七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第18課 實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組（教師版）

第18課實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1．以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實(shí)際問(wèn)題．3．熟悉行程、方案、數(shù)字等問(wèn)題的解決方法；4.進(jìn)一步研究用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01常見(jiàn)的一些等量關(guān)系（一）1.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.產(chǎn)品配套問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.3.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量.4.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)，.知識(shí)點(diǎn)02實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的等量關(guān)系．一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿(mǎn)足：①方程兩邊表示的是同類(lèi)量：②同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫(xiě)出答案．注意：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.知識(shí)點(diǎn)03常見(jiàn)的一些等量關(guān)系（二）行程問(wèn)題速度×?xí)r間=路程.順?biāo)俣?靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.2．存貸款問(wèn)題利息=本金×利率×期數(shù).本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù)).年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.3.數(shù)字問(wèn)題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫(xiě)出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類(lèi)問(wèn)題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a．4．方案問(wèn)題在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案．

注意：方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案．知識(shí)點(diǎn)04實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思路2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟設(shè)：用兩個(gè)字母表示問(wèn)題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫(xiě)出答案．注意：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.能力拓展能力拓展考法01和差倍分問(wèn)題【典例1】在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，甲、乙兩校各有100名同學(xué)參加測(cè)試．測(cè)試結(jié)果顯示，甲校男生的優(yōu)分率為60％，女生的優(yōu)分率為40％，全校的優(yōu)分率為49.6％；乙校男生的優(yōu)分率為57％，女生的優(yōu)分率為37％．(男(女)生優(yōu)分率＝，全校優(yōu)分率＝)(1)求甲校參加測(cè)試的男、女生人數(shù)各是多少?(2)從已知數(shù)據(jù)中不難發(fā)現(xiàn)甲校男、女生的優(yōu)分率都相應(yīng)高于乙校男、女生的優(yōu)分率，但最終的統(tǒng)計(jì)結(jié)果卻顯示甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低，請(qǐng)舉例說(shuō)明原因．【分析】(1)求甲校參加測(cè)試的男、女生人數(shù)需設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，故可建立二元一次方程組求解．(2)由于甲校男、女生的優(yōu)分率相應(yīng)高于乙校的男、女生的優(yōu)分率，要使乙校的全校優(yōu)分率比甲校的全校優(yōu)分率高，此時(shí)，只有乙校的男生較多時(shí)，才能提高全校的優(yōu)分率．【答案與解析】解：(1)設(shè)甲校參加測(cè)試的男生人數(shù)是x人，女生人數(shù)是y人．由題意可列方程組：解之得：．答：甲校參加測(cè)試的男生有48人，女生有52人．(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，則乙校的全校優(yōu)分率為．51％＞49.6％(說(shuō)明：只要所舉例子中男生人數(shù)多于63人，且女生優(yōu)分率合適，即可得全分．)【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．本題的第（2）問(wèn)也可以用不等式求出甲乙兩校男生人數(shù)滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，才滿(mǎn)足甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低．【即學(xué)即練】為了拉動(dòng)內(nèi)需，全國(guó)各地汽車(chē)購(gòu)置稅補(bǔ)貼活動(dòng)在2009年正式開(kāi)始．某經(jīng)銷(xiāo)商在政策出臺(tái)前一個(gè)月共售出某品牌汽車(chē)的手動(dòng)型和自動(dòng)型共960臺(tái)，政策出臺(tái)后的第一個(gè)月售出這兩種型號(hào)的汽車(chē)共1228臺(tái)，其中手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車(chē)的銷(xiāo)售量分別比政策出臺(tái)前一個(gè)月增長(zhǎng)30％和25%．(1)在政策出臺(tái)前一個(gè)月，銷(xiāo)售的手動(dòng)型和自動(dòng)型汽車(chē)分別為多少臺(tái)?(2)若手動(dòng)型汽車(chē)每臺(tái)價(jià)格為8萬(wàn)元，自動(dòng)型汽車(chē)每臺(tái)價(jià)格為9萬(wàn)元．根據(jù)汽車(chē)補(bǔ)貼政策，政府按每臺(tái)汽車(chē)價(jià)格的5％給購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)的用戶(hù)補(bǔ)貼，問(wèn)政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車(chē)用戶(hù)共補(bǔ)貼了多少萬(wàn)元？【答案】解：(1)設(shè)政策出臺(tái)前一個(gè)月銷(xiāo)售的手動(dòng)型汽車(chē)為x輛，自動(dòng)型汽車(chē)為y輛，由題意可得：解之得：．答：政策出臺(tái)前一個(gè)月銷(xiāo)售的手動(dòng)型汽車(chē)為560輛，自動(dòng)型汽車(chē)為400輛．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(萬(wàn)元)答：政策出臺(tái)后的第一個(gè)月，政府對(duì)這1228臺(tái)汽車(chē)用戶(hù)共補(bǔ)貼了516.2萬(wàn)元．考法02配套問(wèn)題【典例2】某班學(xué)生到農(nóng)村勞動(dòng)，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質(zhì)較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔(dān)，兩只筐），這樣安排勞動(dòng)時(shí)恰需筐68個(gè)，扁擔(dān)40根，問(wèn)這個(gè)班的男女生各有多少人？【答案與解析】解：設(shè)女生人，男生人，由題意得：解得：答：這個(gè)班的男生有32人，女生有21人.【點(diǎn)睛】?jī)扇颂列枰桓鈸?dān)，一只筐；一人挑土需要一根扁擔(dān)，兩只筐．題中的等量關(guān)系是：參加勞動(dòng)的同學(xué)一共用去籮筐68個(gè)和40根扁擔(dān)，從而列出方程組，解出即可．【即學(xué)即練】某工廠(chǎng)有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓和兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？【答案】解：設(shè)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則根據(jù)題意可得：答：應(yīng)分配25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母.考法03工程問(wèn)題【典例3】一家商店進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元，若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可以完成，需付費(fèi)用3480元，問(wèn)：（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付多少錢(qián)？（2）已知甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需24天，單獨(dú)請(qǐng)哪個(gè)組，商店所需費(fèi)用最少？（3）若裝修完后，商店每天可贏利200元，你認(rèn)為如何安排施工更有利于商店？請(qǐng)你幫助商店決策．（可用（1）（2）問(wèn)的條件及結(jié)論）【分析】（1）本題的等量關(guān)系是：甲做8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元．甲組6天需付的費(fèi)用+乙做12天需付的費(fèi)用=3480元，由此可得出方程組求出解．（2）根據(jù)（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的費(fèi)用，然后分別計(jì)算出甲單獨(dú)做12天需要的費(fèi)用，乙單獨(dú)做24天需要的費(fèi)用，讓兩者進(jìn)行比較即可．（3）本題可將每種施工方法的施工費(fèi)加上施工期間商店損失的費(fèi)用，然后將不同方案計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案．【答案與解析】解：（1）設(shè)：甲組工作一天商店應(yīng)付x元，乙組工作一天商店付y元．由題意得解得答：甲、乙兩組工作一天，商店各應(yīng)付300元和140元．（2）單獨(dú)請(qǐng)甲組需要的費(fèi)用：300×12=3600元．單獨(dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用：24×140=3360元．答：?jiǎn)为?dú)請(qǐng)乙組需要的費(fèi)用少．（3）請(qǐng)兩組同時(shí)裝修，理由：甲單獨(dú)做，需費(fèi)用3600元，少贏利200×12=2400元，相當(dāng)于損失6000元；乙單獨(dú)做，需費(fèi)用3360元，少贏利200×24=4800元，相當(dāng)于損失8160元；甲乙合作，需費(fèi)用3520元，少贏利200×8=1600元，相當(dāng)于損失5120元；因?yàn)?120＜6000＜8160，所以甲乙合作損失費(fèi)用最少．答：甲乙合作施工更有利于商店．【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系：甲做8天需要的費(fèi)用+乙作8天需要的費(fèi)用=3520元．列出方程組，再求解．考法04利潤(rùn)問(wèn)題【典例4】甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤(rùn)，將甲服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)．在實(shí)際出售時(shí)，應(yīng)顧客要求，兩件服裝均按定價(jià)的9折出售，這樣商店共獲利157元．求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？【分析】設(shè)甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，根據(jù)“甲、乙兩件服裝共獲利157元、將甲服裝按50%的利潤(rùn)定價(jià)，乙服裝按40%的利潤(rùn)定價(jià)，兩件服裝均按定價(jià)的9折出售，這樣商店共獲利157元”，列方程組解決問(wèn)題．【答案與解析】解：設(shè)甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，依題意有解得：答：甲服裝的成本為300元，乙服裝的成本為200元．【點(diǎn)睛】考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程組，再求解．【即學(xué)即練】為處理甲、乙兩種積壓服裝，商場(chǎng)決定打折銷(xiāo)售，已知甲、乙兩種服裝的原單價(jià)共位880元，現(xiàn)將甲服裝打八折，乙服裝打七五折，結(jié)果兩種服裝的單價(jià)共為684元，則甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是多少？【答案】解：設(shè)甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是x元、y元．根據(jù)題意，得：，解得：，即：甲、乙兩種服裝的原單價(jià)分別是480元、400元．考法05行程問(wèn)題【典例5】A、B兩地相距480千米，一列慢車(chē)從A地開(kāi)出，一列快車(chē)從B地開(kāi)出．(1)如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出相向而行，那么3小時(shí)后相遇；如果兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向(沿BA方向)而行，那么快車(chē)12小時(shí)可追上慢車(chē)，求快車(chē)與慢車(chē)的速度；(2)如果慢車(chē)先開(kāi)出l小時(shí)，兩車(chē)相向而行，那么快車(chē)開(kāi)出幾小時(shí)可與慢車(chē)相遇?【分析】這兩個(gè)問(wèn)題均可以利用路程、速度和時(shí)間之間的關(guān)系列方程(組)求解．(1)“同時(shí)開(kāi)出相向而行”可用下圖表示．“同時(shí)開(kāi)出同向而行”可用下圖表示．(2)慢車(chē)先開(kāi)出1小時(shí)，兩車(chē)相向而行，仿照（1）用示意圖表示出來(lái)，并用等式表示出來(lái)．【答案與解析】解：(1)設(shè)快車(chē)和慢車(chē)的速度分別為x千米/時(shí)和y千米/時(shí)．根據(jù)題意，得，解得答：快車(chē)和慢車(chē)的速度分別為100千米/時(shí)和60千米/時(shí)．(2)設(shè)快車(chē)開(kāi)出x小時(shí)可與慢車(chē)相遇，則此時(shí)慢車(chē)開(kāi)出(x+1)小時(shí)，根據(jù)題意，得60(x+1)+100x＝480．解得．答：快車(chē)開(kāi)出小時(shí)兩車(chē)相遇．【點(diǎn)睛】比較復(fù)雜的行程問(wèn)題可以通過(guò)畫(huà)“線(xiàn)條”圖幫助分析，求解時(shí)應(yīng)分清相遇、追及、相向、同向等關(guān)鍵詞．【即學(xué)即練】?jī)闪谢疖?chē)從相距810km的兩城同時(shí)出發(fā)，出發(fā)后10h相遇；若第一列火車(chē)比第二列火車(chē)先出發(fā)9h，則第二列火車(chē)出發(fā)5h后相遇，問(wèn)這兩列火車(chē)的速度分別是多少？【答案】解：設(shè)這兩列火車(chē)的速度分別為km/h，km/m．由題意得，答：這兩列火車(chē)的速度分別為45km/h和36km/h．考法06存貸款問(wèn)題【典例6】蔬菜種植專(zhuān)業(yè)戶(hù)徐先生要辦一個(gè)小型蔬菜加工廠(chǎng)，分別向銀行申請(qǐng)了甲，乙兩種貸款，共13萬(wàn)元，徐先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少元？【分析】本題的等量關(guān)系：甲種貸款+乙種貸款＝13萬(wàn)元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息＝6075元.【答案與解析】解：設(shè)甲，乙兩種貸款分別是x，y元，根據(jù)題意得：解得：

答：甲，乙兩種貸款分別是61000元和69000元．【點(diǎn)睛】利息＝貸款金額×利息率.考法07數(shù)字問(wèn)題【典例7】一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字之和為11，若把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，所得的兩位數(shù)比原來(lái)大63，則原來(lái)兩位數(shù)為（）A．92 B．38 C．47 D．29【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位為x，個(gè)位為y，根據(jù)個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為11，把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字對(duì)調(diào)，所得的新數(shù)比原數(shù)大63，列方程組求解．【答案】D．【解析】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位為x，個(gè)位為y，由題意得，，解得：，則這個(gè)兩位數(shù)為：29．故選：D．【點(diǎn)睛】對(duì)于兩位數(shù)、三位數(shù)的數(shù)字問(wèn)題，關(guān)鍵是明確它們與各數(shù)位上的數(shù)字之間的關(guān)系：兩位數(shù)＝十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)＝百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字．【即學(xué)即練】一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是7，如果把這個(gè)兩位數(shù)加上45，那么恰好成為把個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對(duì)調(diào)后組成的數(shù)，那么這個(gè)兩位數(shù)是（）A．16 B．25 C．52 D．61【答案】A解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)是（10b+a），由題意，得，解得．所以這個(gè)兩位數(shù)是：10×1+6=16．考法08方案選擇問(wèn)題【典例8】某種飲料有大箱和小箱兩種包裝，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：①2大箱、5小箱分別有飲料多少瓶？②若一大箱、一小箱飲料分別標(biāo)價(jià)48元、25元，且兩種包裝的飲料質(zhì)量完全相同，請(qǐng)問(wèn)購(gòu)買(mǎi)哪種包裝的飲料更合算？【分析】①設(shè)大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根據(jù)3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程組求出即可；②利用①中所求分別求出平均每瓶的價(jià)格進(jìn)而得出答案．【答案與解析】解：①設(shè)大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根據(jù)題意可知3大箱、2小箱共92瓶，可列式為3x+2y=92，又知5大箱、3小箱共150瓶，故可列式為5x+3y=150，即列方程組為，解得：，故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有飲料：10×5=50（瓶），答：2大箱有48瓶、5小箱有飲料50瓶；②∵一大箱、一小箱飲料分別標(biāo)價(jià)48元、25元，∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），所以買(mǎi)大箱合算．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是要讀懂題意，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語(yǔ)，找出等量關(guān)系，列出方程組．【即學(xué)即練】某高校共有5個(gè)大餐廳和2個(gè)小餐廳，經(jīng)過(guò)測(cè)試同時(shí)開(kāi)放1個(gè)大餐廳、2個(gè)小餐廳，可供1680名學(xué)生就餐；同時(shí)開(kāi)放2個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳，可供2280名學(xué)生就餐.（1）求1個(gè)大餐廳、1個(gè)小餐廳分別可供多少名學(xué)生就餐；（2）若7個(gè)餐廳同時(shí)開(kāi)放，能否供全校的5300名學(xué)生就餐？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：(1)設(shè)1個(gè)大餐廳可供x名學(xué)生就餐，1個(gè)小餐廳可供y名學(xué)生就餐.則根據(jù)題意可得：解得：答：1個(gè)大餐廳可供960名學(xué)生就餐，1個(gè)小餐廳可供360名學(xué)生就餐.∴能供全校的5300名學(xué)生就餐.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．甲、乙兩地相距360千米，一輪船往返于甲、乙兩地之間，順?biāo)写?8小時(shí)，逆水行船用24小時(shí)，若設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，水流速度為y千米/時(shí)，則下列方程組中正確的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)題意可得，順?biāo)俣葹椋海嫠俣葹椋?，所以根?jù)所走的路程可列方程組為，故選A．2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載”繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)索長(zhǎng)為x尺，竿子長(zhǎng)為y尺，根據(jù)“索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組．【詳解】設(shè)索長(zhǎng)為x尺，竿子長(zhǎng)為y尺，根據(jù)題意得：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱(chēng)之重適等．交易其一，金輕十三兩．問(wèn)金、銀一枚各重幾何？”．意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱(chēng)重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)）．問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．【詳解】設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．4．一副三角板按如圖方式擺放，且∠1的度數(shù)比∠2的度數(shù)大50°，若設(shè)∠1=x°，∠2=y°，則可得到方程組為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】根據(jù)平角和直角定義，得方程x+y=90；根據(jù)∠1比∠2的度數(shù)大50°，得方程x=y+50．可列方程組為，故選C．考點(diǎn)：1．由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組；2．余角和補(bǔ)角．5．20位同學(xué)在植樹(shù)節(jié)這天共種了52棵樹(shù)苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵，設(shè)男生有x人，女生有y人，根據(jù)題意，列方程組正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：要列方程（組），首先要根據(jù)題意找出存在的等量關(guān)系.本題等量關(guān)系為：①男女生共20人；②男女生共植樹(shù)節(jié)這天共種了52棵樹(shù)苗，其中男生每人種3棵，女生每人種2棵.據(jù)此列出方程組：.故選D．考點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組.6．小穎家離學(xué)校1200米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路，她去學(xué)校共用了16分鐘，假設(shè)小穎上坡路的平均速度是3千米/小時(shí)，下坡路的平均速度是5千米/小時(shí)，若設(shè)小穎上坡用了，下坡用了，根據(jù)題意可列方程組（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)路程=時(shí)間乘以速度得到方程，再根據(jù)總時(shí)間是16分鐘即可列出方程組.【詳解】∵她去學(xué)校共用了16分鐘，∴x+y=16，∵小穎家離學(xué)校1200米，∴，∴，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程組，注意時(shí)間單位，這是解題中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方.7．夏季來(lái)臨，某超市試銷(xiāo)、兩種型號(hào)的風(fēng)扇，兩周內(nèi)共銷(xiāo)售30臺(tái)，銷(xiāo)售收入5300元，型風(fēng)扇每臺(tái)200元，型風(fēng)扇每臺(tái)150元，問(wèn)、兩種型號(hào)的風(fēng)扇分別銷(xiāo)售了多少臺(tái)？若設(shè)型風(fēng)扇銷(xiāo)售了臺(tái)，型風(fēng)扇銷(xiāo)售了臺(tái)，則根據(jù)題意列出方程組為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析：直接利用兩周內(nèi)共銷(xiāo)售30臺(tái)，銷(xiāo)售收入5300元，分別得出等式進(jìn)而得出答案．詳解：設(shè)A型風(fēng)扇銷(xiāo)售了x臺(tái)，B型風(fēng)扇銷(xiāo)售了y臺(tái)，則根據(jù)題意列出方程組為：．故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，正確得出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．某旅店一共70個(gè)房間，大房間每間住8個(gè)人，小房間每間住6個(gè)人，一共480個(gè)學(xué)生剛好住滿(mǎn)，設(shè)大房間有個(gè)，小房間有個(gè).下列方程正確的是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】【分析】大房間有個(gè)，小房間有個(gè)，根據(jù)等量關(guān)系：大小共70個(gè)房間，共住480人，列方程組即可.【詳解】大房間有個(gè)，小房間有個(gè)，由題意得：，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，弄清題意，找出等量關(guān)系列出方程組是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.9．如圖，在長(zhǎng)為15，寬為12的矩形中，有形狀、大小完全相同的5個(gè)小矩形，則圖中陰影部分的面積為（）A．35 B．45 C．55 D．65【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算列方程組計(jì)算即可.【詳解】解：設(shè)小矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，可得方程組：a+2b=15，a=3b，可得解：a=9，b=3，故陰影部分的面積：，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)圖形列出方程組是解題的關(guān)鍵.10．利用兩塊長(zhǎng)方體測(cè)量一張桌子的高度，首先按圖①方式放置，再交換木塊的位置，按圖②方式放置，測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【答案】D【解析】【詳解】設(shè)桌子的高度為hcm，第一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為xcm，第二個(gè)長(zhǎng)方體的寬為ycm，由第一個(gè)圖形可知桌子的高度為：h-y+x=79，由第二個(gè)圖形可知桌子的高度為：h-x+y=73，兩個(gè)方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=152，解得：h=76cm．故選D．題組B能力提升練11．機(jī)械廠(chǎng)加工車(chē)間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個(gè)或小齒輪10個(gè)，已知2個(gè)大齒輪與3個(gè)小齒輪配成一套，問(wèn)安排_(tái)_____名工人加工大齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套．【答案】25【解析】【詳解】設(shè)需安排x名工人加工大齒輪，安排y名工人加工小齒輪，由題意得：，解得：．即安排25名工人加工大齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套．故答案為25．【點(diǎn)睛】本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確得知2個(gè)大齒輪和3個(gè)小齒輪配成一套，根據(jù)此正確列出方程．12．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，放入六個(gè)形狀，大小相同的長(zhǎng)方形（即空白的長(zhǎng)方形），AD＝12cm，F(xiàn)G＝4cm，則圖中陰影部分的總面積是__________.【答案】48【解析】【詳解】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，根據(jù)圖形可得，①－②得4y＝8，所以y＝2，代入②得x＝6，因此陰影部分總面積＝12×10－6×2×6＝48.故答案：48.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.13．一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字和為14，若調(diào)換個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，新數(shù)比原數(shù)小36，則這個(gè)兩位數(shù)是_____．【答案】95【解析】【詳解】設(shè)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，根據(jù)題意所述的等量關(guān)系可得出方程組，求解即可得，即這個(gè)兩位數(shù)為95．故答案為95.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，注意掌握二位數(shù)的表示方法．14．某人步行5小時(shí)，先沿平坦道路走，然后上山，再沿來(lái)的路線(xiàn)返回，若在平坦道路上每小時(shí)走4千米，上山每小時(shí)走3千米，下山每小時(shí)走6千米，那么這5小時(shí)共走了路程____________千米．【答案】20【解析】【分析】設(shè)平路有x千米，上坡路有y千米，根據(jù)平路用時(shí)+上坡用時(shí)+下坡用時(shí)+平路用時(shí)=5，即可得解．注意求得x+y的值即為總路程．【詳解】設(shè)平路有x千米，上坡路有y千米，根據(jù)題意，得:＋＋＋＝5，即＋＝5，則x＋y＝10(千米)，這5小時(shí)共走的路程＝2×10＝20(千米)．故答案是：20.【點(diǎn)睛】考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．注意可以通過(guò)間接方式得解．15．一家快餐店銷(xiāo)售三種套餐，其中套餐包含一葷兩素，套餐包含兩葷一素，套餐包含兩葷兩素，每份套餐中一葷的成本相同，一素的成本也相同，已知一份套餐的售價(jià)是一份套餐和一份套餐售價(jià)之和的一天下來(lái)，店長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)套餐和套餐的銷(xiāo)量相同，且套餐的利潤(rùn)和是套餐利潤(rùn)的兩倍，當(dāng)天的總利潤(rùn)率是．第二天店內(nèi)搞活動(dòng)，套餐的售價(jià)打五折，套餐的售價(jià)均不變，當(dāng)三種套餐的銷(xiāo)量相同時(shí)，總利潤(rùn)率為_(kāi)_______．【答案】28%【解析】【分析】設(shè)葷菜的成本為m元，素菜的成本為n元，葷菜的利潤(rùn)率為x，素菜的利潤(rùn)率為y，A套餐和B套餐的數(shù)量為a份，C套餐的數(shù)量為b份，根據(jù)套餐的利潤(rùn)和是套餐利潤(rùn)的兩倍得到，再根據(jù)當(dāng)天的總利潤(rùn)率是可求得mx＋ny＝0.6(m＋n)，進(jìn)而求出一份A、B、C的售價(jià)，設(shè)三種套餐的銷(xiāo)量都為t份，根據(jù)新的售價(jià)列出總利潤(rùn)率的代數(shù)式，將代數(shù)式化簡(jiǎn)即可求得答案．【詳解】解：設(shè)一份葷菜的成本為m元，一份素菜的成本為n元，一份葷菜的利潤(rùn)率為x，一份素菜的利潤(rùn)率為y，A套餐和B套餐的數(shù)量為a份，C套餐的數(shù)量為b份，∵套餐的利潤(rùn)和是套餐利潤(rùn)的兩倍，∴3(mx＋ny)·a＝2×2(mx＋ny)·b，整理得：，∵當(dāng)天的總利潤(rùn)率是，∴3(mx＋ny)·a＋2(mx＋ny)·b＝60%·[3(m＋n)·a＋2(m＋n)·b]，整理得mx＋ny＝0.6(m＋n)，∴一份套餐和一份套餐售價(jià)之和為元，∵一份套餐的售價(jià)是一份套餐和一份套餐售價(jià)之和的∴一份套餐的售價(jià)為元，∵第二天店內(nèi)搞活動(dòng)，套餐的售價(jià)打五折，套餐的售價(jià)均不變，∴第二天的一份套餐和一份套餐售價(jià)之和為元，一份套餐的售價(jià)為元，∵三種套餐的銷(xiāo)量相同，∴設(shè)三種套餐的銷(xiāo)量都為t份，則總利潤(rùn)率為：===0.28=28%，故答案為：28%．【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，考查了營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題中的利潤(rùn)問(wèn)題，用利潤(rùn)的基本等量關(guān)系列出關(guān)系式，設(shè)出相應(yīng)的未知數(shù)，根據(jù)利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷成本=售價(jià)÷成本－1是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長(zhǎng)度是它的，另一根露出水面的長(zhǎng)度是它的．兩根鐵棒長(zhǎng)度之和為55cm，此時(shí)木桶中水的深度是_______cm．【答案】20【解析】【詳解】試題分析：考查方程思想及觀察圖形提取信息的能力．解：設(shè)較長(zhǎng)鐵棒的長(zhǎng)度為xcm，較短鐵棒的長(zhǎng)度為ycm．因?yàn)閮筛F棒之和為55cm，故可列x+y=55，又知兩棒未露出水面的長(zhǎng)度相等，故可知x=y，據(jù)此可列：，解得：，因此木桶中水的深度為30×=20cm．故填20．考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用．題組C培優(yōu)拔尖練17．某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩(shī)：我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩(shī)中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．（1）求該店有客房多少間？房客多少人？（2）假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費(fèi)20錢(qián)，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上（含18間），房費(fèi)按8折優(yōu)惠．若詩(shī)中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤?？【答案】?）該店有客房8間，房客63人；（2）詩(shī)中“眾客”再次一起入住，他們應(yīng)選擇一次性訂房18間更合算．【解析】【分析】（1）設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得出方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)題意計(jì)算：若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，求出所需付費(fèi)；若一次性定客房18間，求出所需付費(fèi)，進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：，解得：．答：該店有客房8間，房客63人；（2）若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，需付費(fèi)20×16=320錢(qián)若一次性定客房18間，則需付費(fèi)20×18×0.8=288錢(qián)＜320錢(qián)；答：詩(shī)中“眾客”再次一起入住，他們應(yīng)選擇一次性訂房18間更合算．“點(diǎn)睛”本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)題意得出方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．18．已知：用3輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨17噸；用2輛A型車(chē)和3輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨l8噸，某物流公刊現(xiàn)有35噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車(chē)a輛，B型車(chē)b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車(chē)都載滿(mǎn)貨物.根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)l輛A型車(chē)和l輛B型車(chē)都載滿(mǎn)貨物一次可分別運(yùn)貨多少?lài)崳?2)請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車(chē)方案；(3)若A型車(chē)每輛需租金200元／次，B型車(chē)每輛需租金240元／次，請(qǐng)選出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少租車(chē)費(fèi)．【答案】(1)A型車(chē)、B型車(chē)都裝滿(mǎn)貨物一次可以分別運(yùn)貨3噸、4噸;(2)最省錢(qián)的租車(chē)方案是方案一：A型車(chē)8輛，B型車(chē)2輛，最少租車(chē)費(fèi)為2080元.【解析】【分析】（1）設(shè)每輛A型車(chē)、B型車(chē)都裝滿(mǎn)貨物一次可以分別運(yùn)貨x噸、y噸，根據(jù)題目中的等量關(guān)系：用3輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨17噸；用2輛A型車(chē)和3輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨l8噸，列方程組求解即可；（2）由題意得出3a+4b=35，然后由a、b為整數(shù)解，得到三中租車(chē)方案；（3）根據(jù)（2）中的所求方案，利用A型車(chē)每輛需租金200元／次，B型車(chē)每輛需租金240元／次，分別求出租車(chē)費(fèi)用即可.【詳解】解：（1）設(shè)每輛A型車(chē)、B型車(chē)都裝滿(mǎn)貨物一次可以分別運(yùn)貨x噸、y噸，依題意列方程組為：解得答：1輛A型車(chē)輛裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)3噸，1輛B型車(chē)裝滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)4噸.（2）結(jié)合題意，和（1）可得3a+4b=35∴a=∵a、b都是整數(shù)∴或或答：有3種租車(chē)方案：方案一：A型車(chē)9輛，B型車(chē)2輛；方案二：A型車(chē)5輛，B型車(chē)5輛；方案三：A型車(chē)1輛，B型車(chē)8輛．（3）∵A型車(chē)每輛需租金200元/次，B型車(chē)每輛需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）∵2280＞2200＞2120∴最省錢(qián)的租車(chē)方案是方案一：A型車(chē)1輛，B型車(chē)8輛，最少租車(chē)費(fèi)為2120元.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組以及二元一次方程的解法，關(guān)鍵是明確二元一次方程有無(wú)數(shù)解，但在解與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的二元一次方程組時(shí)，要結(jié)合未知數(shù)的實(shí)際意義求解.19．食品安全是老百姓關(guān)注的話(huà)題，在食品中添加過(guò)量的添加劑對(duì)人體有害，但適量的添加劑對(duì)人體無(wú)害且有利于食品的儲(chǔ)存和運(yùn)輸．某飲料加工廠(chǎng)生產(chǎn)的A，B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270克該添加劑恰好生產(chǎn)了A，B兩種飲料共100瓶，問(wèn)A，B兩種飲料各生產(chǎn)了多少別瓶？【答案】A飲料生產(chǎn)了30瓶，B飲料生產(chǎn)了70瓶.【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，再根據(jù)題目中“270添加劑恰好生產(chǎn)了A，B兩種飲料共100”得出等量關(guān)系列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)A飲料生產(chǎn)了x瓶，則B飲料生產(chǎn)了瓶.根據(jù)題意得．解方程，得．（瓶）.答：A飲料生產(chǎn)了30瓶，B飲料生產(chǎn)了70瓶.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，在解題時(shí)要能根據(jù)題意得出等量關(guān)系，列出方程是本題的關(guān)鍵．20．已知2輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨10噸.用1輛A型車(chē)和2輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨11噸.某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車(chē)a輛和B型車(chē)b輛,一次運(yùn)完，且每輛車(chē)都滿(mǎn)載貨物.根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：（1）1輛A型車(chē)和1輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次分別可運(yùn)貨物多少?lài)?？?）請(qǐng)幫助物流公司設(shè)計(jì)租車(chē)方案（3）若A型車(chē)每輛車(chē)租金每次100元，B型車(chē)每輛車(chē)租金每次120元.請(qǐng)選出最省錢(qián)的租車(chē)方案，并求出最少的租車(chē)費(fèi).【答案】(1)1輛A型車(chē)載滿(mǎn)貨物每次可運(yùn)貨物3噸，1輛B型車(chē)載滿(mǎn)貨物一次可運(yùn)貨物4噸;(2)有三種租車(chē)方案：方案一,租用A型車(chē)9輛，B型車(chē)1輛，方案二,租用A型車(chē)5輛，B型車(chē)4輛，方案三,租用A型車(chē)1輛，B型車(chē)7輛.（3）選擇方案三最省錢(qián)，最少的租車(chē)費(fèi)為940元.【解析】【詳解】（1）設(shè)A、B型車(chē)都裝滿(mǎn)貨物一次每輛車(chē)裝噸、噸則解得：（2）結(jié)合題意和上一問(wèn)得：3a+4b=31∴a=因?yàn)閍，b都是正整數(shù)，∴或或有