初中數(shù)學九年級上冊 數(shù)學活動【區(qū)一等獎】

數(shù)學活動

折疊問題（對稱問題）是近幾年來中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型，學生往往由于對折疊的實質(zhì)理解不夠透徹，導致對這類中檔問題失分嚴重。本節(jié)課通過對在初中數(shù)學中經(jīng)常涉及到的幾種折疊的典型問題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的常規(guī)方法。命題方向本節(jié)課的學習目標：1、理解圖形折疊問題的實質(zhì)；2、理解折疊前后關于折痕成軸對稱；3、在操作中觀察、分析圖形，從中確定線段、角之間的數(shù)量關系，并結合勾股定理利用方程思想解決相關計算問題；透過現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對稱實質(zhì)軸對稱性質(zhì)：ADEF2.點的對稱性：對稱點連線被對稱軸（折痕）垂直平分.1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對應邊、角相等.由折疊可得：1.△AFE≌△ADE2.折痕AE是DF的中垂線答案解析一、求角度

將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，∠CBD=

度．解析：BC、BD是折痕，所以有∠1=∠2，∠3=∠4則∠CBD=90°總結：折疊圖形的翻折部分在折疊前后的形狀和大小不變，是全等圖形，利用性質(zhì)，對應角相等求解。1234902．把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著BF折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開后如圖所示，則∠DFB等于=_________。1.已知，如圖,Rt△ABC中,∠C=90o,沿過點B的一條直線BE折疊△ABC,使C恰好落在AB邊的中點D處，則∠A=________.30°112.5°練習二、求邊長【一】折疊前后的對應邊相等

如圖，矩形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將其沿AE對折，使得B點落在AD上的點B1處，折痕與BC交于點E,則CE=_____.2總結：折疊圖形的翻折部分在折疊前后的形狀和大小不變，是全等圖形，利用性質(zhì)，對應邊相等求解。解析：由翻折可得四邊形ABEB1是正方形1.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為8，將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個三角形的周長之和為_______.2.如圖，點O是矩形ABCD的中心,E是AB上的點，沿CE折疊，點B恰好與點O重合，若BC=3,則折痕CE=_________.323練習3330°30°30°【二】利用勾股定理解決問題二、求邊長如圖，沿AE折疊長方形，使D點落在BC邊上的F處，已知AB=8,BC=10.求CE的長.解：根據(jù)折疊可知，△AFE≌△ADE，∴AF=AD=10cm，EF=ED，

AB=8cm，EF＋EC=DC=8cm，∴在Rt△ABF中

FC=BC-BF=4cm設EC=xcm,則EF=DC－EC=(8－x)cm在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理得

EC2=FC2=EF2即x2＋42=（8－x）2，x=3cm，∴EC的長為3cm。10810x8-x8-x64總結：2、找相等1、標已知3、設未知，將已知邊和未知邊（用含x的代數(shù)式表示）轉化到同一直角三角形中表示出來。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。心得：先標等量，把條件集中到一Rt△中，利用勾股定理得方程。ABCD

x48-xx66

練習1.如圖,矩形紙片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，在BC上找一點F，沿DF折疊矩形ABCD，使C點落在對角線BD上的點E處，此時折痕DF的長是多少？心得：先標等量，把條件集中到一Rt△中，利用勾股定理得方程。82.如圖，將一長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在E的位置上，AE交DC于點F,已知AB=8cm,BC=4cm,求線段CF的長.練習844xx8-x解：根據(jù)折疊可知，△ABC≌△AEC，∴AE=AB=8cm，EC=BC=4，∠EAC=∠BAC，∠E=∠B=90°，又∵∠DCA=∠BAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=FA，設FC=xcm,則EF=(8－x)cm在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理得

EC2+FE2=CF2即42+(8－x)2=x2，x=5cm，∴EC的長為5cm。

角平分線與平行線組合時,能得到等腰三角形在矩形的折疊問題中，求線段長時，常設未知數(shù)，找到相應的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問題。

3.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，BC=10cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD的長為()

練習D5x10-x10-x三、求面積如圖，將一長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在E的位置上，AE交DC于點F,已知AB=8cm,BC=4cm,求△AFC的面積.若將問題換成：求折疊后重合部分的面積呢？我們將幾個問題整合，可以得到：如圖，將一長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在E的位置上，AE交DC于點F,已知AB=8cm,BC=4cm.（1）找出圖中的一對全等三角形，并證明；（2）△AFC是何種形狀的三角形？說明你的理由；（3）求FC的長。（4）試確定重疊部分△AFC的面積。

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片，使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG,則△A1BG的面積與該矩形的面積比為_________。34231：8練習四、紙片中的折疊如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則∠α的度數(shù)等于__________.75°a2130°BEFACD總結：紙片折疊，利用角平分線和平行線性質(zhì)得出重疊部分是一個等腰三角形，折疊問題中,求角度時，往往可通過動手折疊，或將圖形還原。

如圖，a是長方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖b，如果∠GEF=20°，那么∠AEG=

____.

EADCBF圖aCBDEFGA圖bD′C′C'D'圖cCDBGAFE?20°20°相信你,一定行如果再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是

.140°120°提示：在圖c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°

如圖，a是長方形紙帶，∠GEF=20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，如果再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是

.EADCBF圖aCBDEFGA圖b圖cCDBGAFE?相信你,一定行(1)折疊過程實質(zhì)上是一個軸對稱變換，折痕就是對稱軸，變換前后兩個圖形全等。（2）在矩形的折疊問題中，若有求邊長問題，常設未知數(shù)，找到相應的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問題。（4）在折疊問題中，若直接解決較困難時，可將圖形還原，可讓問題變得簡單明了。有時還可采用動手操作，通過折疊觀察得出問題的答案。小結(3)在矩形（紙片）折疊問題中，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形重結果折疊問題折疊重過程利用Rt△利用∽△方程思想軸對稱全等性對稱性（折痕）實質(zhì)精髓利用三角函數(shù)謝謝大家！試