專題3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（七個(gè)重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019）（解析版）

專題3.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識點(diǎn)一橢圓的定義我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半稱為半焦距．根據(jù)橢圓的定義,設(shè)點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的和等于.由橢圓的定義可知,橢圓可看作點(diǎn)集．知識點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦距的關(guān)系重難點(diǎn)1根據(jù)橢圓的定義求方程1．已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓定義可得答案.【詳解】由題可知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)分別為，，故，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.

2．已知兩定點(diǎn)，，曲線上的點(diǎn)到、的距離之和是12，則該曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義，再結(jié)合的關(guān)系確定橢圓方程.【詳解】由條件可知，，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：3．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出橢圓方程作答.【詳解】依題意，橢圓長軸長，則，而橢圓半焦距，因此橢圓短半軸長，所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)與的距離的和是，則點(diǎn)M的軌跡方程是．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義直接寫出該曲線的方程.【詳解】因?yàn)镸到頂點(diǎn)和的距離的和為，所以M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)方程為（），則，，所以，，M的軌跡方程為.故答案為：.5．已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，，且的周長等于18．求這個(gè)三角形的頂點(diǎn)A的軌跡方程．【答案】【分析】以過B，C兩點(diǎn)的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，根據(jù)三角形周長公式，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】以過B，C兩點(diǎn)的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖所示．

由，可知點(diǎn)．由的周長等于18．得，因此，點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，但點(diǎn)A不在x軸上．設(shè)橢圓的長軸長，短軸長，焦距分別為，則這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和，，得，所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是.6．分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離之和等于8；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及焦點(diǎn)坐標(biāo)可計(jì)算出，，即可求得橢圓方程；（2）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知且在y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程代入計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知得，因此．又因?yàn)?，所以，易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由已知得，又因?yàn)椋裕驗(yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．從而有，解得或（舍去）．因此，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．7．分別寫出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：(1)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為10；(2)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為12；(3)點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為8．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求出結(jié)果；（2）根據(jù)橢圓的定義可求出結(jié)果；（2）可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是線段.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，這里，，即，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，這里，，即，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（3）因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，其方程為.重難點(diǎn)2根據(jù)求標(biāo)準(zhǔn)方程8．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．若的面積最大為12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】由題意可知當(dāng)在軸上時(shí)的面積最大，從而可求出，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】如圖，當(dāng)在軸上時(shí)的面積最大，所以，所以．又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：

9．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長為4；(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出，再由焦點(diǎn)位置得出橢圓方程；（2）由題意求出，根據(jù)焦點(diǎn)在x軸寫出方程.【詳解】（1）由題意得：，，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.（2）如圖，

由題意得：，，所以，，結(jié)合焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為：.10．分別寫出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出可得結(jié)果；（2）討論焦點(diǎn)位置，求出可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意得，解得，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.11．求焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為，結(jié)合題意，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由橢圓焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)其方程為，因?yàn)闄E圓的焦距為，可得，所以，所以，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，聯(lián)立方程組，可得，所以所求的方程為．12．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，；(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10；(3)焦點(diǎn)在x軸上，，且經(jīng)過點(diǎn)；(4)，且經(jīng)過點(diǎn).【答案】(1)或(2)(3)(4)或【分析】(1)直接聯(lián)立方程組，求出、的值，再利用橢圓的基本性質(zhì)求出的值，然后分別討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，直接寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可；(2)由橢圓的定義，直接寫出、的值，并可判斷焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，再利用橢圓的基本性質(zhì)求出的值，即可直接寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再把點(diǎn)代入求解即可；(4)由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可列出、的關(guān)系式，再設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后把點(diǎn)代入求解即可.【詳解】（1）由題意，聯(lián)立，解得：，則由橢圓的性質(zhì)得：，所以當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)落在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)落在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.（2）由題意可得，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，即，又橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，且焦點(diǎn)落在軸上，所以由橢圓的性質(zhì)得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（3）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（4）因?yàn)?，由橢圓的性質(zhì)得，則，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以或，解得：或，所以，當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)落在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)落在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.13．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為；(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓的定義求出的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓的定義求出的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)闄E圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，則，可得，所以，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為和，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，由橢圓定義可得，所以，，則，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.14．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)和；(3)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，由條件分別計(jì)算出，再求即可；（2）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，將兩點(diǎn)代入利用待定系數(shù)法計(jì)算即可；（3）由題意可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓定義可得長軸長，從而得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）由題意知，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，∴，又，∴，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)和，∴，解之得，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（3）根據(jù)題意可知，又焦點(diǎn)在y軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴由橢圓的定義可得，即，∴，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.重難點(diǎn)3根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)15．若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，方程表示橢圓，則，解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B16．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出含有參數(shù)的不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意,要使方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,需滿足,解得.故選:C.17．若關(guān)于x，y的方程表示的是曲線C，給出下列三個(gè)條件：①若曲線C是橢圓，②焦點(diǎn)在y軸上，③焦點(diǎn)在x軸上．請選擇其中2個(gè)條件與已知組成命題，并求出t的取值范圍．【答案】選①②時(shí)，，選①③時(shí)，.【分析】根據(jù)曲線方程選①②，選①③時(shí)，由長軸位置列出不等式求解即可.【詳解】若選①若曲線C是橢圓，②焦點(diǎn)在軸上，則，解得，若選①若曲線C是橢圓，③焦點(diǎn)在軸上，則，解得，綜上，當(dāng)選①②時(shí)，，當(dāng)選①③時(shí)，.18．已知曲線C：，則“”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，列不等式求出的取值范圍，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】將曲線C的方程化為，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，即，而“”不能推出“”；“”可以推出“”，故“”是“曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.故選：A.19．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則t的取值范圍為.【答案】【分析】由焦點(diǎn)在y軸上的橢圓方程的特征求解即可．【詳解】∵已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，∴解得.∴t的取值范圍是.故答案為：.20．“是“方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】把方程化為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為標(biāo)，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在上的橢圓，即充分性成立；若方程表示焦點(diǎn)在上的橢圓，則滿足，即必要性成立，所以時(shí)方程表示焦點(diǎn)在上的橢圓的充要條件.故選：A.21．已知P：，Q：表示橢圓，則P是Q的條件．【答案】必要不充分【分析】先求出方程表示橢圓時(shí)的范圍，再利用充分條件與必要條件的定義判定即可．【詳解】若方程表示橢圓，則且，且，是方程表示橢圓的必要不充分條件，即P是Q的必要不充分條件.故答案為：必要不充分．重難點(diǎn)4根據(jù)橢圓方程求22．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若橢圓的焦距為，則的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到，，從而求出，即可得解.【詳解】橢圓即，焦點(diǎn)在軸上，所以，，所以，又橢圓的焦距為，所以，解得.故選：A23．已知橢圓上的點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2，N是MF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么線段ON的長是（

）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【分析】不妨設(shè)點(diǎn)M到該橢圓左焦點(diǎn)F的距離為2，設(shè)右焦點(diǎn)為，作出圖象，根據(jù)橢圓的定義可求出，再根據(jù)中位線定理即可求出線段ON的長.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M到該橢圓左焦點(diǎn)F的距離為2，如圖所示：設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F，右焦點(diǎn)為.∵，，∴.又∵為MF的中點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，∴.故選：B.24．已知兩橢圓與的焦距相等，則a的值為．【答案】或9/9或【分析】討論焦點(diǎn)所在位置，根據(jù)題意列式求解.【詳解】因?yàn)閮蓹E圓方程分別為，，由題意可得：或，解得或.故答案為：或925．是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，則的周長是．【答案】【分析】根據(jù)橢圓定義可得的周長為，代入數(shù)值即得結(jié)果.【詳解】根據(jù)橢圓定義可得的周長為為，所以的周長為故答案為:26．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，若，則【答案】4【分析】由橢圓的方程及定義可求得結(jié)果.【詳解】由橢圓的方程，可知，又是橢圓上的一點(diǎn)，由橢圓的定義知，，又，則.故答案為：4.重難點(diǎn)5橢圓的焦點(diǎn)三角形問題27．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出橢圓中的，利用橢圓的定義及三角形的周長公式即可求解.【詳解】由，得，即，所以，即.由橢圓的定義知，,所以的周長為.故選：B.28．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的周長即可求解.【詳解】由，即，可得，根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：B.

29．已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】利用橢圓定義求得的值，判斷為等腰三角形，即可求得答案.【詳解】由橢圓可知，故，結(jié)合，可得，而，故為等腰三角形，其面積為，故選：B30．已知點(diǎn)為橢圓左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角換元的方法，結(jié)合三角函數(shù)的值域求得正確答案.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)，，所以，由于，，所以的取值范圍為.故選：A31．（多選），是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】對的直角進(jìn)行分類討論，結(jié)合橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程求得正確答案.【詳解】由得，不妨，，則，當(dāng)時(shí)，則①平方減去②得，∴，當(dāng)(或者)時(shí)，，令，則，解得，則，.故選：AB.

32．如圖所示，已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．

(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，試求的周長．【答案】(1)．(2)40【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可；（2）由橢圓的定義計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)焦距為，由得，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）設(shè)橢圓長軸長，則易得，又的周長為,由橢圓的定義可知，故.33．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)，焦距為，設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，求：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；利用橢圓定義以及余弦定理、面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．34．如圖所示，已知橢圓的方程為，若點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，且，求的面積．

【答案】【分析】在中，利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知，得，則，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化簡解得，所以的面積為，重難點(diǎn)6與橢圓有關(guān)的軌跡問題35．古希臘后期的數(shù)學(xué)家帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編》中探討了圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的性質(zhì)：平面內(nèi)到一定點(diǎn)和定直線的距離成一定比例的所有點(diǎn)的軌跡是一圓錐曲線．這就是圓錐曲線的第二定義或稱為統(tǒng)一定義．若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到定直線的距離之比是，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【分析】利用軌跡的直接法求解.【詳解】解：由題意得，整理得：，所以點(diǎn)的軌跡為橢圓．故選：B．36．已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過點(diǎn)，則，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.37．已知是圓內(nèi)異于圓心的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：在圓上存在唯一點(diǎn)，使得，則的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系可確定點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，且該圓與圓相內(nèi)切；根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可確定，知點(diǎn)軌跡為橢圓；采用相關(guān)點(diǎn)法可確定點(diǎn)軌跡方程，由此可得結(jié)論.【詳解】，，點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，又在圓上且唯一，以為直徑的圓與圓相內(nèi)切，設(shè)中點(diǎn)為，圓半徑為，由兩圓內(nèi)切且點(diǎn)在圓內(nèi)可得：，，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為長軸長的橢圓，以所在軸為軸，中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，點(diǎn)軌跡為，設(shè)，，則，，點(diǎn)軌跡為橢圓.故選：C.38．如圖，已知定圓A的半徑為4，B是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，且，P是圓上任意一點(diǎn).線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)Q的軌跡是（

）

A．面積為的圓 B．面積為的圓 C．離心率為的橢圓 D．離心率為的橢圓【答案】D【分析】連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合圓的性質(zhì)可得，再由橢圓的定義可得其軌跡.【詳解】連接，因?yàn)榫€段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)Q，所以，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，4為長軸長，焦距為2的橢圓，所以橢圓的離心率為，故選：D

39．若線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是.【答案】【分析】利用，根據(jù)題意可得，進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，如圖，因?yàn)?，，可得，則，解得，又因?yàn)椋淼?，則所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為故答案為：.

40．在中，已知點(diǎn)和點(diǎn)．若邊，且滿足，求頂點(diǎn)的軌跡方程．【答案】【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理由，所以頂點(diǎn)的軌跡是以和點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，因此半焦距為，半長軸長為，所以半短軸長為，所以該橢圓的方程為，設(shè)，點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)，所以又因?yàn)?，所以，所以頂點(diǎn)的軌跡方程為.

41．如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】【分析】根據(jù)相關(guān)點(diǎn)代入法求得的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，.因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以.把，代入上述方程，得.即所求軌跡方程為.點(diǎn)M的軌跡是長軸長為6，短軸長為3的橢圓.重難點(diǎn)7橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值42．（多選）已知點(diǎn)為橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列正確的是（

）A．的最小值為B．的最大值為7C．的最小值為D．的最大值為1【答案】ABD【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線、橢圓的定義等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，所以，的最小值，即是的長，當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)取到，所以的最小值為，故A正確；設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，所以，則當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)取到最大值，所以的最大值為，故B正確；的最小值當(dāng)在位置時(shí)取到，即的最小值為，故C錯(cuò)誤；由，則當(dāng)點(diǎn)在位置時(shí)取到最大值，所以的最大值為，故D正確.故選:ABD

43．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得，再結(jié)合橢圓定義將化為，結(jié)合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓：上任意一點(diǎn)，故，

故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號，而,故的最小值為，故答案為：44．設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上任