數(shù)學(xué)-專題22 特殊平行四邊形中的折疊問題（帶答案）

專題22特殊平行四邊形中的折疊問題解題思路解題思路在折疊問題中，原圖形與折疊后圖形中所隱含的相等線段與相等角常常是解決問題的關(guān)鍵，注意翻折變換的性質(zhì)的靈活運(yùn)用，折疊前后，重疊部分是全等形，另外注意勾股定理等知識在求折疊圖形的線段長度中的適當(dāng)運(yùn)用。典例分析典例分析【典例1】（2021?徐州）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，使C、A兩點(diǎn)重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．已知AB＝4，BC＝8．（1）求證：△AEF是等腰三角形；（2）求線段FD的長．【答案】（1）略（2）FD＝3【解答】（1）證明：由折疊性質(zhì)可知，∠AEF＝∠CEF，由矩形性質(zhì)可得AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF，故△AEF為等腰三角形．（2）解：由折疊可得AE＝CE，設(shè)CE＝x＝AE，則BE＝BC﹣CE＝8﹣x，∵∠B＝90°，

在Rt△ABE中，有AB2+BE2＝AE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5．由（1）結(jié)論可得AF＝AE＝5，故FD＝AD﹣AF＝BC﹣AF＝8﹣5＝3．【變式1-1】（2021?大連）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿直線AE翻折180°，得到△AB′E，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′．若AB′⊥BD，BE＝2，則BB′的長是．【答案】2【解答】解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵將△ABE沿直線AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，

在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案為：2．【變式1-2】（2021?江西）如圖，將?ABCD沿對角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，F(xiàn)C＝a，F(xiàn)D＝b，則?ABCD的周長為．【答案】4a+2b【解答】解：∵∠B＝80°，四邊形ABCD為平行四邊形．∴∠D＝80°．由折疊可知∠ACB＝∠ACE，又AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠DAC，∴△AFC為等腰三角形．∴AF＝FC＝a．設(shè)∠ECD＝x，則∠ACE＝2x，∴∠DAC＝2x，在△ADC中，由三角形內(nèi)角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得：x＝20°．∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，故△DFC為等腰三角形．∴DC＝FC＝a．∴AD＝AF+FD＝a+b，故平行四邊形ABCD的周長為2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝4a+2b．

故答案為：4a+2b．【典例2】（2021春?雨花區(qū)月考）小西在學(xué)完第十八章《平行四邊形》之后，研究了新人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第64頁的數(shù)學(xué)活動1．其內(nèi)容如下：如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如圖1）：（1）對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平．（2）再次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時得到了線段BN．小雅在小西研究的基礎(chǔ)上，再次動手操作（如圖2）：（3）將MN延長交BC于點(diǎn)G，將△BMG沿MG折疊，點(diǎn)B剛好落在AD邊上點(diǎn)H處，連接GH，把紙片再次展平．請根據(jù)小西和小雅的探究，完成下列問題：①直接寫出BE和BN的數(shù)量關(guān)系：．②求∠ABM的角度大??；③求證：四邊形BGHM是菱形．【答案】（3）①BE＝BN②∠ABM＝30③四邊形BGHM是菱形【解答】解：（3）①∵對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，∴BE＝AB，∵再次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時得到了線段BN．∴AB＝BN，∴BE＝BN，

故答案為：BE＝BN；②解：∵由折疊的性質(zhì)得：∠BEN＝∠AEN＝90°，∵BE＝BN，∴∠BNE＝30°，∴∠ABN＝60°，由折疊的性質(zhì)得：∠ABM＝∠ABN＝30°；③證明：由②得∠ABM＝30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，∴△BMG是等邊三角形，∴BM＝BG，由折疊得BM＝MH，BG＝GH，∴BM＝MH＝BG＝GH，∴四邊形BGHM是菱形．【變式2-1】（2019?黔東南州一模）如圖，將邊長為6cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，折痕為FH，則線段AF的長為（）A． B．3 C． D．【答案】C【解答】解：∵將邊長為6cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，∴EF＝DE，AB＝AD＝6cm，∠A＝90°

∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝3cm，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2，∴（6﹣AF）2＝AF2+9∴AF＝故選：C．【變式2-2】（鹿城區(qū)校級三模）如圖，將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH＝3，EF＝4，則邊AD的長是（）A．2 B．3 C．4.8 D．5【答案】D【解答】解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH為矩形．∵AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF，HF＝＝5，∴AD＝5，故選：D．夯實(shí)基礎(chǔ)夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2021?黔西南州）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的點(diǎn)，且CM＝3，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)M的直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，折痕為MN，則線段AN的長是．

【答案】4【解答】解：連接PM，如圖∵AB＝6，BC＝9，CM＝3，∴BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，由折疊性質(zhì)得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，在Rt△PBM和Rt△MC′P中，，∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），∴PB＝C′M＝3，∴PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．設(shè)AN＝x，則ND＝9﹣x＝PN，在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，即x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4，∴AN的長是4．故答案為4．2.（2021?蘇州）如圖，在平行四邊形ABCD中，將△ABC沿著AC所在的直線折疊得到△AB′C，B′C交AD于點(diǎn)E，連接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，則B′D的長是（）

A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故選：B．3.（2021?牡丹江）如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1．將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（）A．2 B．2 C．6 D．5

【答案】D【解答】解：設(shè)DF＝m，AG＝n，∵正方形的邊長為3，∴CF＝3﹣m，BG＝3﹣n，由折疊可得，AF＝EF，AG＝GE，在Rt△ADF中，AF2＝DF2+DA2，即AF2＝m2+9，在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2，∵BE＝1，∴EC＝2，∴EF2＝4+（3﹣m）2，∴m2+9＝4+（3﹣m）2，∴m＝，在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2，∴n2＝（3﹣n）2+1，∴n＝，∴S△GEB＝×1×（3﹣）＝，S△ADF＝××3＝1，S△CEF＝×2×（3﹣）＝，∴S四邊形AGEF＝S正方形ABCD﹣S△GEB﹣S△ADF﹣S△CEF＝9﹣﹣1﹣＝5，故選：D．4．（2021?黔東南州模擬）如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為．

【答案】6【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD＝8，∴BC＝8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，∴CE＝8﹣3＝5，在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，則AB＝6．故答案為：6．5．（2020?廣東）如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．【答案】（1）略（2）略【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD．由折疊的性質(zhì)可得：BC＝CE，AB＝AE，∴AD＝CE，AE＝CD．

在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，∴EF＝DF，∴△DEF是等腰三角形．能力提升能力提升6．（2020?興化市模擬）如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AD上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)D落在G處，連接PC，交MN丁點(diǎn)Q，連接CM．（1）求證：PM＝PN；（2）當(dāng)P，A重合時，求MN的值；（3）若△PQM的面積為S，求S的取值范圍．【答案】（1）略（2）MN＝2QN＝2（3）4≤S≤5【解答】（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN．（2）解：點(diǎn)P與點(diǎn)A重合