5萬(wàn)噸

g（l）=/⑴=與xlx2x33=F（萬(wàn)件）

（文）⑴

x(x+1)(35-2x)_-—(x-l)x(37-2x)

當(dāng)"N2時(shí),g(x)=f(x)-f(x-l)150

=THoxK-2/+33x+35)-(2-+39x-37)]

=-^—x(72-6x)=—%(-%+12)

15025

當(dāng)x=l時(shí)，g(x)=g⑴也適合上式

g(x)=—x(-x+12)(xeN*且xK12)

g（X）max=—

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=12-x即x=6時(shí)成立，即當(dāng)x=6時(shí)，25（萬(wàn)件）

???6月份該商品的需求量最大，最大需求量為25萬(wàn)件。

(2)依題意，對(duì)一切了€{1,2,…」2},有

"xNg(l)+g(2>-+g(x)=f(x)

P>-^-(x+1)(35-2x)(x=l,2,-12)

22

//(%)=—(35+33x-2X)=—[-2(%-—)+

令15015048

171

答每個(gè)月至少投入150萬(wàn)件可以保證每個(gè)月都足量供應(yīng)。

neA^*,l<n<31)ak(k&N*,k>4)

4.（1）設(shè)7月〃日售出的服裝件數(shù)為為最大。

%=3+3(k—1)

ak-2(31-%)=3

k=13,ak—39

?1?7月13日該款服裝銷售件數(shù)最多，最大值為39件。

(2)設(shè)S"是數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和，

J3〃，1<H<13

?"”一165-2〃，14</?<31(〃eN*)

3+3〃

2.〃'l<n<13

?二s〃=<

273+(51-n)-(n-13),14<n<31

兀=273>200

.?.由1W〃W13時(shí)，S,,>20°得〃N12,

由144〃431時(shí),。"<2°得”之23,

.??從7月12日到7月22日共11天該款服裝在社會(huì)上流行。

300

t=.45"=]50后

5.⑴由A直接游向B處的時(shí)間為2（秒）.

300300…

%=-----1-----=2001—

由A經(jīng)D到B的時(shí)間為62（秒），而150vl>200,

因此，救生員的選擇是正確的。

300

sin

⑵設(shè)NBCD二Q,則CD=300cota,BC=?,AC=300-300cotao

于是從A經(jīng)C到B的時(shí)間為

a

1-tan22-

3——一a

l+tan22-

50(1+

迎IX+衛(wèi)=50-竺*+筌50(—y)1+tan2—

62sinasinasina=sinasina2

50(14-——+2tany)

3萬(wàn)250(1+2拒)=50+1006

]

2ctan—a=

2atan—=也tana=2痣

tan—

當(dāng)且僅當(dāng)2,即22時(shí),

上式等號(hào)成立。

300二75五

此時(shí)，CD=,-(米)時(shí)，t取得最小值為50+100拒秒。

因此，點(diǎn)C應(yīng)選在沿岸邊AD,距D點(diǎn)75及米處，才能使救生員從A到B所用時(shí)間最短，最

短時(shí)間為50+10。收秒。

~—p+7,16<p<20;

w41

—p+6,20<p425.

6.⑴15

(2)設(shè)月利潤(rùn)為W(萬(wàn)兀)，貝ljW=(p—16)q—6.8

(--/?+7)(p-16)-6.8,16<p<20;

4

(-1p+6)(p-16)-6.8,20<p<25.

16<p<20,IV=--(p-22)2+2.2,當(dāng)p=20時(shí),叱皿=1.2;

當(dāng)4

20<pW25,W=—4(p-23)2+3,當(dāng)p=23時(shí),Wmax=3

當(dāng)5

...當(dāng)售價(jià)定為23元/件時(shí)，月利潤(rùn)最多為3萬(wàn)元

(3)設(shè)最早n個(gè)月后還清轉(zhuǎn)讓費(fèi)，則3"258,"220,

...企業(yè)乙最早可望20個(gè)月后還清轉(zhuǎn)讓費(fèi)

(l)y,=(10-a)x-30,0<x<200,xe^;

2

y2--0.05x+10x—50,0<x<120,xeN,

(2)y濕大=1970—200a,為最大=450。

7(3)令1970-200a=450，得。=7.6.

當(dāng)4?a<7.6時(shí)，投資甲產(chǎn)品；當(dāng)7.6<a48時(shí)，投資乙產(chǎn)品；當(dāng)a=7.6時(shí)，投

資甲、乙兩產(chǎn)品均可。

8.(I)根據(jù)題意，當(dāng)購(gòu)票人數(shù)不多于100時(shí)，可設(shè)了與x之間的函數(shù)關(guān)系為

y-30x-500-ky/x

???人數(shù)為25時(shí)，該旅游景點(diǎn)收支平衡,

...30x25-500-k后=0,解得％=50.

_30x-50Vx-500(xeN*,x?100),

.)|30x-50Vx-700(xeN*,x>100).

??

(ID框圖如下：

(III)設(shè)每張門票價(jià)格提高為〃2元，根據(jù)題意，得

X20-50720-500>0

?/?:>25+5^5?36.2

??O

從而，每張門票最少要37元。

9.(I)由A直接游向B處的時(shí)間為

300

(=sin45。=]50后

2(秒)

由A經(jīng)D到B的時(shí)間為

300300…

%=——+——=200

62(秒)

而150人>200,

因此，救生員的選擇是正確的.

川)設(shè)ZBCD=a,則CZ)=300cota

BC=222_,AC=300-300cota

sin。

于是從A經(jīng)C到B的時(shí)間為

300-300cot?300

t=------------------+--------

62sina

“50cosa150

=50----；----+

sinasin。

3

50(1+^—cosa

sinasina

1,2"

I—tan~

3---------2

l+tan2-

=50(1+-----------

2ctan—a

2

i2

1+tan—a

2

=50(1+—^—+2tan-)

2

,tan一a

2

>50(1+272)

=50+100匹

當(dāng)且僅當(dāng)

2tan—=―?—,即tan烏=二，tana=2四時(shí),

2a22

2上式等號(hào)成立.

300

CD=7572

此時(shí),tana（米）時(shí),t取得最小值為5。+10072秒.

因此，點(diǎn)C應(yīng)選在沿岸邊AD,距D點(diǎn)75a米處，才能使救生員從A到C再到B所用時(shí)間最

短.最短時(shí)間為50+100匹秒.

10.(1)由+l,當(dāng)n=0時(shí)，由題意，可得k=8,所以/(〃)=(100+10")

Q0

(10--J=)-100/1/(?)=(100+10H)(10---=)-100/2=1000

+1.(2)由+l—80

(廣)=1000—80(Vzi+1H—「9)<1000—80x2^/9=520----

5/〃+15/〃+1當(dāng)且僅當(dāng)4〃+1

9

即n=8時(shí)取等號(hào)，所以第8年工廠的利潤(rùn)最高，最高為520萬(wàn)元

S--a2sin。

11.(1)在圖①中，設(shè)=AB=BC=a.則2,由于s、a、sin夕皆

”戶2后

為正值，可解得"sin。.當(dāng)且僅當(dāng)sin6=l,即6=90°時(shí)取等號(hào).所以

4=2"22J5?,4的最小值為2J5y.在圖②中，設(shè)AB=CD=m,BC=n,由/BAD=60

1V3_25m

?？汕蟮肁D=m+n,22，解得43m2.“=2m+”=2m

_2S__/w3^2/y

十底。W十0八一7Z>.r-r-

73m273m2,4的最小值為2寸3VS.當(dāng)且僅當(dāng)

2S_3m機(jī)=f4￡

鬲2,即丫3代時(shí)取等號(hào).(2)由于后〉均，則4的最小值小于4的最

小值.所以在方案②中當(dāng),2取得最小值時(shí)的設(shè)計(jì)為最佳方案

12.D設(shè)〃年后盈利額為y元

n(n-\\9

y-50/2—\1n-\-------x4-98=-2〃-+40〃-98

2

令y>0,得3W/W17,

???從第3年開始盈利.…8分

y98

2-=-2H--+40<-2+40=12

2)①平均盈利〃〃

這種情況下，盈利總額為12x7+26=110萬(wàn)元,

此時(shí)"=7.…12分

②>=-2("10)2+1024102,此時(shí)〃=10.

這種情況下盈利額為102+8=110.

兩種情況的盈利額一-樣，但方案①的時(shí)間短，故方案①合算.

13.(I)設(shè)第n年甲產(chǎn)品創(chuàng)外匯an萬(wàn)元，乙產(chǎn)品創(chuàng)外匯bn萬(wàn)元

n2,,2n

則%=32x2.25''=32x(|)-,bn=216x(1)''

、八32x(-)2"-2>216x(-)z,-'(-)5-3n<-

若%>%則23即23

/.5-3/2<log3一,3〃>5+-------——=7.72「.n>2.57neN、：.n=3

23坨「32

第3年開始即2002年甲產(chǎn)品創(chuàng)外匯就可以超過(guò)乙產(chǎn)品創(chuàng)外匯

(II)設(shè)該企業(yè)第n年創(chuàng)外匯得萬(wàn)元

貝儼=%+2

22

=32x(|產(chǎn)-2+216X(!)?-'=32X(|)"-+108x(|)「"+108xg)?

>3332x(-)2'-2x108x(-)'-108x=216108x(-)'-=32x(-)2--2

、222當(dāng)且僅當(dāng)2，*

即n=2時(shí),取“=”號(hào)，即第2年，2001年創(chuàng)外匯最少為216萬(wàn)元,這年甲產(chǎn)品創(chuàng)外匯72

萬(wàn)元，乙產(chǎn)品創(chuàng)外匯144萬(wàn)元

(III)2003年即第4年，設(shè)該企業(yè)創(chuàng)外匯為y

64

y=a.+h4=32x(-)+(-)-'x216=428.5>3x140=420

則23

.?.2003年該企業(yè)能進(jìn)入國(guó)家重點(diǎn)企業(yè)。

即6月份的需求量超過(guò)1.4萬(wàn)件

(II)要保持每個(gè)月都滿足供應(yīng)，則每月投放市場(chǎng)的商品數(shù)P(萬(wàn)件)應(yīng)滿足

15.(1)由題意，得5x+0.2y+5=10.2y+20/76一.丫

nx=2y+4y]76-y-1(0<y<76)

r

(2)由SWP,得XW-2(76—y)+4,76-y+151=-2(^76-y-+153

...60<y<76...0<776-y<4

...當(dāng)"6-y=1時(shí),"max=153,此時(shí)y=75.

答：每噸煤的最高價(jià)為153元.

16.(1)由題意知，每年的費(fèi)用以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列.

設(shè)純收入與年數(shù)n的關(guān)系為f(n),則

/(〃)=50〃-[12+16+...+(8+4〃)]—98=—2/+40/1-98

由題知獲利即為f(n)>0,由一2/+4°〃-98>°,得10-同<〃<10+西

2.1<n<17.1.lfl]n^N,故n=3,4,5,—,17.

當(dāng)n=3時(shí)，即第3年開始獲利.

=犯=4。-2(〃+竺)

(2)方案一：年平均收入〃〃.

49cri914

幾T----->2Jn——=14

由于〃V〃，當(dāng)且僅當(dāng)n=7時(shí)取“=”號(hào).

^^<40-2x14=12

，n(萬(wàn)元).

即第7年平均收益最大，總收益為12X7+26=110(萬(wàn)元).

方案二：f(n)=-2"2+40n-98=-2(〃—l°)2+102.

當(dāng)n=10時(shí)，f(n)取最大值102,總收益為102+8=110(萬(wàn)元).

比較如上兩種方案，總收益均為110萬(wàn)元，而方案一中n=7,故選方案一.

17.(1)依題意,WPA-PB=1.5X8=12(km).PC-PB=1.5X20=30(km)

PB=(x-12)(km),

PC=30+(x-12)=(18+x)(km).

在aPAB中，AB=20km

cosNPAB=

「2+2()2一(x-12)2_3x+32

2x-205x

cosZPAC

同理，3x

??cosNPAB=cosNPAC,

3x+3272—x

5x3x

132

x=—(bn)

解之，得7

(2)作PD,a于0，在ZkADP中，

132

々Sr4-”523x—7+32

PD=PAcosZAPD=x-=——-----?17.7l(hn).

5x5

答：靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離約為17.71km

18.(I)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，指北的方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，則直線0Z的方程為y=3x,

設(shè)點(diǎn)A(xO,yO),則xO="^asinB=3a,y0=acosP=2a,即A(3a,2a),

2a.、

------(x-m)

又B(m,0),則直線AB的方程是y=3〃一機(jī),

(2am6am)

山此得到C點(diǎn)坐標(biāo)為3ma'3m-la,

13am27

5(/n)=-IOBIxIy1=-------(m>-a)

20c3m-7a3

749a2J4]、s處+與9

S(m)=a[(m--a)+-----1----Q[2.

933

(II)

749a2147

m——a-------——，即/n=-a(m>—a)

3c/733

9(m—a)

???當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)等號(hào)成立,

14

ITl=----Cl

征調(diào)3海里處的船只時(shí)，補(bǔ)給最適宜.

50300

19.(1)依題意得y,X,4v0,30<(y<100,所以3W10,

5/,25

—\y-----

2一.一2……①.由于汽車、摩托艇所需要的時(shí)間和x+>應(yīng)在9至14時(shí)之間，即

9<x+j<14……②.因此，滿足①、②的點(diǎn)(X,y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括

邊界).

2)p=100+3*(5—x)+2?(8—y)3x+2y=131—p設(shè)131—p=k那么當(dāng)k

_3

最大時(shí)，p最小.在通過(guò)圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為5的直線版+2）'="

中，使k值最大的直線必通過(guò)點(diǎn)（10,4）.即當(dāng)x=l0,>=4時(shí)，p最小.此時(shí)，丫=12.5,

69=30,p的最小值為93元

20.（1）開始時(shí)，A中含有iox12%=1.2千克的農(nóng)藥，8中含有]_0X6%=0.6千克的農(nóng)藥,

〃次操作后，A中含有千克的農(nóng)藥，8中含有iox2%=o.i或千克的農(nóng)

藥，它們的和應(yīng)與開始時(shí)農(nóng)藥的重量和相等，從而有=12+06,所以%+bn

=18（常數(shù)）

（2）第〃次操作后，A中io千克藥水中農(nóng)藥的重量具有關(guān)系式：+lx%T=l（fa“，

°_4^+2

由⑴知2-產(chǎn)18-a,I,代入化簡(jiǎn)得""5"-1》①

、4

%+4=—（%一1+4）

⑶令5,利用待定系數(shù)法可求出之=一9

94（9）4

所以"5a,可知數(shù)列"，一處是以4-9為首項(xiàng)，二為公比的等比數(shù)列，一io分

%=巳。+2=。2+2后=11.4

0

由①,55555

山等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知:

%_9=(/_9)g嚴(yán)=2.4(：產(chǎn)=3(令"所以*=3(1)?+9

21.設(shè)輪船所在的位置為P,由題意可得?PM\~\PN\=aa<\MN\t

故點(diǎn)P的軌跡是以“，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支。

/V1

------—1■—

設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為加2]（m>0/>0）則2

，興趣小組觀察到輪船的當(dāng)前航線所在的曲線方程是4/一）’2=6（X〉O）

（II）這艘船能由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸海灣。

設(shè)直線’的方程為y=y°。

當(dāng)°,打,。時(shí)，設(shè)/與雙曲線右支、直線x=a分別交于點(diǎn)0，S1,

則以口靖+合，）'。）,sg0）

,/—JyJ+a2<—V?2+a2<a

2、°2

???點(diǎn)2在點(diǎn)a的左側(cè)，，船不可能進(jìn)入暗礁區(qū)。

當(dāng)凡2"時(shí)，設(shè)/與雙曲線右支、直線V=*分別交于點(diǎn)。2，§2,

則。2（W；+/y。）,S2（y0,y。）

?.?；（媼+/）_y2=_3汽a<0

44

一#。2+a<）。在點(diǎn)$2的右側(cè)，.?.船不可能進(jìn)入暗礁區(qū)。

綜上，在X軸上方，船不可能進(jìn)入暗礁區(qū)，由對(duì)稱性可知，船能山海上安全駛?cè)雰?nèi)陸海灣。

w.w.w.k,s.5.u.c.o.m

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四、圓錐曲線

12

y=-x

1.已知橢圓C的焦點(diǎn)在X軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線4的焦點(diǎn)，離心率為

275

5ow.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，次礪=°,過(guò)原點(diǎn)。作直線AB的垂線0D,垂足為

D,求點(diǎn)D的軌跡方程.

2.設(shè)直線/：y="X+l與雙曲線0：3-->2=1相交于AR兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)

(I)。為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn).

(II)是否存在實(shí)數(shù)“，使W卜網(wǎng)且。A+03=4(2,1),若存在，求a的值，若不存在,

說(shuō)明理由.

72

二-匕=1

22

3.(理)設(shè)雙曲線C：?b(a>o,b>0)的離心率為e,若準(zhǔn)線I與兩條漸近線

相交于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，△FPQ為等邊三角形.

(1)求雙曲線C的離心率e的值；

b2e2

(2)若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為?求雙曲線c的方程.

(文)在aABC中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),BC邊長(zhǎng)為2,且BC在y軸上的區(qū)間[-3,3]

上滑動(dòng).

(1)求^ABC外心的軌跡方程；

(2)設(shè)直線l：y=3x+b與(1)的軌跡交于E,F兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線I的距離為d,求

45

學(xué)而思教育?學(xué)習(xí)改變命運(yùn)思考成就未來(lái)!高考網(wǎng)

IEFI

d的最大值.并求出此時(shí)b的值.

V2,1—*—

2

X-J_=lON=—(0A+0B)

4.已知點(diǎn)N(1,2),過(guò)點(diǎn)N的直線交雙曲線2于A、B兩點(diǎn)，且2

(1)求直線AB的方程；

(2)若過(guò)N的直線I交雙曲線于C、D兩點(diǎn)，且℃,AB=0,那么人、B、C、D四點(diǎn)是

否共圓？為什么？

/(外=^-,