高考數(shù)學復習理科5概率與統(tǒng)計

施L專題5概率與統(tǒng)計

知識

Z整合

ZHISHI2HENGHE

一、計數(shù)原理與二項式定理

1.求解排列、組合問題的基本原則是什么？

(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.

(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.

(3)先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).

2.排列數(shù)與組合數(shù)的性質(zhì)有哪些區(qū)別？

名稱排列組合

關系

?二1；

怨=〃??；z,m_「n-m.

un__Gn_?

0!=1

Gn乜n-Gn+1

備注n,meN”且man

3.函數(shù)4用=仇+26+為/+...+己川的各項、奇數(shù)項、偶數(shù)項的系數(shù)之和分別是什么?

若仆)二a+&x+力*+…+力/,則4M展開式中各項系數(shù)之和為仙)，

奇數(shù)項系數(shù)之和為為+ai+a.+...」?⑴羋2

偶數(shù)項系數(shù)之和為仇+由+as+...3產(chǎn)2

4.怎樣確定二項式系數(shù)的最大值？

二項式當"為偶數(shù)時，中間的一項/后_取得最大值

系數(shù)的

n-1n+1

最大值當n為奇數(shù)時，中間的兩項Cj與取最大值

5.怎樣區(qū)別二項式系數(shù)與項的系數(shù)？

(a+臥)"的展開式中，二項式系數(shù)是指Cg,最，…,就,它們是組合數(shù)，只與各項的項數(shù)有關，而與

a力的值無關;而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關，還與a力的

值有關.如第r+1項的二項式系數(shù)是最,而該項的系數(shù)是以/匕.當然，在某些特殊的二項展開式

(如(1+M〃)中，各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的.

二、概率

1.頻率等于概率嗎？

頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概

率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小.通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一

個常數(shù)(概率)，因此有時也用頻率來作為隨機事件的概率的估計值.

2.如何求互斥事件、相互獨立事件之間至少一個發(fā)生的概率？

Q)若事件4、力2、4、…、力〃彼此互斥,它們至少有一個發(fā)生的概率

P[A\+A2+...+An)=P(,Ai)+P{A2)+...+P{An).

(2)若事件41、力2、4、…、4〃相互獨立,它們至少有一個發(fā)生的概率

+Ai+...+An)=1-RA]A2A3…An).

3.古典概型與幾何概型有何不同點？

不同點是基本事件數(shù)，一個是有限的,一個是無限的.基本事件可以抽象為點,對于幾何概型，這

些點盡管是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的,根據(jù)等可能性，這個點落在區(qū)域的概率與該區(qū)

域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無關.

4.怎樣求與相互獨立事件48有關的概率？

事件48相互獨立概率計算公式

48同時發(fā)生F\AB}=P{A}F\B}

48至少有一個發(fā)----

2P=1-1=f\A}+P{B}-f\Ajf\B)

生

4夕恰有一發(fā)生P=F\AQ+KB}=f\A}P^)

5.概率RAB)與HZ陽的關系是什么？

⑴W/向：已知8發(fā)生的條件下/發(fā)生的概率，當巴&*0時,田//向=_需「

(2)若8和U是兩個互斥事件，則RBUC/A)=f\BlA)+f\ClA].

6.事件力與8相互獨立的性質(zhì)有哪些？

湃事件4與6相互獨立，則RB網(wǎng)=f\B).

劭口果事件力與8相互獨立，那么力與6,公與民[與A也相互獨立.

三、隨機變量及其應用

L服從超幾何分布的隨機變量取值的概率形式是什么?數(shù)學期望是什么？

在含有例件次品的/V件產(chǎn)品中，任取〃件，其中恰有X件次品,

(1田'=同=笛迄,公0,1,2,...,以其中zn=min{M〃},且n<N,M<N,n,M,N^W.

CN

(2)若“服從參數(shù)為2例〃的超幾何分布，則耳.

2.服從二項分布的隨機變量取值的概率形式是什么?數(shù)學期望是什么？

在〃次獨立重復試驗中，事件/恰好發(fā)生k、次.

(1)概率為巴X=2=第//(1仰飛百,1,2，…,n).

⑵若丫~氏〃,成則RA)=叩久為=npQ?.

3.兩個線性隨機變量之間的均值與方差是怎樣的關系?

Q)&a￥+Z?)=a民R+b.

(2)久aX+扮=即為.(a,b為常數(shù))

4.變量X服從正態(tài)分布則曲線的對郎由是什么?曲線與x軸之間的面積是多少？

曲線關于直線」對稱;曲線與x軸之間的面積為1.

四、統(tǒng)計初步與統(tǒng)計案例

1.頻率分布直方圖的三個結論是什么？

(1)小長方形的面積=組距X—=頻率.

組距

(2)各小長方形的面積之和等于1.

⑶小長方形的高旦,所有小長方形高的和為工.

組距組距

2.如何根據(jù)頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量？

Q)頻上率本距與頁率；

轆

(2)-^=頻率,此關系式的變形為燮=樣本容量，樣本容量趣率裁數(shù).

樣本容量頻率

3.莖葉圖的繪制需注意哪些問題？

Q)"葉”的位置只有一個數(shù)字，而”莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；

(2)重復出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復記錄，不能遺漏,特別是“葉"的位置上的數(shù)據(jù).

4.樣本的數(shù)字特征有哪些？

(1)眾數(shù):在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

⑵中位數(shù)在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間的數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù),

就取最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

⑶平均數(shù):樣本數(shù)據(jù)的算術平均數(shù)，即"*1+X2+…+X3.

(4)方差與標準差

方差：_$?=i[(Al-x)2+(X2-X)2+…，(先￡)2].

標準差：5=

222

J；[(X1-X)+(x2-x)+-+(xn-x)].

5.怎樣判斷兩個變量是否線性相關？

Q)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩

個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫作回歸直線.

(2)相關系數(shù):當r>0時,表明兩個變量正相關；當r<0時,表明兩個變量負相關.

「的絕對值越接近于L表明兩個變量的線性相關性里!/的絕對值越接近于0時，表明

兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系.通常當/〃大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關

6.回歸直線必過的定點是哪個點？

AAA

回歸直線y=bx+a一定過樣本點的中心(x,y).

7.利用獨立性檢驗判斷表來判斷”X與P的關系”的注意點是什么?

Q）獨立性檢驗的關鍵是正確列出2x2列聯(lián)表，并計算出R的值.

（2）獨立性檢驗是對兩個變量有關系的可信程度的判斷,而不是對它們是否有關系的判斷.

考向

K分析

KAOXIANGFENXI

IB命題特點

近三年統(tǒng)計與概率問題主要以現(xiàn)實生活、古代文化為背景來考查統(tǒng)計圖表的識別，排列與組

合與古典概型的交匯，二項式定理，幾何概型，雙圖（莖葉圖、頻率直方圖）與離散型隨機變量的分布

列，統(tǒng)計案例相結合等，呈現(xiàn)考點模式化與考題應用化的特點，難度中等，題目為兩小一大,分值在

17到20分左右.

一、選擇題和填空題的命題特點

（一）考查排列與組合知識的應用，試題難度中等，綜合考查分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應

用.

1.（2018年全國/卷理T15改編）從2位女生和4位男生中選出3人分別參加數(shù)學、物理、化

學競賽，且至少有1位女生入選，則不同的排列方法共有種.

i221

?恰有位女生，有CC=12種選法;恰有位女生，有種選法〃.不同的選

1242CC24-4

法共有12+4=16種,不同的排列方法共有1A6；96種.

?96

（二）考查二項式定理的應用，試題難度中等,綜合考查二項展開式的通項公式與組合知識的應

用.

2.（2018年全國必卷，理T5改編）（/+，的展開式中常數(shù)項為（）

A.60B.120C.240D.480

?因為第r+1項為C；伊）6噌%當「=4時,12-35此時系數(shù)為

C；2y24=240.故選C.

?C

（三）考查古典概型、幾何概型、條件概率的計算，試題難度中等,綜合考查事件的概率與排列

組合，幾何圖形，數(shù)學文化等知識.

3.（2018年全國〃卷，理T8改編）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的

成果.哥德巴赫猜想是"每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過15

的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，期口為奇數(shù)的概率是（）.

A.1B.JC.JD.J

3N3b

?不超過15的素數(shù)有2,3,5,7,11,13共六個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C1=15種

方法，因為隨機選取兩個不同的數(shù),其和為奇數(shù)有5種選法，故概率為得故選C.

?C

4.（2018年全國/卷，理T10改編）下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由

三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形/8U的斜邊8c直角邊/氏/CA/8C的三邊

所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為乙其余部分記為應在整個圖形中隨機取一點，此點取自

廊勺概率分別記為凡?々若烏=0.4,則P2=（

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4

?整個區(qū)域的面積=S〃+S半圓8c=5半圓48+S半圓根據(jù)勾股定理，容易推出S

半圓BC=S半圓AB+S半圓AC,-"SH=S^ABC-'-PI=PZ=三包=03故選C.

?C

（四）考查互斥事件、相互獨立事件和獨立重復試驗，試題難度中等,綜合考查事件之間的關系,

以及互斥事件的加法公式與相互獨立事件的乘;去公式的應用.

5.（2015年全國/卷理T4改編）投籃測試中,每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同

學三次投籃投中的概率分別為0.6,0.5,05且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概

率為（）.

A.0.55B.0.45C.0.35D.0.3

?該同學通過測試的概率為2x0.6x0.5*0.5+0.4*0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.55.故

選A.

?A

（五）考查離散型隨機變量的分布列、均值與方差，試題難度中等,綜合考查排列組合與概率知

識的應用以及某些特殊分布列的期望與方差.

6.（2017年全國〃卷，理T13改編）一批產(chǎn)品的二等品率為0。2,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有

放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù)，則AR=RK=.

解析*有放回地抽取，是一個二項分布模型，其中2句。2,〃=100,則

8刀=/7夕=100x0.02=2,D（X）=np（l-p）=100*0.02x0.98=1.96.

:、21.96

7.（2019年全國〃卷，理T13改編）我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經(jīng)統(tǒng)計，經(jīng)停某站的高鐵列車的車

次與正點率之間的關系如下：

正點率0.970.980.99

111

車次占比

7424

則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.

?由題意得，經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為

JxO.974x0.984x0.99=0.98.

?0.98

（六）考查用樣本估計總體以及統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，試題難度中等，綜合考查對條形圖，頻率分布直

方圖，扇形統(tǒng)計圖，折線統(tǒng)計圖，莖葉圖,統(tǒng)計數(shù)表的識別與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征分析.

8.（2018年全國/卷，理T3改編）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了T告實現(xiàn)

翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收

入構成比例彳導到如下餅圖：

第三產(chǎn)業(yè)收人

種植收入第三產(chǎn)業(yè)收入

、其他收入

養(yǎng)殖收入養(yǎng)殖收入

建設前經(jīng)濟收入構成比例建設后經(jīng)濟收入構成比例

有下面結論：

詢農(nóng)村建設后，種植收入減少；

②新農(nóng)村建設后,其他收入增加了一倍以上；

③新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入未變；

@新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半.

其中結論不正確的是（）.

X.①②C.①③D.③⑷

?假設新農(nóng)村建設前總收入為a,則新農(nóng)村建設后總收入為2a,所以種植收入在新農(nóng)

村建設前為60%a,新農(nóng)村建設后為37%-24其他收入在新農(nóng)村建設前為4%日,新農(nóng)村建設后為

5%-2a,養(yǎng)殖收入在新農(nóng)村建設前為30%&新農(nóng)村建設后為30%-2a.

故不正確的是②③.

?C

9.（2019年全國〃卷，理T5改編）演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手

的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分彳導到7個有效評分.7個有效評分與9

個原始評分相比，一定不變的數(shù)字特征是（）.

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.眾數(shù)

設位評委的評分按從小到大的順序排列為

?9Ai<X2<X3<X4<...<%V檢.

則原始中位數(shù)為應去掉最低分M和最高分檢后，剩余X2<X3<物中位數(shù)仍為的故選

答熱A

（七）考查統(tǒng)計及統(tǒng)計案例，試題難度中等，綜合考查概率與抽樣方法的綜合應用，回歸分析，獨

立性檢驗等統(tǒng)計案例的數(shù)據(jù)分析及應用.

10.（2019年全國原，理T3改編）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古

典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況,隨機調(diào)

查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位,閱讀過《紅樓夢》的學

生共有80位閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位,若從該校學生中抽取10

人進行座談,則其中閱讀過《西游記》的學生數(shù)的估計值為（）.

A.5B.6C.7D.8

?由題意得,100位學生中閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為90-

80,60=70,70-100=07故抽取的10人中閱讀過《西游記》的學生數(shù)的估計值為0.7x10-7.

故選C.

?C

11.（2017年山東卷，理T5改編）為了研究某班學生的腳長M單位:厘米）和身高乂單位:厘米）的關

系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其

A

人人AI。10

回歸直線方程為丫=bx+a.已知￡為二225，X%=1600,a=70該班某學生的腳長為24據(jù)此估計

i=li=l

其身高為（）.

A.160B.163C.166D.170

A

AAA

?’.乂=22.5,y=160,.：a=160-22.5b=70,..b-4,.,.y=4*24+70=166.故選C.

?C

二、解答題的命題特點

（一）用定義法求解離散型隨機變量的分布列，試題難度中等，綜合考查排列組合知識和與互

斥事件、對立事件以及相互獨立事件的有關應用.

1.（2017年天津卷,T16改編）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，

且在各路口遇到紅燈的概率分別為心；.

（1）若有4輛車獨立地經(jīng)過第三個十字路口，求這4輛車中至少3輛車遇到紅燈的概率.

（2）設X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

?⑴這4輛車中至少3輛車遇到紅燈的概率為C:嗯丫*+：陪）4=短

（2）隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.

wi）卞6（一力陰岑

-=2）=（1/亭抬中一步抬手（1一。號

r-y1/1111

P（X=3）=-x-x-=■—.

、,23424

所以隨機變量X的分布列為

X0123

11111

P

424424

隨機變量X的數(shù)學期望&RH)x5l號+2xi+3X：毛.

(二)概型法求解隨機變量的分布列的應用問題，試題難度中等,綜合考查二項分布、正態(tài)分

布、超幾何分布等特殊分布和概率、統(tǒng)計知識的應用.

2.(2017年全國/卷，理T19改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該

生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線

正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布Mg

(1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中尺寸在(〃-3功之外的零件數(shù)，求

巴/1)及”的數(shù)學期望.

⑵氣內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(〃-3。串+30之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天

的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

⑴試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

10.010.0

9.9510.129.969.969.929.98

14

10.010.010.0

10.269.9110.139.229.95

若從上述16個零件的尺寸在(〃-30；〃)的零件中任選2個，求這2個零件尺寸相同的概率.

附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布則巴匕

3c<Z<〃+3o)=0.9974,0.997416之0.9592,〃=9.97,c=0.212.

>(1)由題可知尺寸落在(〃-3。,〃+30)之內(nèi)的概率為0.9974落在(〃-3c/+3o)之外

的概率為0.0026.RX=0)C=%(lO9974)00.997416ao.9592,

H檢1)=1XX力)*109592=0.0408,

由題可知X~B(16,0.0026),所以RA)=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)尺寸落在(〃-3C/+30之外的概率為0.0026,故尺寸落在(“-3C/+30之外為小概率

事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.

(ii)上述16個零件的尺寸在的零件共有6個，尺寸分別為

9.95,9.96996,9.92,9.91,9.95,所以尺寸相同的概率為。三系

(三)公式法和比例法求解樣本估計總體問題,試題難度中等，綜合考查概率、抽樣方法、統(tǒng)計

圖表、樣本的數(shù)字特征的應用.

3.(2018年北京卷，理T17改編)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

M,第一類第二類第三類第四類第五類第六類

類型

電影

14050300200800510

部數(shù)

好評電

5610455016051

影數(shù)目

假設所有電影是否獲得好評相互獨立.

（1）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

（2）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率.

?⑴由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,

故所求概率為贏=0.025.

（2）設事件Z為"從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，

事件8為”從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”.

故所求概率為R疝/5疝）*/八向

=凡一）（1-代向）+（1-3。））外初

由題意知R4）印.25,凡m=02

故所求概率估計為0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

（四）模型法求解統(tǒng)計案例的問題，試題難度中等，綜合考查概率統(tǒng)計與線性回歸、獨立性檢驗

知識的應用.

4.（2018年全國〃卷，理T18改編）如圖所示的是某地區(qū)2010年至2016年環(huán)境基礎設施投資額

乂單位:億元）的折線圖.

投資額

2

420

220

010

810

610

410

210

00

80

60

40

20

。

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了y與時間變量？的線性回歸模型.根據(jù)

AA

2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量f的值依次為1,2，…,7）建立模型:y=a+17.51

（1）求回歸直線方程；

（2）求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值.

?⑴根據(jù)題意，：=4,”169,代入丫=2+17.5力可得a=99,所以回歸直線方程為

y^99+17.51

(2)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為y=99+17.5x9=256.5(億元).

5.(2018年全國漏，理T18改編)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生

產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，

每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式,根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務

的工作時間(單位min)繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

―55689

976270122345668

987765433281445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高，并說明理由.

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)G并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超

過6的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方

式

第二種生產(chǎn)方

式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99.9%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

2

附.桂二----MadJc)-----------

HIJ(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K?>ko}0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

?(1)第二種生產(chǎn)方式效率更高.觀察莖葉圖可知，第二組數(shù)據(jù)集中在70min~80

min之間,而第一組數(shù)據(jù)集中在80min~90min之間，故第二組生產(chǎn)方式效率更高.

(2)由莖葉圖數(shù)據(jù)得到6=80,故列聯(lián)表為

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式155

第一種生產(chǎn)方式515

n(ad-bc)2

⑶依二

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

_40x(15xl5-5x5)2

=10<10.828,

20x20x20x20

所以沒有99.9%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

(五)通過概率統(tǒng)計與函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合應用，綜合考查概率統(tǒng)計在實際生活中的決策

作用，試題難度較大.

6.(2017年全國糜，理T18改編)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同,進貨成本每瓶

4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)

驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:。。有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最

高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶,為了確定六月

份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份共90天的最高氣溫數(shù)據(jù)彳導到下面的頻率分布表：

最高[10,15[15,20[20,25[25,30[30,35[35,40

修舊

v/nn))))))

182572

頻率

45455189045

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量A(單位:瓶)的平均值.

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為K單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量〃(單位:瓶)

為多少時,V的數(shù)學期望達到最大值？

?(1)易知需求量X可取200,300,500,

凡心20。)三以毛

HX=300)=|,

"=500)磊喘/=|.

則X的分布列為

X200300500

122

p___

555

所以&A)=200,+300x|+500*|=360.

(2)段"4200時,七(64)〃=2〃,此時Knax=400,當"=200時取得最大值.

四200<n<300時,胃=上2〃心200*2+(〃-200>(-2)]=^^§^22=^22,

此時Knax=520,當〃二300時取得最大值.

隋300<"4500時，

匕口200x2+(〃-200)-(-2)]+|[300*2+(〃-300)-(-2)]彳〃乂2=%°.產(chǎn)

此時『<520.

g當"2500時，易知F一定小于儂勺情況.

綜上所述，當n=300時P的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520.

15規(guī)律方法

L解排列組合的綜合應用問題的思路

,就是分析題目的條件，辨別題目的類型，如

|分析有無限制元素(或位置)，是相鄰問題還是插

ri空問題等

[7^1就是對于較復雜的應用題中的元素往往分

審廠成互斥的幾類，然后逐類解決

就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每

|^￥]-一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步

解決

2.如何求二項展開式中的特定項?

求二項展開式的特定項問題，實質(zhì)是考查通項〃+1=俳加”〃的特點，一般需要建立方程求k,

再將女的值代回通項求解，注意〃的取值范圍優(yōu)=0,1,2,

Q)第m項:此時〃+1二%直接代入通項.

(2)常數(shù)項:即這項中不含"變元"，令通項中“變元"的幕指數(shù)為0建立方程.

(3)有理項:令通項中"變元"的鬲指數(shù)為整數(shù)建立方程.

3.賦值法主要在哪些題型上應用？

在使用賦值法時，令等于多少，應視具體情況而定，一般取”1,-1或0”,有時也取其他值.如:

Q)形如(ax+6)",(aM+bx+G0(a,beR)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和,只需令*=1即

可.

⑵形如(ax+勿T(a,，GR)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和,只需令x=y=l即可.

4.求復雜事件的概率的方法有哪些？

(1)直接法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和.

(2)間接法(正難則反):判斷事件力的概率計算是否適合用間接法，而判斷的標準是正向思考

時分類較多,而其對立的分類較少，此時應用間接法.

5.求條件概率的基本方法有哪些？

Q)定義法

先求"力)和H45),再由只物)=鏢，求

(2)基本事件法

先求事件4包含的基本事件數(shù)雙力),再在事件Z發(fā)生的條件下求事件8包含的基本事件數(shù)

〃(力紈得8的1)=嘿.

6.求解正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率的方法是什么？

(1)利用〈檢〃+0,/“-2o<X<p+20,氏〃-3a<X<p+32的接求.

(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1.

②正態(tài)曲線關于直線*=〃對稱，從而在關于*=〃對稱的區(qū)間上概率相等.

②RX<就=17Aka),只檢〃-a)=f\X>/j+d).

7.怎樣在實際問題中利用樣本的均值與方差做決策？

均值與方差從整體和全局上刻畫了隨機變量，是實際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一

般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.

8.進行分層抽樣的相關計算時，什么是抽樣比？

ZIX+rHiMLIz樣本容量各層樣本數(shù)量

Q)抽樣比=------=----------；

總體容量各層個體數(shù)量

(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比=樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.

9.如何根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標為眾數(shù)；

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積與小長方

形底邊中點的橫坐標之積的總和.

10如何求回歸直線方程中的系數(shù)？

AA

Q)公式法利用公式,求出回歸系數(shù)b,a.

(2)待定系數(shù)法利用回歸直線過樣本點中心&,，)求系數(shù)

11利用獨立性檢驗的思想,解決實際應用的基本步驟有哪些?

Q)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2x2列聯(lián)表;

n(ad-bc)2

(2)根據(jù)公式依二，計算總的直

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

(3)查表比較給與臨界值的大小關系,做統(tǒng)計判斷.

微專題

12排列、組合與二項式定理

基礎

檢測

.............................................................................

1.(2019福建廈門二模)從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理,則甲、乙至少有1人入選，而

丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為().

A.85B.56C.49D.28

?分兩類:甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選，甲、乙均入選且丙沒有入選.計算可

12.

得不同選法種數(shù)為CCCC+l；-49.

“27'

c

2.(2019江西新余二模)7人站成兩排隊列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊列，前

排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法種數(shù)為().

A.120B.240C.360D.480

?第一步，從甲、乙、丙三人選一個加到前排，有3種方法;第二步，前排3人形成了4

個空，任選一個空加一人，有4種方法;第三步，后排4人形成了5個空，任選一個空加一人，有5種

方法，此時形成6個空，任選一個空加一人，有6種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有

3x4x5x6=360種方法.

答備C

3.(2019河南開封一模)(1/1。的展開式中次的系數(shù)為.

?(1-爐。的展開式中,KiC=；o(

令/"=3,則〃=(：0猶則/的系數(shù)為go=-120.

?-120

4.(2019四川達州一模)若(x-2)"展開式的二項式系數(shù)之和為32,則展開式中各項系數(shù)的和

為.

?由已知可得2"=32廁〃=5取x=l,可得(x-2)5展開式的各項系數(shù)的和為Q-2)5=-l.

答案4-1

考能

探究

KAONENGTANJIU題3'；霍1=1亶獴=1*￥量=

能力1＞簡單的排列或組合

15典型例題

(2019河南洛陽一模)4名大學生到三家企業(yè)應聘，每名大學生至多被一家企業(yè)錄

用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學生的情況有().

A.24種B.36種

C.48種D.60種

?分兩類:第一類，有3名大學生被錄用，有A:=24種情況，第二類,4名大學生都被錄

用，則有一家錄用兩名，有CjC-？A-l=36種情況根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有24+36=60種情況.

答壬?D

解決簡單的排列與組合的綜合問題的思路

(1)根據(jù)條件將要完成事件先分類.

(2)對每一類型取出符合要求的元素組合，再對取出的元素排列.

(3)由分類加法計數(shù)原理計算總數(shù).

（2019河北滄州模擬）用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為

）.

A.24B.48C.60D.72

14

?由分步乘法計數(shù)原理得,奇數(shù)的個數(shù)為C/13=72.

34

aD

能力2,有限制條件的排列與組合

IB典型例題

（2019河南鄭州一模）《中國詩詞大會》（第三季）亮點頗多，在“人生自有詩意”的

主題下，十場比賽每場都有一首特別設計的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有

韻味，若《沁園春?長沙》、《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關山月》、《清平樂?六

盤山》排在后六場，且《蜀道難》排在《游子吟》的前面，《沁園春?長沙》與《清平樂?六盤山》

不相鄰且均不排在最后，則六場的排法有種.

?將《沁園春?長沙》、《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關山月》、《清

平樂?六盤山》分別記為4日。。￡￡由已知得6排在。的前面/與尸不相鄰且不排在最后.第

一步，在日COf中選一個排在最后，共C：=4（種）選法，

第二步，將剩余五個節(jié)目按A與尸不相鄰排序，共腕-Ai-Al=72（種）排法，

第三步，在前兩步中8排在。的前面與后面機會相等，則8排在。的前面，只需除以蜴=2即

可.

故六場的排法有4x72+2=144（種）.

?144

方法歸納

求解排列、組合問題的思路:排組分清，加乘明確;有序排列，無序組合;分類相加，分步相乘.

變式訓練

（2019湖北武漢模擬）有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿

足要求的排法有（）.

A.34種B.48種

C.96種D.144種

特殊元素優(yōu)先安排,先讓甲從頭、尾中選取一個位置，有C；種選法，乙、丙相鄰，有4

種情況，乙、丙可以交換位置，有A2種情況，其余3人站剩余的3個位置，有A3種情況，由分步乘

法計數(shù)原理知滿足要求的排法共有C/M4琮=96種.

C

能力3

15典型例題

(2019；可南洛陽一模)(3戶2勿2伊州的展開式中含有爐)的項的系數(shù)

為?

?多項式(3%+2M2(*①7=(9〃+12xy+A

(X少7展開式的通項公式為%=CW(勿乙

令r=4,則石XW(少4=35斤片

令r=3廁"X次(少3=一35”，

令7=2廁方3)2=212/.

.,多項式(3x+2”2(燈"的展開式中含有用/項的系數(shù)為35x9-35*12+21*4=-21.

?-21

求解形如產(chǎn)(c+力的展開式問題的思路

(1)若m,n中有一個匕瞰小，可考慮把它展開，如舊")2位+/=(于+2ab+〃)(c+。",然后分

別求解.

(2)觀察(a+6)(c+o)是否可以合并，如(1對5Q刃7=[Q+M(1-A)]5(1-研=Q冶5Q一郎.

(3)分別得到(a+方產(chǎn),(c+o)"展開式的通項公式，綜合考慮.

(2019江西九江一模)若(x+2)(，x)s展開式的常數(shù)項等于80,則a=.

??.(罰)5的展開式的通項公式為小C=7(-l)i”?日印顯然2r-S為奇數(shù)〃/=2.

故(x+2)&x)s的展開式的常數(shù)項等于4#=80,.：a=2.

?2

能力4

is典型例題

（2019廣東深圳一模）若的展開式中各項系數(shù)之和為32,則展開式中x的

系數(shù)為.

a由已知可得,2"=32,即〃=5.

,?可飛時

5—T3-

??（石）,=（孫仁35-”/5

取I?5="導r=4.

?:展開式中*的系數(shù)為（-1產(chǎn)哈354=15.

?15

二項式定理給出的是一個恒等式，對于的一切值都成立.因此，可將設定為一些特殊的

值.在使用賦值法時，令”」等于多少，應視具體情況而定，一般取”1,-1或0.，有時也取其他值.

（2019山東煙臺模擬）若（x-2）5=<3sA6+a^+<33A3+a2K+的*+仇,則

&+az+電+a&+3s-

?令xO,則由=（-2戶=-32,

令x=l,則<3s+a4+電+文+31+a）=（l-2）5=-1,

所以的+改+33+34+電--1Y-32）=31.

答。31

對點

D集訓

DUIDIANJIXUN

一、選擇題

1.

（教材改編）現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用

同一種顏色，則不同的著色方法共有（）.

A.24種B.30種C.36種D.48種

?需要先給U塊著色，有4種結果;再給力塊著色，有3種結果;再給6塊著色，有2種

結果;最后給。塊著色，有2種結果，由分步乘法計數(shù)原理知不同的著色方法共有

4*3x2x2=48（種）.

?D

（2019陜西西安調(diào)研）6把椅子擺成一排,3人隨機就座,彳小可兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）.

A.279B.261C.252D.243

?用“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任^兩人不相鄰的

坐法種數(shù)為A：=4*3x2=24.

?C

（2019衡水調(diào)研）用0,1，…,9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（）.

A.243B.252C.261D.279

?0,1,2，…,9共能組成9xlOxlO=900個三位數(shù),其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有

9x9x8=648（個），則有重復數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252（個）.

答條B

（原創(chuàng)）高中學生小李計劃在高考結束后，和其他小伙伴一塊進行旅游,有三個自然風光景點

4日。和三個人文歷史景點a,b,c可供選擇,由于時間和距離原因，只能從中任取四個景點進行參

觀，其中景點力不可能第T參觀，最后參觀的一定是人文歷史景點，則不同的旅游順序有（）.

A.54種B.72種C.120種D.144種

?當四個景點不含景點/時，旅游順序有C/=72種;當四個景點含景點Z時