2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題二　第2講　三角恒等變換與解三角形6

第2講三角恒等變換與解三角形[考情分析]1.三角恒等變換主要考查化簡、求值，解三角形主要考查求邊長、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．考點一三角恒等變換核心提煉1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).例1(1)(2023·南寧模擬)已知α∈(0，π)，且3cos2α－4cosα＋1＝0，則sin2α等于()A．－eq\f(4\r(5),9)B．－eq\f(4\r(2),9)C．－eq\f(2\r(5),9)D．－eq\f(2\r(2),9)(2)(2023·新高考全國Ⅰ)已知sin(α－β)＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，則cos(2α＋2β)等于()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,9)C．－eq\f(1,9)D．－eq\f(7,9)規(guī)律方法三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．(4)弦、切互化：一般是切化弦．跟蹤演練1(1)(2023·濟寧模擬)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))等于()A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)(2)已知函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx，若當(dāng)x＝θ時，f(x)取得最大值，則cosθ＝________.考點二正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用核心提煉1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.考向1正弦定理、余弦定理例2(1)(2023·紅河模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為eq\f(1,2)b(bsinB－asinA－csinC)，則B等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)(2)(2023·全國甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝eq\r(6)，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝________.考向2解三角形中的最值與范圍問題例3(2023·大連模擬)從下列條件中選擇一個條件補充到題目中：①S＝eq\f(\r(3),4)(b2＋c2－a2)，其中S為△ABC的面積；②eq\f(a＋b,sinC)＝eq\f(c－b,sinA－sinB)；③eq\r(3)sinC＋cosC＝eq\f(c＋b,a).在△ABC中，角A，B，C對應(yīng)邊分別為a，b，c，________.(1)求角A；(2)若D為邊AB的中點，CD＝2eq\r(3)，求b＋c的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________規(guī)律方法解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進行化簡；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．跟蹤演練2(1)(2023·寶雞模擬)在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D為BC的中點，AD＝5，則BC等于()A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cosAsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝cosC.①求角A的大?。虎谌鬭＝2，求△ABC的周長的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考點三解三角形的實際應(yīng)用核心提煉解三角形應(yīng)用題的常考類型(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．例4(1)(2023·洛陽模擬)某班課外學(xué)習(xí)小組利用“鏡面反射法”來測量學(xué)校內(nèi)建筑物的高度．步驟如下：①將鏡子(平面鏡)置于平地上，人后退至從鏡中能看到房頂?shù)奈恢?，測量出人與鏡子的距離；②將鏡子后移，重復(fù)①中的操作；③求建筑物高度．如圖所示，前后兩次人與鏡子的距離分別為a1m，a2m(a2>a1)，兩次觀測時鏡子間的距離為am，人的“眼高”為hm，則建筑物的高度為()A.eq\f(ah,a2－a1)m B.eq\f(aa2－a1,h)mC.eq\f(a2－a1h,a)m D.eq\f(ah2,a2－a1)m(2)(2023·濟南模擬)山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標(biāo)(如圖1)，其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“∞”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新．如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°(A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi))，則A，B兩點之間的距離為________米．規(guī)律方法解三角形實際問題的步驟跟蹤演練3(1)(2023·湖州、衢州、麗水質(zhì)檢)喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測量其高度，在遠處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在點C處測得酒店頂端A的仰角