初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) 數(shù)據(jù)的離散程度、樣本方差估計(jì)總體方差【區(qū)一等獎(jiǎng)】

數(shù)據(jù)的離散程度、樣本方差估計(jì)總體方差交流與發(fā)現(xiàn)去年我校運(yùn)動(dòng)會(huì)中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在8次百米跑訓(xùn)練中，成績?nèi)缦卤恚盒驍?shù)12345678甲的成績/秒12．012．213．012．613．112．512．412．2乙的成績/秒12．212．412．712．512．912．212．812．3序數(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲乙1、請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)上表信息完成下表：12．512．512．4512．4512．212．22、小亮說：“甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)對(duì)應(yīng)相同，因此他們的成績一樣．”你認(rèn)為這種說法合適嗎？請(qǐng)你幫體育老師從中挑選一名同學(xué)參加縣運(yùn)動(dòng)會(huì)1、某同學(xué)準(zhǔn)備繪制折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行數(shù)據(jù)研究，挑選學(xué)生甲運(yùn)動(dòng)員成績統(tǒng)計(jì)圖乙運(yùn)動(dòng)員成績統(tǒng)計(jì)圖序數(shù)成績/秒12．012．212．412．612．813．013．21234567813．402、觀察統(tǒng)計(jì)圖，你認(rèn)為哪名運(yùn)動(dòng)員的成績波動(dòng)范圍較大？誰的成績比較穩(wěn)定？········序數(shù)成績/秒12．012．212．412．612．813．013．21234567813．40········甲的波動(dòng)范圍大；乙的成績較穩(wěn)定3、通過折線統(tǒng)計(jì)圖你準(zhǔn)備推選哪一名學(xué)生？你認(rèn)為分析一組數(shù)據(jù)，僅關(guān)心這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，能得到全面的結(jié)論嗎？對(duì)于一組數(shù)據(jù)，僅僅了解數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)是不夠的，還要了解這些數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍和偏離平均數(shù)的差異程度．1

數(shù)據(jù)的離散程度通常用數(shù)據(jù)的離散程度來描述一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍和偏離平均數(shù)的差異程度．

一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度就是這組數(shù)據(jù)的離散程度．離散程度的意義：一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定，平均數(shù)的代表性越?。徊▌?dòng)越小，平均數(shù)的代表性越大．那么數(shù)據(jù)的離散程度又都是怎樣刻畫的呢？0:004:008:0012:0016:0020:00北京

10℃14℃20℃24℃19℃16℃安慶20℃22℃23℃25℃23℃21℃某日在不同時(shí)段測得北京和安慶的氣溫情況如下:這一天兩地的溫差分別是：

某時(shí)段內(nèi)氣溫的最高值與最低值的差叫做溫差．溫差是一種極差，常用它來反映一天、一月、一年的氣溫變化幅度．北京安慶溫度℃2520151050:004:008:0012:0016:0020:00時(shí)間溫度℃2520151050:004:008:0012:0016:0020:00時(shí)間

北京24-10=14℃

安慶25-20=5℃極差定義：一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差．表達(dá)式：極差=最大數(shù)－最小數(shù)極差是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的最簡單的統(tǒng)計(jì)量，而且計(jì)算簡便．1．極差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍，用極差描述這組數(shù)據(jù)的離散程度簡單明了．極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大．2．由于極差忽視了一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之間的差異，僅僅由其中的最大值和最小值所確定，個(gè)別遠(yuǎn)離群體的極端值在很大程度上會(huì)影響極差，因而極差往往不能充分反映一組數(shù)據(jù)的實(shí)際離散程度．注意點(diǎn)：交流與發(fā)現(xiàn)下表是我國北方某城市1956年~1990年大氣降水資料（年平均600mm）：類別豐水年平水年偏枯年特枯年降水量/毫米882639513366（1）上面這組數(shù)據(jù)的極差是多少？（2）豐水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量與年平均降水量的差分別是多少？在一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差叫做這個(gè)數(shù)據(jù)的偏差．偏差可以反映一個(gè)數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度．刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，除了用極差外，還有其他方式嗎？516毫米282毫米、39毫米、－87毫米、－234毫米．能用偏差的和表示一組數(shù)據(jù)的離散程度嗎？282＋39＋（－87）＋（－234）=0豐水年、平水年、偏枯年、特枯年的降水量與年平均降水量的差分別是282毫米、39毫米、－87毫米、－234毫米．設(shè)是數(shù)據(jù)為x1、

x2、

x3、……、xn的平均數(shù)，n為數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，那么x這是不是偶然現(xiàn)象呢？分別表示每個(gè)數(shù)據(jù)的偏差．xx1－、xx2－、xx3－、……、xxn－x（x1－

)＋x（x2－

)＋x（x3－

)＋……x＋（xn－

)=(x1+x2+x3+……+xn)－nx()nxxxxnx++++=L3211=0在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，為了刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，通常選用偏差的平方的平均數(shù)來描述．由于偏差可能是正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，在求偏差的和時(shí)，正、負(fù)數(shù)恰好相互抵消，結(jié)果為零，所以不能用偏差的和表示一組數(shù)據(jù)的離散程度．x（x1－

)

x（x2－

)

x（x3－

)

……x

（xn－

)2222＋＋＋＋[]n1S2=在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差（variance)，通常用S2

表示，即x（x1－

)

x（x2－

)

x（x3－

)

……x

（xn－

)2222＋＋＋＋nS2=方差越小，這組數(shù)據(jù)的離散程度越小，數(shù)據(jù)就越集中，平均數(shù)代表性就越大．由于方差S2的單位與原始數(shù)據(jù)單位不一致，因此在實(shí)際應(yīng)用中常常求出方差后，再求它的算術(shù)平方根，這個(gè)算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用S表示．．)()()(22221nxxxxxxsn-+-+-=L標(biāo)準(zhǔn)差也是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量．1．甲、乙兩臺(tái)編織機(jī)同時(shí)編織同種品牌的毛衣，在5天中，兩臺(tái)編織機(jī)每天編織的合格產(chǎn)品數(shù)量如下（單位：件）:

甲：108778

乙：98779通過這五天數(shù)據(jù)，請(qǐng)求出兩臺(tái)機(jī)器的標(biāo)準(zhǔn)差，并判定哪一臺(tái)機(jī)器工作穩(wěn)定？85877810=++++=甲x8597789=++++=乙x51010)89()88()89(222=-++-+-=L乙s51510)88()88()810(222=-++-+-=L甲s因?yàn)镾甲＞S乙，所以乙編織機(jī)每天編織的合格產(chǎn)品的數(shù)量較穩(wěn)定．小試牛刀：1．在一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差叫做這個(gè)數(shù)據(jù)的偏差．偏差可以反映一個(gè)數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度．由于偏差可能是正數(shù)、零、負(fù)數(shù)，在求偏差的和時(shí)，正、負(fù)數(shù)恰好相互抵消，結(jié)果為零，所以不能用偏差的和表示一組數(shù)據(jù)的離散程度．x（x1－

)

x（x2－

)

x（x3－

)

……x

（xn－

)2222＋＋＋＋[]n1S2